Osservazioni e Misura. Teoria degli errori

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2 Osservazioni e Misura ella misura di una grandezza fisica gli errori sono inevitabili. Una misura non ha significato se non viene stimato l errore. Teoria degli errori La teoria degli errori cerca di trovare la risposta ad alcuni quesiti fondamentali : Quale valore assumere per un osservabile ricavato tramite una serie di misure con risultati non coincidenti? Quale sarà l errore da attribuire a tale misura? Esistono metodi per verificare se il sistema di misura è accettabile? trova quindi applicazione in tutte le scienze di osservazione, in misure dirette e indirette e quando si effettuano numerose misure di una grandezza. Tipi di misure Misure dirette: si eseguono utilizzando uno strumento opportunamente tarato nell unità di misura della grandezza da misurare e leggendo direttamente il valore. Misure indirette: sono dedotte attraverso relazioni analitiche che legano tra loro altre grandezze misurate direttamente.

3 Tipi di errore Si definisce errore assoluto di una misura la differenza tra il valore vero della grandezza e il valore misurato. Si definisce l errore relativo il rapporto tra l errore assoluto e la misura della grandezza. Precisione e Accuratezza Precisione: indica la dispersione di una serie di misure intorno alla miglior stima della grandezza (es. valor medio). Accuratezza: indica quanto vicina è la misura (miglior stima) al valore vero.

4 Caratteristiche degli strumenti di misura Strumenti Analogici: in cui il valore della misura si legge su una scala graduata. Strumenti Digitali: in cui il valore della misura appare come una sequenza di cifre. -Sensibilità dello strumento- Si definisce sensibilità di uno strumento il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può discriminare. L indeterminazione che ne consegue è l errore di sensibilità S -Fondo scala- Si definisce fondo scala (portata) di uno strumento il più grande valore della grandezza che lo strumento può misurare

5 Errore casuale e errore sistematico Errori casuali: aleatori, possono essere valutati tramite la ripetizione della misura sullo stesso osservabile. Questo comportamento stocastico è di origine fisica (natura dell osservabile studiato) ed è anche conseguenza delle inevitabili incertezze e fluttuazioni legate all apparato di misura. Lo studio di questi errori presuppone l esecuzione di un numero sufficiente di misure, svolte nelle medesime condizioni. Ottenuta la relativa distribuzione e in base alla teoria statistica sviluppata, si potranno estrarre i valori della miglior stima e dell incertezza. Errori sistematici: deviazione sistematica della misura dal valor vero. Gli errori sistematici possono essere causati da: difetti costruttivi dell apparato di misura. difetti di taratura. da un non corretto utilizzo del protocollo di misura. da problemi nella definizione delle grandezze fisiche. dalla presenza di fenomeni perturbativi (fondo). L analisi di questi errori dipende in definitiva dalla preparazione teorica e pratica dello sperimentatore, dalla sua abilità e dal suo intuito fisico.

6 Rappresentazione dell errore di misura X ± δx Miglior stima del valore misurato Incertezza L incertezza δx può essere dedotta con procedura univoca nota la sensibilità dello strumento o la dispersione statistica (errori casuali). Incertezza relativa: E rel = δx X Incertezza relativa percentuale: δx E% = 100 X Usati per confrontare l errore su misure diverse: Esempio: ± V E % = 0.1 % V F.S ± 0.01 V E % = 1 % 0 V F.S. Utilizzo di un fondo scala adeguato ai valori da misurare

7 Si possono verificare due casi: I) a causa della scarsa sensibilità strumentale misure reiterate forniscono lo stesso risultato. II) lo strumento permette di evidenziare la non-riproducibilità della misura in esame: fluttuazioni di misura. Miglior stima del valore misurato I Errore massimo X ± δx Incertezza In una singola misura diretta o con più misure con lo stesso strumento che forniscono lo stesso risultato l incertezza δx si associa alla sensibilità dello strumento S. Una tale situazione si determina ogni qual volta l errore di sensibilità dello strumento è maggiore delle fluttuazioni dovute agli errori casuali: in tal modo eventuali informazioni di tipo statistico vengono nascoste dall apparato. Es: misura del periodo di un pendolo

