Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto -

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1 Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Nell ipotesi che i dati si distribuiscano seguendo una curva Gaussiana è possibile dare un carattere predittivo alla deviazione standard La prossima misura ha il 68 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo La prossima misura ha il 95 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo La prossima misura ha il 99.7 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo x ; x x 2 ; x 2 x 3 ; x 3 La deviazione standard quindi: E una quantità associata alla singola misura E una stima quantitativa della incertezza su una singola misura E una stima quantitativa della dispersione delle singole misure E una stima della larghezza della distribuzione di probabilità delle misure NON è una stima dell errore del valor medio ottenuto NON è una stima dell incertezza statistica presente nel nostro valor medio NON dipende dal numero di misure effettuate Che variabile statistica quantifica l errore/incertezza presente nel valor medio?

2 Deviazione Standard della Media Abbiamo visto precedentemente (e si può dimostrare con il teorema del limite centrale) che l incertezza a cui è soggetto il valore medio è data dal rapporto della deviazione standard con la radice quadrata del numero di misure effettuate. Altri nomi della Deviazione Standard della media (SDOM) sono: Errore Standard Errore Standard della Media La Deviazione Standard della media decresce con l aumentare del numero di misure Nell ipotesi di: Deviazione standard della media m Aver effettuato N misure della medesima quantità (misure ripetute ed indipendenti). NON siano presenti errori sistematici. C e il 68% di probabilità che il valore x vero sia all interno dell intervallo (x best m ; x best + m ). Il valore x best è estratto attraverso il processo di media. x N Analogamente per il 95% ed il 99.7% di probabilità con 1.96 m e 3 m

3 DEFINIZIONI Deviazione Standard La deviazione standard è una stima dell incertezza sulla singola misura, in altre parole è una valutazione quantitativa delle fluttuazioni casuali e quindi di come si disperdono le singole misure attorno al valore medio. In particolare, nella gaussiana, esiste il 68% di probabilità che una singola misura sia all interno dell intervallo (x best ; x best + ) Deviazione Standard della Media m La deviazione standard della media è una stima dell incertezza sul valor medio, in altre parole è una valutazione quantitativa di quanto (in assenza di errore sistematico) x best è lontano da x vero. In particolare, esiste il 68% di probabilità che x vero sia all interno dell intervallo (x best m ; x best + m )

4 Nota Importante Voglio conoscere il valore di una osservabile m attraverso una operazione di misura. Ipotizzo che i dati si distribuiscano secondo una gaussiana attorno al valore medio Effettuo N misure (indipendenti e ripetibili) dell osservabile. Estraggo il valore medio x best (la migliore stima del valore vero) Estraggo la deviazione standard del campione s (la migliore stima di ) Estraggo la deviazione dalla media s m (la migliore stima del mio errore) Estraggo il valore dell osservabile z Posso quindi affermare che ho il 68% (z=1) di probabilità che il valore vero sia nell intervallo (x medio ± m ) o il 99.7% (z=3) che il valore vero sia nell intervallo (x medio ± 3 m ) Tuttavia: z x best x 0 per estrarre la deviazione dalla media devo usare la deviazione standard, che tuttavia non conosco ma di cui ho una stima (la deviazione standard del campione) non necessariamente corretta. Come posso stimare l errore della misura o la variabile z se non conosco il valore vero della deviazione standard? Se il numero di misure N è piccolo posso aspettarmi che il valore della deviazione standard del campione possa essere molto differente dal valore vero della deviazione standard

5 Il grafico riporta l andamento della deviazione standard al variare del numero di misure nel caso di un dado equiprobabile. Il valore vero è indicato dalla linea gialla. Osservate che dopo 3-5 tiri la deviazione standard del campione può essere molto differente dal valore vero della deviazione standard Per risolvere questo problema bisogna studiare la distribuzione dell osservabile z quando è estratta usando la deviazione standard del campione di N misure. Questa osservabile è in linea di principio differente dalla z e molti libri la definiscono come t

