Incertezza di misura concetti di base. Roberto Olmi IFAC-CNR

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1 Incertezza di misura concetti di base Roberto Olmi IFAC-CNR

2 Certezza dell incertezza Il display mostra: Inferenza sulla la massa, basata sulla lettura: La massa ha un valore tra e g La massa ha un valore tra e g La massa ha un valore tra e g

3 Il risultato di una misura è una grandezza aleatoria Grandezza misurabile m Errori di misura Grandezza aleatoria M = m + ε ε

4 Incertezza e Probabilità P(x 0 ) = 0! P(x 0 - x, x 0 + x) 0

5 Errori vs. incertezza di misura LE INCERTEZZE SONO DOVUTE AGLI ERRORI DI MISURA... è un affermazione tautologica?

6 Definizioni (VIM) (International Vocabulary of Metrology) ERRORE Differenza tra il risultato di una misura e il valore vero del misurando INCERTEZZA Un parametro, associato al risultato di una misura, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili ad un misurando

7 Eventi e probabilità... punto di vista logico punto di vista cognitivo FALSO FALSO E 0 1 INCERTO VERO 0? 1 VERO probabilità

8 Probabilità: definizione assiomatica Dato un evento E 0 P(E) 1 P(Ω) = 1, P( ) = 0 P(E 1 E ) = P(E 1 )+P(E ) se E 1 E = Positività Certezza Somma di eventi

9 Terminologia e concetti di base Misurando, o quantità misurabile Proprietà definibile in modo qualitativo ed esprimibile quantitativamente Misura, o misurazione Processo mediante il quale si determina una stima del valore di un misurando

10 La misura Misura Strumento di misura Qualunque tipo di misurazione coinvolge uno strumento di misura L atto del misurare è una procedura sperimentale Il risultato di una misura è un numero

11 Il misurando Il valore vero di un misurando, se fosse noto, rifletterebbe la proprietà sotto esame Gli strumenti sono creati dall uomo La misura richiede una procedura sperimentale Il risultato della misura non può essere assolutamente accurato: il valore vero non è conoscibile

12 Organizzazioni internazionali GUM: Guide to the expression of Uncertainty in Measurement OIML International Organization of Legal Metrology BIPM Bureau International des Poids et Mesures IEC International Electrotechnical Commission IFCC International Federation of Clinical Chemistry ISO International Organization for Standardization IUPAC International Union of Pure and Applied Chemistry IUPAP International Union of Pure and Applied Physics

13 Gli errori e le incertezze di misura Accidentali (casuali) Sistematici Definizioni tradizionali Definizioni GUM A Valutabili statisticamente Non statistici B

14 I falsi sinonimi Precisione vs. accuratezza la precisione dipende dagli errori accidentali. E quantitativa (a differenza della ripetibilità), ed è definita come il reciproco dell incertezza=δr/s, rapporto tra fluttuazione e sensibilità. l accuratezza è riferita agli errori sistematici Ripetibilità vs. riproducibilità la ripetibilità esprime la vicinanza tra misure eseguite sullo stesso misurando (legata a piccoli errori accidentali) nelle stesse condizioni la riproducibilità esprime la vicinanza tra misure eseguite sullo stesso misurando in condizioni diverse (ad esempio, con strumenti diversi, o da laboratori diversi)

15 Sensibilità di uno strumento Pendenza della curva di taratura in un intorno del valore medio s = R Ψ R 1 Ψ 1 R valori misurati Ψ valori veri ipotesi: sensibilità costante in (Ψ 1, Ψ )

16 Errore di sensibilità R m minima differenza rivelabile da uno strumento Ψ m = R m /s intervallo di valori indistinguibili risposta costante in (Ψ- Ψ m, Ψ+ Ψ m ) Ψ m è l errore di sensibilità

17 Sensibilità di una misura S: minima quantità rilevabile nella misura Coincide con s se si usa un singolo strumento Altrimenti è funzione delle sensibilità s k dei k strumenti impiegati

18 Precisione R(Ψ) è la risposta dello strumento. Fissato Ψ, R non è costante a causa degli errori aleatori Si misurano n valori R k : la risposta ha una distribuzione di larghezza δr intorno a R δ R = n k= 1 ( R k n 1 R) δr è la fluttuazione

19 Precisione - Alla fluttuazione δr corrisponde l incertezza δψ δ Ψ = δ R s Il reciproco di δψ è la precisione precisione = 1/δΨ

20 Accuratezza Equivalente alla precisione, ma riferita agli errori sistematici anziché agli errori accidentali

21 Accuratezza vs. Precisione accurato ma impreciso y preciso ma inaccurato x

22 Le cause dell incertezza Definizione incompleta del misurando Condizioni non ideali rispetto alla definizione del misurando Campione non rappresentativo della popolazione Errori di modello (ad esempio: influenze ambientali) Errori di lettura dello strumento Risoluzione finita dello strumento Valori inesatti di costanti o parametri Approssimazioni nel metodo di misura o elaborazione Errori casuali in ripetizioni apparentemente identiche

