Laboratorio di Fisica I- Modulo I Anno Accademico 2018/2019 Esperienza di laboratorio n 3

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1 Laboratorio di Fisica I- Modulo I Anno Accademico 018/019 Esperienza di laboratorio n 3 Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice GRUPPO 10 Alfano Roberto Broccolo Rita Di Gregorio Giusy Adriana Ingrasciotta Denise Lucentini Milena Migliore Antonino

2 OBIETTIVO Misurare il periodo di oscillazione dell oscillatore attraverso la comparazione di dati esaminati graficamente mediante istogrammi. Inoltre, attraverso i dati ottenuti viene determinata la costante elastica della molla elicoidale per mezzo della scala log-log. STRUMENTAZIONE Pesi di masse varie; Software di analisi grafica dei dati (SciDavis); Cronometro digitale con risoluzione r=0,01 s; Oscillatore composto da una molla con coefficiente di elasticità ignoto; CENNI TEORICI Dall equazione differenziale del moto armonico risulta che d x dt^ ω A = 0. Dalla dinamica dunque otteniamo che Dalla legge di Hooke, invece, F a = mω A u x F e = kx u x Se imponiamo che F a = F e ex = A, otteniamoω = k m. Ma ω = π T, allora π T = k, da cui m Log(ω) = Log(k) Log (m) Log(m) = Log(k) Log (ω) Esplicitando rispettivamente ω e m si possono ottenere dei punti sperimentali linearizzati, la quale elaborazione ci permetterà di ottenere il parametro k. PROCEDIMENTO PRIMA PARTE Da ogni componente del gruppo viene cronometrato il periodo di 10 oscillazioni, di una stessa massa (dal valore di 5 g), per 0 volte utilizzando il sistema massa-molla fornito durante l esperienza. Dai risultati si è potuto verificare che le misure ottenute differivano l una dall altra, in quanto influenzate da errori casuali più grandi di quelli strumentali, di conseguenza sono stati trattati statisticamente. Dai risultati dei 6 componenti del gruppo sono stati costruiti 6 istogrammi più uno complessivo, ognuno è stato rappresentato in funzione della frequenza relativa Fi, utile a specificare la distribuzione dei risultati:

3 F i = n i N Sommando le frazioni di Fi per tutti i possibili risultati xi si ottiene F i = 1 i per definizione di normalizzazione. F i = n i = n n n = 1 i i N = 0 N = 0 N = 0 N = 0

4 N = 0 N = 0 N = 10 In seguito viene riportata la tabella delle misure ottenute durante l attività in laboratorio in cui all interno vengono riportate le misure (suddivise in intervalli di ampiezza 0.05 che, essendo maggiore della risoluzione dello strumento, garantisce la visualizzazione di un istogramma ben definito), la frequenza di occorrenza, che geometricamente corrisponde all area dell intervallo dell istogramma. Tabella Δ ni 4,50 x < 4,55 5 4,55 x < 4, ,60 x < 4,65 3 4,65 x < 4,70 4 4,70 x 4, ,75 x < 4, ,80 x < 4, ,85 x < 4,90 6 4,90 x < 4,95 1 4,95 x 5,00 1 La frequenza relativa del secondo intervallo è stata arrotondata per eccesso dato che per definizione la i F i = 1

