Esercizi sulle distribuzioni di probabilità.

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1 Esercizi sulle distribuzioni di probabilità. - Quali sono i tre presupposti per poter applicare correttamente il modello di distribuzione binomiale? o i risultati possibili sono due eventi complementari e mutuamente esclusivi o la probabilità di successo è costante nei diversi esperimenti o i risultati dei diversi esperimenti sono indipendenti rif. p 130 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1

2 - p. 148, n.10. Si consideri un gruppo di 7 soggetti (n=7); la probabilità che un soggetto sia diabetico è 0,125. o Le modalità di ordinamento sono 7!= 5040 o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 7: 7! / (3! * 4!) = 5040 / (6*24) = 35 (rif. p 131) o Probabilità che esattamente 2 soggetti siano diabetici [7! / (2! * 5!)] * 0,125 2 * (1-0,125) 5 = 21 * 0, *0, = 0,168 rif. p. 129 e segg. o Probabilità che 4 soggetti siano diabetici [7! / (4! * 3!)]*0,125 4 * (1-0,125) 3 = 0, rif. p. 129 e segg. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2

3 - p. 148, n.11 Si estragga un campione di 10 soggetti (n=10); nella popolazione da cui provengono la probabilità che un soggetto sia mancino è 0,098. o Le modalità di ordinamento sono 10!= o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 10: 10! / (4! * 6!) = / (24*720) = 210 (rif. p 131) o Probabilità che esattamente 3 soggetti siano mancini [10! / (3! * 7!)]*0,098 3 * (1-0,098) 7 = 0, o Probabilità che almeno 6 soggetti siano mancini [10! / (6! * 4!)]*0,098 6 * (1-0,098) 4 + [10! / (7! * 3!)]*0,098 7 * (1-0,098) 3 + [10! / (8! * 2!)]*0,098 8 * (1-0,098) 2 + [10! / (9! * 1!)]*0,098 9 * (1-0,098) 1 + [10! / (10! * 0!)]*0, * (1-0,098) 0 = 0, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3

4 o Probabilità che al massimo 2 soggetti siano mancini [10! / (0! * 10!)]*0,098 0 * (1-0,098) 10 + [10! / (1! * 9!)]*0,098 1 * (1-0,098) 9 + [10! / (2! * 8!)]*0,098 2 * (1-0,098) 8 = 0, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4

5 Esercizio. Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? U = ( ,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p= 0,00256 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 5

6 Esercizio. Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm. Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 170? Poichè entrambi i valori sono nella stessa metà della distribuzione posso sottrarre la probabilità minore (corrispondente a p(h<165) dalla probabilità maggiore (corrispondente a p(h<170)) p(h<170) - p(h<165) = p[( ,5)/6,25] - p[( ,5)/6,25]= p(-0,4) - p(-1,2) = 0,345-0,115 = 0,2295 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6

7 Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 170? p(a e B) = p(a) * p(b) A e B sono uguali, quindi p(a e B) = p(a)^2 p(a e B) = 0,2295^2 = 0,0527 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7

8 Esercizi dal testo. La soluzione è riferita alla tabella A3, che riporta la coda superiore della distribuzione normale standard P. 149 es. 17 o p(z>2,60) = 0,005 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8

9 o p(z<1,35) = 1-0,089 =0,911 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 9

10 o p(-1,70<z<3,10) possiamo risolvere il problema come = 1 - [p(z>3,10) + p(z<-1,70)] = 1 - p(z>3,10) - p(z<-1,70) [togliamo dall'area totale le due code corrispondenti a z<-1,70 e z>3,1] =1-0,045-0,001 = 0,954 o z(0,15 nella coda superiore) = 1,04 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 10

11 o z(0,20 nella coda inferiore) dato che la tabella è riferita alla coda superiore debbo calcolare z(0,20) e z'= -1*z(0,20) = -1 * 0,84 = -0,84 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 11

12 P. 149 es. 18 o p(pd<60 mmhg) = p[(60-77)/11,6] = p(-1,47) = 0,071 o p(pd>90 mmhg) = p[(90-77)/11,6] = p(1,12) = 0,113 o p(60<pd<90 mmhg) = 1 - p[(90-77)/11,6] - p[(60-77)/11,6] = 1-0,071-0,113 = 0,816 0,816 0,071 0,113 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 12

13 P. 149 es. 19 o p(peso<130 libbre) = p[( ,2)/29,8] = p(- 1,42) = 0,079 o p(peso>210 libbre) = p[( ,2)/ 29,8] = p(1,27) = 0,102 o p(130<peso<210 libbre) = p[( ,2)/ 29,8] - p[( ,2)/29,8] = 1-0,079-0,102 = 1-0,181 = 0,819 o p(su 5 almeno 1 con peso non compreso in 130<w<210) = 1 - p(tutti con peso compreso in 130<w<210) = 1- [p(130<peso<210 libbre)] 5 = 1-0, = 1-0,3692 = 0,6308 0, corrisponde al calcolo binomiale di p(0 su 5) = 5! / (0! * 5!) * (1-0,8193) 0 * 0, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 13