TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo

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1 TOPOGRAFIA 2013/2014

2 L operazione di misura di una grandezza produce un numero reale che esprime il rapporto della grandezza stessa rispetto a un altra, a essa omogenea, assunta come unità di misura. L esperienza indica che, se si eseguono più operazioni di misura di una stessa grandezza, le singole misure non coincidono. Ciò perché i valori misurati sono affetti da errori di misura. La differenza tra il valore misurato (X) e quello vero (V) è detta errore totale (e): e i = X i V Valori misurati X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X6 X 7 V Valore vero Misure

3 La misura, dunque, non consente di determinare con certezza il vero valore della quantità misurata, ma produce una stima (misura) di questo valore, il cui grado di approssimazione (o di incertezza) dipende dagli strumenti e dalle tecniche operative utilizzate. Ne consegue che, non essendo noto il valore vero della grandezza, non potrà essere noto nemmeno l errore assoluto. Esso, tuttavia, può essere stimato e valutato. La teoria degli errori permette di stimare, valutare e minimizzare gli errori nei procedimenti di misura. Tuttavia, nella misura delle grandezze, l errore non è sinonimo di sbaglio, ma indica che le tecniche e gli strumenti di misura, per diverse cause, hanno dei limiti nel fornire il valore misurato della grandezza.

4 ERRORI grossolani sistematici accidentali

5 Gli errori grossolani non riguardano mai tutte le misure, ma, eventualmente, solo un limitato numero. Essi vengono commessi perlopiù in seguito alle seguenti cause: uso improprio degli strumenti; distrazioni o inesperienza dell operatore. Valori misurati Errore grossolano V Valore vero Misure Gli errori grossolani si prevengono con un accurata organizzazione della misura, pertanto essi non vengono considerati dalla teoria degli errori.

6 Hanno la caratteristica di presentarsi sempre con lo stesso segno e con la stessa ampiezza. Le cause possono perlopiù essere imputate sia agli strumenti utilizzati, sia alle influenze dovute all ambiente o all operatore; ad esempio: errori di taratura dello strumento; deformazioni dello strumento dovuti alle azioni ambientali. Valori misurati Errori sistematici in difetto V Valore vero Misure Sono gli errori più temibili, perché non possono essere minimizzati attraverso procedure operative; pertanto devono essere prevenuti, per quanto possibile, con il controllo della taratura degli strumenti e con l accuratezza delle misure.

7 Sono dovuti a variazioni casuali e imprevedibili, indipendenti l una dall altra, e alle condizioni, variabili nel tempo, in cui viene effettuata la misura. Nelle singole misure essi non si presentano né con la stessa entità, né con lo stesso segno, ma la loro somma algebrica, relativa a numerose misure, tende ad annullarsi. Valori misurati Errori accidentali V Valore vero Misure Gli errori accidentali possono essere minimizzati attraverso la misura ripetuta della grandezza, da cui si ottiene il valore più attendibile della grandezza, e la stima della relativa incertezza.

8 Immaginiamo di aver effettuato n misure dirette di una grandezza X (nel nostro ambito sarà una distanza o un angolo), che indichiamo nel seguente modo: x 1, x2, x3, x4,... x n Il fatto che le misure x i siano della stessa precisione non significa che siano tutte uguali, perché la variabilità casuale degli errori accidentali di misura porta a osservare n valori diversi delle stesse misure. Sia dal punto di vista teorico sia da quello dell esperienza, è facile stabilire che il valore che più si avvicina al valore vero X della grandezza misurata, è la media aritmetica X M delle n misure dirette (di uguale precisione) eseguite: X M x 1 x 2 x 3 n x 4... x n n x i

9 L adozione della media di una serie ripetuta di misure (dirette e della stessa precisione) come valore più probabile della grandezza misurata non esaurisce affatto l esigenza di conoscere le caratteristiche delle misure stesse. In effetti consideriamo le seguenti due ipotetiche serie di misure della stessa grandezza, effettuate con diverse modalità: SERIE A SERIE B X M =100 X M =100 Entrambe le serie di misure forniscono il medesimo valore della media X M = 100. Tuttavia, ben diverse sono le caratteristiche delle due serie di misure, che possono essere confrontate solo ricorrendo a ulteriori parametri statistici che si affianchino alla media X M per fotografare le caratteristiche delle misure effettuate.

