Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice.

Transcript

1 Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice. Esperienza n.3 13 Dicembre 2018 Gruppo 9: Gucciardo Gloria; Mazzola Luca Rosario; Nolfo Gloria; Scordato Iacopo; Treppiedi Vincenzo Scopo Avendo a disposizione un sistema massa-molla e un cronometro digitale (avente risoluzione r = 0.01 s): I. misurare il periodo di oscillazione dell oscillatore; II. determinare la costante elastica della molla elicoidale e commentare il risultato ottenuto. Strumentazione Vengono messi a disposizione: Una molla (dotata di un anello a uno dei suoi estremi tramite il quale è possibile agganciare l oggetto); Un supporto metallico con braccio per appendere la molla; Delle masse-campione, sui cui valori di massa abbiamo quindi considerato gli errori trascurabili; Un gancio; Il cronometro del nostro telefono (il cui errore di lettura corrisponde a un unità su LSD pari a 0.01 s), poiché i cronometri non erano sufficienti per tutti i gruppi.

2 Procedimento Pt.1 La prima parte dell'esperienza era finalizzata a ricavare il periodo di oscillazione del sistema massamolla; fissata una massa da utilizzare in questa fase, 50 grammi (trascurando l'errore assoluto relativo a tale misura), ciascun membro del gruppo ha effettuato 20 misurazioni del periodo di oscillazione, misurando il tempo relativo a dieci oscillazioni e ricavando quello della singola oscillazione dividendo per il numero di oscillazioni contate. Misurazione Nolfo(s) Mazzola(s) Gucciardo(s) Scordato(s) Treppiedi(s) Tabella dati (1) Utilizzando i dati ottenuti dai 5 componenti abbiamo costruito 5 istogrammi diversi ed infine un istogramma con il set totale di dati.

3 Gli istogrammi sono stati costruiti considerando la densità di frequenza (f i ): f i = F i Δi in cui F i è la frequenza relativa e Δi è la grandezza di un bin. Ricaviamo la frequenza relativa come rapporto tra la frequenza assoluta (n i ) e il numero totale di misurazioni. Dopo aver scelto un bin di 0.010s, otteniamo: Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < Tabella istogramma 1 Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < T < T < Tabella istogramma 2 Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < T < Tabella istogramma 3 Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < Tabella istogramma 4

4 Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < T < T < Tabella istogramma 5 Intervallo (s) Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza T < T < T < T < T < T < Tabella istogramma complessivo Da cui gli istogrammi:

5

6 Osservando gli istogrammi, notiamo che l istogramma complessivo, contenente molte più misure dei precedenti, ha una forma più simmetrica. Infatti, come sappiamo, più misurazioni vengono effettuate, più l istogramma si avvicinerà ad una curva continua, assomigliando alla distribuzione limite. A partire da ciascun set di dati (le serie di misurazioni dei membri presenti più la serie complessiva) e poi dal punto di vista grafico (su ciascun istogramma) si sono ottenute la media e la deviazione standard. Alla media dei valori (calcolata come sommatoria di tutti i valori diviso il numero degli stessi) è stato associato un errore dato dalla deviazione standard diviso la radice quadrata del numero dei valori, definito deviazione standard della media. A questo andava aggiunto l'errore derivante dall'uso dello strumento, diviso per 10, assunto pari alla sua risoluzione, essendo esso uno strumento digitale.

7 Il significato geometrico della media in un istogramma è il centro della campana. La deviazione standard corrisponde geometricamente a mezza larghezza del grafico a metà altezza. Tramite le formule calcoliamo: Media Deviazione standard N x = 1 N x i i=1 σ x = 1 N 1 (x i x ) 2 N i=1 Deviazione standard della media σ x = σ x N Possiamo compilare la seguente tabella attraverso i dati raccolti e i grafici: Set Media (dati) (s) Dev St (dati) (s) Media (graf) (s) Dev St (graf) (s) Totale Tabella dati (2) La migliore stima del periodo, con massa costante pari a 50g, risulta essere: T = (0.638 ± 0.002) s

8 Procedimento pt.2 La seconda parte dell'esperienza era finalizzata a determinare la costante elastica della molla elicoidale. Ciascun membro del gruppo ha effettuato 20 misurazioni del periodo di oscillazione, su un campione di massa diverso, misurando il tempo relativo a dieci oscillazioni e ricavando quello della singola oscillazione dividendo per il numero di oscillazioni contate. Misurazioni 30g (s) 40g (s) 50g (s) 60g (s) 70g (s) Tabella dati (3) Possiamo ora calcolare la media e la deviazione standard, come fatto nella parte precedente, e la frequenza angolare secondo la formula: ω = 2π T

9 δ ω = 2π δ T T 2 Otteniamo quindi la tabella: Massa (g) Media (s) Dev Stand (s) δ T (s) ω (rad/s) δ ω (rad/s) Da questi dati possiamo ora calcolare la costante elastica attraverso due metodi grafici: il grafico log-log e la linearizzazione. Il grafico su scala logaritmica Come sappiamo: ω = k m Passando alla forma logaritmica troviamo la relazione funzionale tra la frequenza angolare e la massa, che risulta essere quella di una retta a pendenza negativa: Log (ω) = Log ( k) - 1 Log (m) 2 Creiamo quindi un grafico su SciDAVis in scala logaritmica e riportiamo sulle ascisse la massa e sulle ordinate la frequenza angolare. Poi tracciamo la retta che passa per A(1, 10) e B(100, 1), che abbia quindi coefficiente angolare 1, e la spostiamo sui punti sperimentali. 2 Poi tracciamo una retta verticale in corrispondenza di uno dei due punti citati precedentemente, (B, poiché più vicino dell altro).

10 Ora, consideriamo nuovamente la prima formula di questo paragrafo, ma scritta in modo differente: k = ω 2 m Sappiamo che m e ω sono l ascissa e l ordinata del punto di intersezione tra la retta verticale e le due rette parallele. Quindi otteniamo: P 1 (100, 6.997) P 2 (100, 6.761) Ricordandoci di dividere la massa per 1000 per passare da grammi a kilogrammi, si ottiene: k 1 =4.896 N/m k 2 =4.571 N/m Il valore best della costante elastica della molla (k) tramite media e semidispersione è: k = (4.734 ± 0.108) N/m

11 Il grafico linearizzato Un altro metodo per ricavare graficamente la costante elastica della molla è la linearizzazione. Riprendiamo la formula: ω = (k/m) La scriviamo in questo modo: m = k(1/ω 2 ) Ponendo z come (1/ω 2 ) otteniamo: m = kz Calcoliamo z: Massa (g) z (s 2 ) Costruiamo quindi un grafico che riporti sulle ordinate la massa e sulle ascisse la quantità appena definita come z. La pendenza risulterà uguale alla costante elastica della molla.

12 Calcoliamo l inclinazione della retta di minima pendenza: A (0.006, 30.65), B (0.015, 69.45) k min ~ N/m Calcoliamo l inclinazione della retta di massima pendenza: A (0.006, 28.23), B (0.015, 73.44) k max ~ N/m Possiamo ora stimare il valore best della costante elastica della molla come: k = (4.667 ± 0.356) N/m Conclusioni Per confrontare i risultati ottenuti con i due metodi calcoliamo gli errori relativi. Grafico log-log: 2.28% Grafico linearizzato: 7.63% Dagli errori relativi risulta che il valore di k ricavato dal grafico in scala logaritmica è più accurato rispetto all altro.