23 Perchè valutare l incertezza? SIGNIFICATIVITA DI UNA MISURA Misura della temperatura corporea prima e dopo la somministrazione di un farmaco PRIMA: 38. C DOPO: 38.4 C L incremento di temperatura è significativo? (38.±0.01) C (38.4 ±0.01) C significativo (38.±0.5) C (38.4 ±0.5) C non significativo

24 Come valutare l incertezza Incertezze di tipo A varianze s i Incertezze di tipo B varianze approssimate u i

25 Terminologia GUM Incertezza standard σ Incertezza standard combinata Incertezza espansa (-kσ, kσ) σi i fattore di copertura

26 Incertezza standard (o tipo) Y = f(x 1... X N ) Relazione tra il misurando Y (uscita) e i misurandi X i (ingressi) y = f(x 1... x N ) Relazione tra la stima y di Y e le stime x i di X i Incertezze standard sulle X i : u i = u(x i ) ottenute da distribuzioni basate su frequenze (A) ottenute da distribuzioni a priori (B)

27 Incertezza standard - propagazione Incertezza standard (combinata) su Y: u c (y) E la deviazione standard associata al risultato y, stima di Y

28 Le regole della propagazione SONO QUELLE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA Esempi di relazioni semplici: (A e B non correlate) S = A + B, incertezze σ A, σ B σ S = σ A + σ B D = A B, incertezze σ A, σ B σ D = σ A + σ B P = A B, incertezze σ A, σ B (σ P /P) = (σ A /A) + (σ B /B) Q = A / B, incertezze σ A, σ B (σ Q /Q) = (σ A /A) + (σ B /B)

29 Incertezza standard tipo A N osservazioni indipendenti q i di una grandezza Q La media µ q è il miglior parametro che rappresenta Q La media aritmetica q è la migliore stima di µ q q = 1 N N q i i= 1 Data la varianza s q dei dati q i L incertezza standard è la radice quadrata della varianza della media: s (q) = sq / N

30 Qual è la varianza giusta? s x = n ( xi x) i= 1 n 1 misura la dispersione dei valori x i intorno alla media sm = s (x) = sx n misura la dispersione dei valori medi calcolabili Risponde alla domanda: dove quanto è probabile è affidabile che la cada media una calcolata? misura x i, rispetto alla media?

31 Incertezza standard tipo B Stime x i di X i non da osservazioni ripetute varianza stimata u (x i ) incertezza stimata u(x i ) informazioni sulla variabilità plausibile delle X i misure precedenti specifiche del costruttore calibrazioni o misure su campioni di riferimento altre conoscenze a priori

32 Inc. tipo B errori sistematici? (1) Faccio varie misure su tre diversi valori di ph (intorno a, 4, 6). Ottengo σ i = 0.15 per tutti e tre i tipi di soluzione σ i è calcolata per via statistica: è di tipo A! () Eseguo 1 sola misura su una soluzione incognita e ottengo ph = 5.3. E ragionevole prendere σ i = 0.15 come incertezza di misura... σ i proviene da conoscenza a priori : è di tipo B!

33 Incertezze tipo B Esempio 1: specifiche costruttore del tipo 3σ = 40 µg Sottintesa distribuzione normale: u (x i ) = σ Esempio : limiti del tipo (a -, a + ) Sottintesa distribuzione uniforme: u (x i ) = (a + - a - ) /1

34 Incertezze di tipo B e distribuzioni di probabilità

35 Incertezza combinata X 1,..,X N INDIPENDENTI Y = f(x 1,..,X N ) y = f(x 1,..,x N ) u(x i ) tipo A o B c i u c X i = x i (y) = N i= 1 f x f f = x = i X coefficienti di sensibilità i i u (x i ) u c (y) [ciu(xi)] = i = u (y) u i (y) = varianza di y generata dalla varianza associata a X i

36 Incertezza combinata u N N 1 N f f f c (y) = u (xi) + u(xi,x j) i= 1 xi i= 1 j= i+ 1 xi x j u X 1,..,X N CORRELATE covarianze u(xi,x j) r(xi,x j) = coefficienti di correlazione u(x )u(x ) i = [c u(x )] + j ciu(xi) c (y) i i c ju(x j)r(xi,x j) i j

37 Incertezza espansa U(y) = k u c (y) fattore di copertura Risultato della misura: Y = y ± U La migliore stima di Y sta nell intervallo (y-u, y+u) con probabilità elevata (dipendente da k)

38 Incertezza espansa (interpretazione statistica) Quando le incertezze sono tutte di tipo A U(y) = k u c (y) Intervallo di confidenza X ~ N(µ,σ ) 1 σ: p = σ: P = σ: P = 0.997

39 Procedura di valutazione (GUM) stime x i di X i Relazione f tra Y e X i valutazione u(x i ) incertezze std. A/B n x i correlate? s valutazione u(x i,x j ) covarianze incertezza combinata u c (y) stima y di Y Incertezza espansa U