10 A ogni misura effettuata x i viene associata una variabile v i definita dalla differenza tra la stessa misura x i con la media X M della serie di misure: v 1 x X X ;... 1 M ; v2 x2 M v n x n X M La variabile v i viene chiamata scarto lineare. Ciascun valore di questa variabile rappresenta, in termini probabilistici, l errore (che per sua natura non può essere conosciuto con esattezza) di cui sono affette le singole misure x i. In teoria, facendo la media degli scarti lineari, si otterrebbe un parametro in grado di sintetizzare il livello medio di precisione delle singole misure. Tuttavia ciò non è possibile, perché la somma degli scarti lineari è sempre nulla (v = 0) per qualsiasi serie di misure eseguite, dunque sarebbe sempre nulla anche la relativa media. Ciò è dovuto alla presenza di valori positivi e negativi degli scarti lineari, le cui relative somme si annullano sempre. Per superare questo problema vengono considerati gli scarti elevati al quadrato (v 2 ) e viene definito un nuovo parametro: la varianza.

11 Per eludere i segni degli scarti lineari si elevano gli stessi al quadrato, ottenendo gli scarti quadratici, che saranno tutti positivi: v ( x X ) ; v ( x X M 2 2 M n n M ) ; v ( x X ) 2 PROPRIETÀ: la somma degli scarti quadratici rappresenta un valore positivo e minimo. 2 v 1 min Ciò significa che, se vengono calcolati gli scarti quadratici rispetto a un qualunque valore X diverso dalla media X M, la loro somma risulterà maggiore di quella ottenuta considerando gli scarti dalla media X M. Questa proprietà è nota come legge dei minimi quadrati ed è alla base di tutte le operazioni connesse alla correzione (compensazione) degli errori di misura con modalità rigorose.

12 Essendo la varianza il risultato di una media di quadrati, ne consegue che la sua unità di misura è al quadrato, dunque non utilizzabile come parametro di dispersione (che deve avere la stessa unità delle misure). Pertanto si estrae la radice quadrata della varianza ottenendo un nuovo parametro, chiamato deviazione standard (o scarto quadratico medio), che esprime lo stesso concetto tramite un unità di misura direttamente confrontabile con quelle utilizzate nella rilevazione e tramite valori più prossimi a quelli della media di tali valori : ( x i X n 1 M ) 2 v 2 i n 1 La deviazione standard (o s.q.m.) esprime lo stesso concetto della varianza (indice di dispersione delle misure intorno alla media) ma con un'unità di misura direttamente confrontabile con quella delle misure. Nella pratica la deviazione standard viene assunta come indice per valutare la precisione e l affidabilità delle misure x i. Più piccolo è il suo valore, più grande è l affidabilità delle stesse misure.

13 Il valore della deviazione standard (s.q.m.) viene assunto come riferimento per la determinazione del limite massimo del valore degli errori accidentali ammissibili in una serie di misure della stessa grandezza. Ciò considerando che il 99,7% dei valori degli scarti tende a essere incluso nell intervallo media 3 deviazioni standard (X M 3 ). Pertanto la tolleranza, cioè il limite massimo dello scarto che ogni singola misura può avere dalla media, viene determinata nel seguente modo: T 3 L insieme delle misure effettuate deve essere depurato da quelle misure i cui scarti dal valore medio superano la tolleranza (v > T); esse sono molto probabilmente affette non solo da errori accidentali, ma anche da errori grossolani.

14 La deviazione standard costituisce un indice di valutazione della precisione delle singole misure effettuate. Da essa discende la precisione del valore della media, che in sostanza definisce il campo di incertezza della stessa media. Questo parametro viene chiamato errore medio della media e viene calcolato con la seguente relazione: m n ( x i X M n ( n 1) ) 2 v 2 i n ( n 1) L espressione dell errore medio della media consente di determinare il numero n delle misure che si devono effettuare affinché l errore medio della media assuma un prefissato valore. n 2 2 m In definitiva si può affermare che la media X M è il valore centrale dell intervallo di estremi X M m e X M + m, al cui interno si troverà il vero valore X della grandezza misurata (X M m X X M + m ). X M m X X M + m

15 Consideriamo le seguenti due serie ipotetiche di misure dirette: Misure a) Misure b) r a 1,7 m r a 3,8 m X M 104,5857 m X M 104,7286 m v 2 2,148 m v 2 10,574 m 0,598 m 1,328 m m 0,226 m m 0,502 m X = 104,5857 m ± 0,226 X = 104,7286 m ± 0,502

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