Capitolo 2. La misura

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1 Capitolo 2 La misura 1

2 Gli strumenti di misura Possono essere digitali o analogici: la risposta di uno strumento digitale varia con discontinuità (a scatti) al variare della grandezza misurata e appare sul display come una sequenza di cifre: la risposta di uno strumento analogico varia con continuità al variare della grandezza misurata e in genere si legge su una scala graduata: 2

3 La precisione di uno strumento La precisione di uno strumento di misura è un indice della qualità dello strumento. Uno strumento è preciso se: misurando più volte la stessa grandezza, fornisce sempre lo stesso risultato; le sue misure sono in accordo con quelle di altri strumenti, noti come affidabili e presi come riferimento. 3

4 Il campo di misura di uno strumento Il campo di misura di uno strumento è l insieme dei valori che esso è in grado di misurare. La portata è il valore massimo che può essere misurato da uno strumento il cui campo di misura comincia dal valore zero. 4

5 La sensibilità di uno strumento La sensibilità di uno strumento è la minima variazione che può rilevare tra i valori della grandezza in esame N.B.: non è detto che lo strumento più sensibile sia anche il più preciso! 5

6 La prontezza di uno strumento La prontezza di uno strumento indica la rapidità con cui esso risponde a una variazione della grandezza misurata. 6

7 L incertezza delle misure E impossibile ottenere una misura esatta: a ogni misura è associata un incertezza. L incertezza ha due cause: la sensibilità limitata dello strumento di misura gli errori inevitabili del processo di misurazione 7

8 L incertezza dovuta allo strumento Se la sensibilità del righello è un millimetro, i decimi di millimetro sono incerti. Se la sensibilità del calibro è un decimo di millimetro, i centesimi di millimetro restano incerti. 8

9 Gli errori casuali Gli errori casuali variano in modo imprevedibile da una misurazione all altra e influenzano il risultato a volte per eccesso, altre per difetto. Errori casuali tipici sono: start/stop del cronometro in ritardo/anticipo; l allineamento dell oggetto da misurare con lo zero dello strumento; l errore di parallasse, causato dal disallineamento tra gli occhi e l indice dello strumento (analogico). 9

10 Gli errori sistematici Gli errori sistematici alterano le misure sempre per eccesso o sempre per difetto. Possono essere dovuti a: malfunzionamento dello strumento (es.: cronometro o bilancia tarati male); processo di misurazione (es.: starter con pistola a salve invece che pistola elettronica). 10

11 Come esprimere una misura Per tener conto dell incertezza della misura, il risultato di una misurazione deve sempre essere espresso nella forma: 11

12 L incertezza di una misura singola Quando si misura una grandezza x una sola volta: il valore x della grandezza è la risposta fornita dallo strumento; l incertezza x della misura è la sensibilità dello strumento stesso. Esempio: m 0,18 0, 01 kg indica che una massa m è compresa tra: m 0,18 0,01 kg = 0,17 kg e m 0,18 0,01 kg = 0,19 kg 12

13 L incertezza di una misura ripetuta Il valore medio Quando si misura una grandezza per n volte nelle medesime condizioni e si ottengono i valori x1, x2,..., xn: x come valore della grandezza si deve scegliere il valore medio, definito come: x 13

14 L incertezza di una misura ripetuta La semidispersione massima Di solito, in una misura ripetuta, si assume come incertezza x il valore più grande tra: la sensibilità dello strumento e la semidispersione massima, definita come: 14

15 Il risultato di una misura ripetuta Esprimiamo correttamente il risultato della misura sperimentale della durata di cinque oscillazioni di un pendolo: t t t valore medio: t 14,5 14, 7 14, 4 14, 6 14,5 14,3 s semidispersione massima: 6 e 14,5 s 14,7 14,3 s 2 0,2 s Poiché e è maggiore della sensibilità del cronometro (0,1 s) l incertezza t e. Quindi: t t t 14,5 s 0,2 s 15

16 L analisi statistica dei dati sperimentali Per ridurre l incertezza di una misura soggetta a errori casuali è necessario raccogliere un numero elevato di dati. All aumentare dei dati a disposizione, l istogramma tende ad assumere la forma a campana descritta matematicamente dalla curva di Gauss: 16

17 La curva di Gauss La curva di Gauss ha le seguenti proprietà: è simmetrica; è centrata nel valor medio xdella grandezza x; contiene oltre i 2/3 dei valori di x nell intervallo tra e, dove: x x («sigma») è lo scarto quadratico medio: 17