6 La distribuzione dell osservabile t è stata calcolata da William Sealy Gosset, nel 1905 con lo pseudonimo di Student e quindi nella storia passata come Student s t distribution ed è data dalla relazione: n 1/ 2 p( t, n ) 1 n G G n 1 n / Dove G indica una funzione matematica speciale (vedi pg. 196 del Bevington). / 2 Nella formula l osservabile n indica il numero di gradi di libertà (n = N-1 se dal medesimo set di dati si estrae anche il valor medio) e l osservabile t è data dalla relazione 2 2 t 1 n t x x x 0 x valor medio estrattodai dati x deviazione standard estrattadai dati P(t,n) indica quindi la probabilità di ottenere in una misura un valore che corrisponde ad un determinato valore di t avendo fatto un numero di misure pari a N che corrispondono a n gradi di liberta. P(z) è l equivalente di P(t,n) per una gaussiana -> Esempio P(Z=1)=68% -Nel caso di una gaussiana, la probabilità di ottenere un valore superiore a x o + x in una misura (che corrisponde a z=1) è del 68% Notate che non c e dipendenza dal numero di misure

7 Nota: La distribuzione ha code più lunghe rispetto alla Gaussiana standard All aumentare di N la distribuzione "t" di Student tende alla Gaussiana standard. f(t) gaussiana p=0.1 t di Student (n=2) n p= t8 Notate che, nel caso di tre misure (n=2) la probabilità di ottenere t 2 con una distribuzione gaussiana è più bassa (4.6%) che con la distribuzione t Student 18.3%. Questo andamento è intuitivo poiché non conoscendo il valore vero di devo ridurre la predittività della misura Esempio 2, una probabilità inferiore al 5% (su un dataset di tre misure) la ottengo con dato che dista circa 4.1 dal valore medio (non 2)

8 La pagina 266 del Bevington (e la tabella che segue) indicano il valore dell integrale della distribuzione della t di Student nell intervallo da x 1 = <x> - t x a x 2 = <x> + t x fissato il valore dell osservabile t e del numero di gradi di libertà. Facciamo un esempio: Vengono fatte n (numero piccolo) misure e si ottiene un valor medio di 5,88 ed una deviazione della media di 0,31 (Il valore atteso è pari a 6.50) Nel caso di una distribuzione gaussiana il parametro z assume un valore pari a z = (6.50-5,88)/0.31 = 2, in altre parole il valor medio misurato dista due deviazioni standard della media misurate dal valore atteso. Se la deviazione standard misurate fosse esattamente quella vera (e quindi anche la deviazione dalla media) potremmo dire che esiste il 4.6 % di probabilità che la distanza tra il valore misurato ed il valore atteso sia dovuto alle fluttuazioni statistiche la misura, tuttavia, ha dato solo una stima, non necessariamente precisa, della deviazione standard. Lo sperimentatore NON conosce il vero valore di Questo è il tipico caso in cui è utile la distribuzione della t Student

9 Quindi: L osservabile z è una variabile statistica definita come Dove la deviazione standard tot indica la deviazione standard vera, quindi non nota a meno di fare infinite misure, della differenza (<x> - x 0 ) Come per tutte le variabili statistiche quindi z sarà nota con una certa precisione, questa dipende soprattutto dalla precisione con cui si conosce tot Ogni affermazione statistica che fa uso della variabile z deve tenere conto del fatto che z può avere una sua incertezza, quindi nel caso della stima della probabilità di una gaussiana: z x x Se ho un elevato numero di misure - Posso considerare misurata praticamente uguale alla vera e quindi usare la probabilità integrale della gaussiana (osservabile z) -Se ho poche misure - E possibile che la misurata sia differente dalla vera, quindi per tenere conto di questa incertezza non devo usare la probabilità integrale gaussiana ma la tabella della t di Student tot 0