8 II Media e errore statistico el caso di misure ripetibili, nelle quali il risultato cambia casualmente per ogni misura, la dispersione dei risultati permette di dedurre l incertezza δx e della probabile miglior stima X. Miglior stima del valore misurato X ± δx Incertezza X X1 + X +... X = Postulato della media scarti X 1 X, X X... X X Scarto quadratico medio σ δx = σ = i= 1 ( x x ) i ( 1) el caso di misure affette da errore casuale: La media delle misure determina la miglior stima X. La deviazione standard determina l incertezza δx

9 Distribuzioni e errore statistico Tra le distribuzioni continue più importanti in Fisica consideriamo la distribuzione normale o di Gauss. Se le cause di non riproducibilità della misura sono numerose, se i loro effetti sono relativamente piccoli e dello stesso ordine di grandezza ed hanno uguale probabilità di assumere valori maggiori o minori della media, si trova che il risultato delle misure segue la distribuzione di Gauss

10 Istogrammi e Distribuzioni Un istogramma è una rappresentazione grafica per distribuzioni di frequenza di valori in cui i valori assumibili da una variabile vengono organizzati in intervalli disgiunti x e a ciascuno di essi viene associata la corrispondente frequenza f =n x /n. Se si riporta su ogni intervallo x un rettangolo con ordinata y tale che y x=f l area del diagramma sarà pari a uno (istogramma normalizzato) Se si aumenta il numero di misure l istogramma inizia ad assumere una semplice forma definitiva (distribuzione limite) el caso di errori casuali l istogramma assumerà la forma della distribuzione continua gaussiana (curva tratteggiata in figura) Lo scarto quadratico medio (larghezza della distribuzione) indica il grado di precisione della misura

11 Esempio Misuriamo il tempo (in secondi) di caduta di un grave 50 volte. 1,6 1,30 1,9 1,41 1,44 1,38 1,4 1,15 1,49 1,3 1,37 1,59 1,4 1,33 1,15 1,35 1,37 1,31 1,41 1,35 1,8 1,30 1,31 1,6 1,3 1,45 1,40 1,33 1,34 1,41 1,39 1,7 1,41 1,5 1,31 1,45 1,19 1,39 1,41 1,7 1,46 1,34 1,44 1,37 1,35 1,30 1,35 1,53 1,3 1,5 visualizziamo la distribuzione dei dati sperimentali tramite un istogramma: definiamo quindi gli intervalli k =0.05 s e calcoliamo il numero di dati per ogni intervallo

12 Per poter confrontare l istogramma a barre con la distribuzione continua definiamo l altezza di ogni barra f k in modo che: nk f k k = otteniamo il seguente istogramma: calcoliamo il valore medio e lo scarto quadratico medio dei dati: X X1 + X + =... X δx= σ = i= 1 ( x x ) i ( 1) x = x = 1,35 s δx= σ = 0,09s Infine il nostro istogramma può essere confrontato con la distribuzione limite gaussiana g(x) con gli stessi valori di media e scarto quadratico medio. Questo consente di apprezzare eventuali deviazioni dei dati sperimentali rispetto all andamento atteso

13 Propagazione delle incertezze nelle misure indirette Come determinare l incertezza associata ad una misura indiretta a partire dalle misure dirette coinvolte? Alcune regole di base ICERTEZZA SULLA SOMMA E/O DIFFEREZA è uguale alla somma delle corrispondenti incertezze ICERTEZZA SUL PRODOTTO E/O QUOZIETE è uguale alla somma delle corrispondenti incertezze relative a + b a b a b a b δ a+ δb δa δb + a b Se le incertezze dedotte sulle grandezze a e b sono indipendenti e casuali, una stima più realistica (e inferiore) dell incertezza da attribuire alla grandezza derivata prevede la somma dei quadrati delle incertezze: SOMMA E/O DIFFEREZA PRODOTTO E/O QUOZIETE ( δ a) + ( δ b ) δa δb + a b