18 Il risultato di una misura sperimentale Dati raccolti nell esperimento di caduta di una pallina: La sensibilità del cronometro usato è 0,01 s. valore medio: t 1,35 s tmax t 1,59 1,15 s min semidispersione massima: e 2 2 scarto quadratico medio: 0,09 s 0, 22 s Scegliendo anzichè e (entrambi maggiori della sensibilità del cronometro) si riduce l incertezza della misura. Quindi il risultato espresso nella forma corretta è: t t t 1,35 s 0,09 s 18

19 L incertezza relativa Si definisce incertezza relativa il rapporto e r tra incertezza e valore: L incertezza relativa è un indice della precisione della misura: più è piccola, più la misura è precisa. 19

20 L incertezza relativa - esempio Quale delle due misure è più precisa? e auto r m 5 kg 1 m 1250 kg 250 0,004 e pasta r m 0,1 hg 1 m 5,0 hg 50 0,02 La misura della massa dell automobile è più precisa, anche se ha un incertezza più grande. 20

21 L incertezza percentuale L incertezza percentuale e % è l incertezza relativa espressa in forma percentuale: Esempio: auto e % 0, % 0,4% pasta e % 0, % 2% 21

22 L incertezza di una misura indiretta Date due misure: a a a, b b b valgono le seguenti formule: 22

23 Le cifre significative Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta. cifre certe mm cifra incerta Per la cifra 0 valgono le seguenti regole: è significativa quando è compresa tra cifre diverse da 0, quando è alla fine del numero, quando è dopo la virgola (es.: 32,0 ha tre cifre significative); non è significativa quando è all inizio del numero (es.: 0,032 ha due cifre significative). 23

24 L arrotondamento Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro che abbia meno cifre significative e che meglio approssimi il numero originale. L approssimazione può essere: per difetto quando la prima delle cifre eliminate è 0,1, 2, 3, o 4 (es.: da 12,436 a 12,4); per eccesso quando la prima delle cifre eliminate è 5, 6, 7, 8 o 9. In questo caso si aumenta di una unità la cifra che la precedeva (es.: da 2,625 a 2,63). Se le cifre eliminate sono prima della virgola, devono essere sostituite con degli zeri (es.: da 11035,3 a 11040) 24

25 Le cifre significative di una misura Per scrivere la misura di una grandezza, valgono le seguenti regole: l incertezza della misura si arrotonda di solito a una cifra significativa; il valore della grandezza si arrotonda in modo che la sua ultima cifra significativa sia nella stessa posizione di quella dell incertezza. Esempio: se t = 18,26 s con incertezza pari a 0,2 s, si arrotonda il suo valore in modo che abbia una sola cifra dopo la virgola: t 18,3 0, 2 s 25

26 Le cifre significative nelle operazioni Moltiplicazione e divisione Eseguendo operazioni sulle misure, occorre considerare le rispettive incertezze, che si riflettono nelle cifre significative dei dati e del risultato. Valgono le seguenti regole: moltiplicazione e divisione di una misura per un numero: il risultato ha lo stesso numero di cifre significative della misura (es.: 5,87 s 4 23,5 s ); moltiplicazione e divisione di misure: il risultato ha lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa (es.: 48,2 km : 3, 7524 h 12,8 km/h ). 26

27 Le cifre significative nelle operazioni Addizione e sottrazione addizione e sottrazione di misure: sono significative solo le cifre che si ottengono come somma o differenza di cifre significative Esempio: 1, 1 3? kg + 0, kg = 1, kg La terza cifra decimale del risultato non è significativa perché il primo addendo non ha una cifra significativa in corrispondenza. Il risultato deve essere arrotondato a tre cifre significative: 1,13 kg + 0,528 kg = 1,66 kg 27

28 Le misure in un esperimento I dati sperimentali Una legge fisica è una relazione matematica che lega due o più grandezze e che descrive un fenomeno. Ogni legge fisica deve essere verificata con esperimenti. I dati sperimentali sono costituiti da misure e incertezze. 28

29 Il grafico sperimentale I dati sperimentali possono essere rappresentati in un grafico in cui si evidenziano le barre di errore, che indicano le incertezze di ogni misura. Partendo dal valore del punto sperimentale, in orizzontale si riportano le incertezze della grandezza indicata in ascissa, in verticale quelle della grandezza in ordinata. In un grafico sperimentale una coppia di dati è rappresentata da un rettangolo. 29

30 L analisi del grafico sperimentale Mediante procedimenti matematici, si traccia la curva che meglio approssima i dati sperimentali. Tale curva indica la tipologia di relazione che lega le due variabili. Nell esempio, la curva che taglia tutti i rettangoli che rappresentano le coppie di dati è una retta passante per l origine. Poiché la retta passante per l origine è il grafico che descrive una relazione di proporzionalità diretta, ciò significa che i dati sperimentali dimostrano che la grandezza riportata in ordinata è direttamente proporzionale a quella in ascissa. 30