IL PALLINOMETRO SCOPO

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1 IL PALLINOMETRO SCOPO Verifica del fatto che gli errori casuali nella misura di una grandezza fisica ripetuta molte volte nelle stesse condizioni sperimentali seguono la distribuzione normale di Gauss. APPARATO STRUMENTALE Pallinometro o generatore di numeri casuali. Due nonii lineari indipendenti (bianco e nero) permettono di misurare la lunghezza proporzionale a quella dello spazio vuoto tra la sommità della colonna di biglie e la sommità del cilindro. Sia l errore di sensibilità del nonio utilizzato. OPERAZIONI DI MISURA Scelto uno dei due nonii, effettuare n = 150 misure (+5 di sicurezza), mediante rotazioni consecutive del cilindro di 360 o (posizione verticale). 0-0

2 ELABORAZIONE DEI DATI Calcolare utilizzando le n = 150 misure: La media aritmetica: m = 1 n n i=1 m i Gli scarti delle misure: s i = m i m (arrotondati a ). Lo scarto quadratico medio: σ m = 1 n s 2 i n 1 significative). i=1 (arrotondato a 2 cifre Utilizzare il criterio del 3 σ per l eventuale rigetto di alcune misure anomale e la loro sostituzione con quelle di sicurezza. In caso di rigetto, ricalcolare media e scarto quadratico medio. Lo scarto quadratico medio della media: σ m = σ m / n (arrotondato a 2 cifre significative). 0-1

3 ISTOGRAMMA DEGLI SCARTI Si definiscono le classi di frequenza: si suddividono gli n scarti in gruppi tali che 2k 1 2 < s k < 2k+1 2, dove k = 0, ±1, ±2, e l errore di sensibilità del nonio. Calcolare la frequenza relativa di ciascuna classe ν k = n k n. Calcolare la densità di frequenza relativa di ciascuna classe: ν k / Produrre la tabella (k, n k, ν k, ν k /). Costruire l istogramma degli scarti, ponendo in ascissa k (unità: ) e 1 in ordinata ν k / (unità: ). La base di ogni colonna è pari a, n l altezza è pari a ν k /, per cui l area della singola colonna è ν k e l area totale dell istogramma è unitaria. 0-2

4 A questo punto l elaborazione dei dati è suddivisa in tre parti, ciascuna delle quali mira a verificare che la distribuzione degli scarti è buona approssimazione della distribuzione gaussiana degli errori. 0-3

5 PRIMA VERIFICA Si utilizzano le relazioni teoriche attese tra errore medio, errore probababile ed errore quadratico medio, e le si confrontano con le corrispondenti stime empiriche. Calcolare lo scarto medio: θ s = 1 n n s i i=1 Stimare lo scarto probabile ρ s = a, tale che metà delle misure abbia scarti compresi entro l intervallo [ a, +a]. La quantità a si deriva per via grafica. Nella pratica per ogni classe di frequenza k si calcolano: F int (k) somma aree degli scarti entro l intervallo [ k, k] F est (k) somma aree degli scarti esterni all intervallo [ k, k] La differenza delle aree F(k) = F int (k) F est (k) va graficata in funzione di k. Interpolando linearmente tra i due valori di F(k) (uno positivo e l altro negativo) che contengono lo zero, e imponendo la condizione F(a) = 0, si ottiene la stima dello scarto probabile ρ s = a. Attenzione: conviene conteggiare la colonne ±k sia in F int (k) che in F est (k). 0-4

6 Figure 1: Esempio grafico per il calcolo delle aree F int (k) (azzurro) e F est (k) (giallo) relativamente alla classe k = 2. I colori alternati (giallo/azzurro) delle colonne k = ±2 stanno ad indicare che le loro aree devono essere incluse sia in F int (k) che in F est (k). 0-5

7 È quindi possibile confrontare le relazioni teoriche θ/σ e ρ/σ con i rapporti delle corrispondenti stime empiriche. 0-6

8 SECONDA VERIFICA Ci si prefigge di verificare empiricamente la relazione teorica σ m = σ n. Nella pratica, suddividere le n = 150 misure in n gruppi con popolazione n 0, ovvero: 15 gruppi da 10 (n = 15, n 0 = 10), 10 gruppi da 15 (n = 10, n 0 = 15), 5 gruppi da 30 (n = 5, n 0 = 30), e 3 gruppi da 50 (n = 3, n 0 = 50). Per ciascuna suddivisione (n, n 0 ) calcolare: La media parziale aritmetica per ciascun gruppo j: m j = 1 n 0 n 0 m i,j (n valori). i=1 n La media aritmetica delle medie parziali m = 1 n Vericare in base ai dati che m = m (con le 150 misure). Lo scarto della media parziale dalla media delle medie s mj = m j m (n valori). j=1 0-7