10 La tabella degli integrali della distribuzione t Student (distribuzione a due code) per t = 2 La tabella ERF mi dice che P(z=2) = 4.6% (ma non è necessariamente vero che t=z) Gradi di Liberta Numero Misure Probabilità che la differenza di due dal valor medio sia dovuta ad una fluttuazione statistica (t=2) % % % % % % % % infinite Infinite 4.6 % Notate che si usa z per la gaussiana e t per Student Notate che per un numero infinito di misure t=z (le due distribuzioni sono uguali) Notate che il risultato dipende dal numero di misure Notate che la tabella fornisce la compatibilità o meno tra valori medi o tra una media e un valore atteso. In altre parole indica la probabilità entro il quale ci aspettiamo che il valore atteso sia entro due sigma o sigma-m

11 La tabella C.8 pg 266 del Bevington Notate che se (con tre misure) ottengo t = 2 allora ho una Probabilità di = 18.3% che le misure appartengano alla distribuzione statistica attesa La tabella da l integrale interno

12 Cosa bisogna fare quando ho poche misure: Esempio: ho 4 Misure che mi hanno dato un valore medio di 5.32 ed una deviazione standard della media Voglio verificare la compatibilità di questo risultato con un valore atteso di La funzione ERF della gaussiana ( z ), poiché costruita con la deviazione standard del campione non produce le corrette probabilità Estraggo l osservabile t usando la deviazione standard misurata t stud = ( )/0.17 = 2.35 Utilizzando la tabella della t di Student trovo la probabilità associata alla t ottenuta P(esterna,t stud =2.35) = = 0.1 Ricavo la probabilità equivalente a 0.1 = 10% con la funzione ERF gaussiana P(gaussiana-esterna)= 10% -> z gauss = 1.64 Eseguo tutti i ragionamenti di compatibilità come se la t ricavata dai miei dati sperimentali fosse 1.64 Poiché z gauss < 2 allora il dato sperimentale è compatibile con il valore atteso Ho il 10% di probabilità che la differenza tra la mia misura e il valore atteso sia di origine statistica e quindi lo accetto Se non avessi usato la distribuzione di Student avrei concluso la NON compatibilità tra il dato sperimentale e quello atteso. La bassa statistica invece rende la misure compatibili

13 T di student N Misure-1 Gaussiana P(z)=90 % z = 1.65 P(t,n)=P(2.35,3) 90 % 1- P(2.35,3) = 10%

14 L esempio di prima ci dice che Se avete 4 Misure (cioè 3 GDL) e volete trovare l intervallo in cui cadono il 90% delle misure (cioè un C.L. del 90%) allora l intervallo sarà dato da ± t stud con t stud =2.35. Se fosse stata usata la statistica gaussiana pura avrei dovuto avere un intervallo pari a z z1.65 Altro esempio Se avete 4 misure (i.e. 4 -> 3 GDL) e volete un risultato ad un C.L. 99.7% cioè volete trovare l intervallo entro il quale cadono il 99.7 % delle misure allora t stud deve essere pari a circa 9.2. e quindi l intervallo sarebbe ± t stud Se fosse stata usata la statistica gaussiana pura avrei dovuto avere un intervallo pari a z z3 In questo caso quindi l intervallo diventa enorme e poco utile/predittivo. Poche misure sono poco predittive.

15 Livello di confidenza Abbiamo visto che nel caso di un numero infinito di misure ripetibili ed indipendenti che si distribuiscano secondo una gaussiana il 68 % dei dati sperimentali deve cadere all interno di una deviazione standard. In altre parole abbiamo un livello di confidenza che, eseguendo una misura più volte, nel 68% dei casi il risultato cadrà entro una deviazione standard. Spesso, ma non sempre, si sceglie la deviazione standard, un livello di confidenza del 68%, come riferimento. Ovviamente questo non vale per una distribuzione poissionana o piatta. Per distribuzioni non gaussiane si fa il viceversa, si dice [x 1, x 2 ] al 95% C.L. Questo significa che il 95% delle misure cadono nell intervallo [x 1, x 2 ] In generale quando la misura è molto più piccola dell errore (esempio 0.2 ± 12) anche se la distribuzione è gaussiana si usa il livello di confidenza - ad esempio [-11.8, 12.2] 68% C.L.