5 Gli istogrammi ci consentono di verificare se la densità di frequenza dei loro intervalli i-esimi è conforme alla distribuzione gaussiana. Sappiamo che tale distribuzione assume una forma a campana, dove la media corrisponde all ascissa del punto massimo della funzione e la deviazione standard corrisponde al parametro di larghezza della distribuzione. Γ è la larghezza a mezza altezza della distribuzione gaussiana con parametro di larghezza σ e Γ è più grande di σ 5 rispetto a σ. Dunque si può adottare Γ come parametro di controllo per verificare che i calcoli corrispondono agli istogrammi. (Supponendo che i calcoli corrispondano) dagli istogrammi e dal test grafico del gamma mezzi si evince che i dati sono distribuiti normalmente, dunque si può utilizzare σ come parametro d errore statistico. Dopo aver riportato tutte le misure ottenute negli opportuni istogrammi è stata calcolata la media [1.0] e la deviazione standard [1.1] per ogni set di numeri ricavati x = i x in i N = x in i i i i [1.0 ] σ = N i=1 d i = x i F i N 1 = (x i x ) N 1 [1.1] dove N è il numero totale di misurazioni, xi corrisponde al valore della misura ottenuta,ni è il numero di occorrenza di xi e di è lo scarto. Nella seguente tabella sono riportati i valori medi dei periodi di una singola oscillazione T 10 e le 10 relative deviazioni Tabella x [s] σ x [s] Migliore 0,464 0,003 Roberto 0,464 0,006 Giusy 0,465 0,009 Rita 0,466 0,005 Denise 0,475 0,010 Milena 0,479 0,007 Tutti 0,479 0,007 Infine tenendo in considerazione il set totale di misure è stato determinato il valore T (best) e la sua indeterminazione in base alla formula: δ x = σx + δ str [1.] Calcolando la deviazione standard della media in base alla formula σ x medio = σ x N ottenendo σ x medio = 0,0006 E tenendo in considerazione che tale valore ha (un errore casuale)? Viene calcolato qui di seguito l errore complessivo δ x = 0,0016

6 Quindi T (best) = 0,4787± 0,0016 SECONDA PARTE Durante la seconda parte dell esperienza viene cronometrato da parte di ogni componente il periodo di10 pulsazioni di masse diverse per 0 volte l una, utilizzando sempre il sistema massamolla. Lo scopo è quello di ricavare la costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice attraverso la scala logaritmica e la linearizzazione. Qui di seguito viene riportata la tabella con le masse scelte da ogni componente, le medie dei periodi, le deviazioni standard, le relative deviazioni standard della media, e l errore assoluto complessivo ottenuto dalla formula [1.]. TABELLA Masse x σ x σ x δ x 0gr gr gr gr gr Si riportano nella seguente tabella le masse, le relative pulsazioni con gli errori. Masse ω [rad/s] δ ω [rad/s] 0gr gr 10, gr gr gr Questi dati vengono riportati in un grafico in scala log-log, cosicché la relazione fra le due quantità venga linearizzata dal grafico stesso. Infatti le due quantità sono legate dalla relazione: ω = k m Svolto il logaritmo di entrambi i membri si ottiene: log(ω) = 1 log(m) + log ( k) Ponendo Y = log(ω) [1.3] X = log(m) [1.4]

7 ricaviamo graficamente l intercetta best delle rette il cui coefficiente angolare, secondo le relazioni precedenti, è 1. Ricavata l intercetta massima e minima per x = 30g utilizzando le relazioni [1.] e [1.3], otteniamo l intercetta best come la loro semisomma e l errore sull intercetta come la loro semidispersione. Risulterà k = ( 30ω). Da ciò ne risulta che k max = (5,48) (1,33) = 4580 g s k max = (5,48) (1,35) = 4580 g s k best = = 457,5 g s δ k = 7,5 g s GRAFICO Un procedimento alternativo per ricavare graficamente il coefficiente di elasticità della molla è la linearizzazione, che consiste nel riportare le pulsazioni in funzione della variabile z = m -1\ in un grafico in scala lineare (che equivale a riportare le masse in funzione di T ) e ricavarne il 4π

8 coefficiente angolare della retta che meglio si adatta ai dati sperimentali, e il suo errore, mediante il metodo delle rette di massima e minima pendenza. k min [ g s ] k max [ g s ] 65,30 66,75 k best = k min+ k max = 66,05 g s δ k = k max k min = 0,7 g s k best = 4359,3 g s Si propaga l errore: δ k = kδ k = 95,08 g s GRAFICO k = k best ± δ k = ( k best ) ± k best δ k

9 Qui di seguito viene riportata la tabella con i z ricavati, le pulsazioni e i relativi errori Masse Z [1/ g] ω [rad/s] δ ω [rad/s] 0gr gr , gr gr gr CONCLUSIONE Log-log Linearizzazione k best [ g s ] δ k [ g s ] ε k% k best [ g s ] δ k [ g s ] ε k% 457,5 7,5 0,% 4359,3 95,08,% Poiché la discrepanza è maggiore della somma degli errori non è possibile confrontare le due misure, tuttavia si può determinare il metodo più preciso confrontandone gli errori relativi.