9 Lo scarto quadratico medio della variabile media parziale: σ m0 = (4 valori). 1 n 1 Si dimostra che l errore di sensibilità relativo al metodo di misura che consiste nella determinazione della media aritmetica con n misure è m = n. Medie parziali e rispettive deviazioni sono arrotondate con un errore di sensibilità (1 sola cifra significativa) pesato sul numero di determinazioni usate 0 = n 0. Costruire il relativo istogramma degli scarti delle medie parziali per ciascuna suddivisione (n, n 0 ), assumendo come classi di frequenza in ascissa intervalli di ampiezza 0 = /n 0. In totale 4 istogrammi per ogni nonio. Attenzione alla costruzione delle classi di frequenza. Per ciascuna suddivisione produrre la tabella (k, n k, ν k, ν k / 0 ) n j=1 s 2 m j 0-8

10 A questo punto il materiale elaborato ci consente di verificare la relazione di partenza, e.g. σ m = σ n. Per ogni suddivione (n, n 0 ) si determini lo scarto massimo a max, ovvero la semiampiezza massima dell istogramma delle medie parziali. Da notare che le 150 misure possono essere riguardate anche come 150 gruppi da 1 elemento ciascuno. Si ottiene quindi una tabella del tipo: a max n n Consideriamo la famiglia biparametrica di curve a max = Bn C 0, che include quella che si vuole vericare (per C = 1/2). Passiamo ai logaritmi e otteniamo log a max = log B + C log n 0 L equazione definisce una retta del tipo y = mx + q, avente pendenza m = C e intercetta sull asse delle ordinate q = log B. I parametri B ec 0-9

11 sono incogniti e devono essere stimati dai dati. A tale scopo si utilizzino i due punti in tabella che sono statisticamente più significativi, ovvero quelli che corrispondono al maggior numero di elementi (medie parziali), nel caso specifico quelli per n = 150 e n = 15. Si grafica quindi la relazione empirica log a max vs log n 0 e si trova la retta (pendenza e intercetta) che passa per i due punti prescelti. 0-10

12 Prima verifica: stimata la pendenza C, la si confronta con il valore 1/2, che rappresenta la dipendenza dell errore quadratico medio della media dal numero di misure. Seconda verifica: stimata l intercetta log B, si controlla se è soddisfatta approssimativamente la relazione B 3σ m, dove σ m è lo scarto quadratico medio dell istrogramma più popolato, cioè quello con n = 150 e n 0 = 1. TERZA VERIFICA La curva di Gauss da riportare sopra all istogramma (relativo alle 150 misure) è data da f(s) = 1 1 exp 2 σ m 2π ( s ) 2 σ m (1) dove σ m è lo scarto quadratico medio delle misure. 0-11

13 Per valutare la bontà dell approssimazione dell istogramma degli scarti alla funzione normale degli errori, si consideri la generica colonna k corrispondente allo scarto k. La probabilità che tale scarto abbia luogo è dato da 0-12

14 P(s k ) = 2k+1 2 2k exp 2 σ m 2π ( s σ m ) 2 ds (2) ovvero: Si calcola l integrale con la regola dei trapezi, P ( s k ) base media altezza, ( sk ) 2 P(s k ) = 1 1 exp 2 σ m 2π σ m (3) ν k n k Consideriamo come variabile casuale la grandezza fisica in ordinata, ovvero la densità di frequenza relativa =, e valutiamone il valore di aspettazione e la n varianza. Qual è la distribuzione di probabilità da applicare a ν k /? Per rispondere a questa domanda si consideri il vericarsi dello scarto s k come un evento semplice di probabilita P(s k ). Il vericarsi di n k scarti s k su n prove (le misure) può essere considerato un evento complesso dovuto al concorso di n k eventi semplici. L evento contrario 0-13

15 E è dato dal vericarsi di tutti gli altri scarti. Queste considerazioni ci legittimano ad applicare la distribuzione binomiale (n k successi in n prove ripetute). E Il valore di aspettazione della variabile n k è E(n k ) = np(s k ), da cui segue ( νk ) = P(s k). L errore quadrarico medio della variabile n k è σ nk = np(s k )[1 P(s k )], da cui deriva la varianza σ 2 ν k σ ν k = 1 = ( 1 n) 2 σ 2 nk e quindi P(sk )[1 P(s k )] n Valore di aspettazione ed errore quadratico medio della variabile ν k vanno calcolati per ogni valore di k e riportati nel grafico. In particolare le barre di errore verticali sono centrate sui valori di aspettazione ed estese da a 3σ ν k a +3σ ν k evidenziando i sottomultipli di σ ν k Il confronto tra curva teorica e istogramma si ritiene soddisfatto se tutte le altezze 0-14

16 delle colonne sono comprese entro l intervallo [ 3σ ν k entro [ 2σ ν k, +2σ ν k ], e circa i 3/4 entro [ σ ν k, +σ ν k, +3σ ν k ], la maggior parte ]. 0-15

17 QUARTA PARTE Dare la soluzione al problema della misura, relativamente alla lunghezza dello spazio vuoto all interno del cilindro. Dal semplice esame visivo è apparso subito chiaro che le misure del nonio approssimano la lunghezza in esame a meno di un errore sistematico sist > 0, di entità incognita. Il risultato delle misura sarà dunque espresso come: m + sist ± σ m 0-16