Significato probabilistico di σ: su 100 misure, 68.3 hanno probabilità di cadere nell intervallo x σ, x +σ, 95.5 nell intervallo

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1 Significato probabilistico di σ: su 1 misure, 68.3 hanno probabilità di cadere nell intervallo x σ, x +σ, 95.5 nell intervallo x σ, x + σ e 99.7 nell intervallo x 3 σ, x + 3 Se si considerano campioni diversi di una stessa popolazione, le loro medie saranno diverse per cui si potrà definire una deviazione standard della media: σ σ x = N Si definisce varianza il quadrato della deviazione standard: σ N ( xi x) N N N N i= = = xi xi x + x = N N i= 1 i= 1 i= 1 N i= 1 x i x + x = x x σ

2 Cifre significative In genere, si usa una cifra significativa per scrivere l errore massimo (errore di sensibilità, semidispersione massima) e due per l errore statistico (deviazione standard). Se eseguiamo una misura di uno spessore di circa 1.5 mm con un righello millimetrato, un calibro decimale e un palmer di sensibilità.1 mm/div, la misura va espressa come: h=(1.5±.1) cm o se apprezzo la mezza divisione h=(1.55±.5) cm, h=(1.57±.1) cm; la media ottenuta col palmer supponiamo sia cm, la semidispersione max h=.9 cm e σ=.33 cm assumendo 36 misure. Con h dovremmo scrivere h=(1.565 ±.9) cm; la deviazione standard della media è σ/n 1/ =.55 cm e se assumiamo per l incertezza 3 volte tale valore avremmo h=( ±.17) cm.

3 I numeri decimali e le cifre significative

4 Errore massimo di una misura indiretta. Propagazione degli errori. Sia G=G(x,y,z,.); il suo differenziale è: G G G dg = dx + dy + dz +... x y z Assumiamo che l errore sulle grandezze dirette sia una piccola variazione x, y, z, per cui l errore massimo su G si assume essere: G = G x x + G y y + G z z +...

5 Propagazione dell errore standard. Nota la deviazione standard di ciascuna misura diretta e assumendo gli errori indipendenti, si può dimostrare che l errore standard su G è dato da: = z y x G z G y G x G σ σ σ σ Esempi: 4 T l g π = T T l l T g + = π π

6 Errore relativo G / G dg / G = d ln G G = x α y β z γ... G x y z / G = α + β + γ +... x y z

7 Esempio: misura del periodo di un pendolo

8 Esempio: misura del periodo di un pendolo La media è la quantità che rende minima la somma dei quadrati degli scarti. ( ) x x = ( x x) = i min i xi = Nx

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10 Frequenza e distribuzione degli scarti Se l errore di sensibilità del cronometro è 5 ms, la base del rettangolo dell istogramma dev essere almeno il doppio e quindi 1 ms. Possiamo riportare la frequenza dividendo per il numero totale di misure il numero di misurazioni che cadono in un certo intervallo.

11 Frequenza e distribuzione degli scarti

12 Frequenza e distribuzione degli scarti

13 Frequenza e distribuzione degli scarti

14 Frequenza e distribuzione degli scarti

15 ,15 n=,1,9,6, ,15 n=4,1,9,6, ,15 n=8,1,9,6, ,15 n=16,1,9,6, ,15 n=3,1,9,6, n= ,15 n=18,1,9,6, ,15 n=56,1,9,6, n=

16 LA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA All'aumentare del numero di misure, i valori tendono ad accentrarsi attorno alla loro media e l'istogramma assume una forma a campana sempre più regolare, che può essere approssimata con una funzione reale nota come funzione di gauss o funzione normale.

17 .15 n= n= n= n= n= n= n= n= n=

18 La funzione di Gauss Gli errori casuali di misura (ε =x-µ), considerati nel loro complesso, mostrano un comportamento tipico che può essere così descritto: gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi. Gli errori di segno negativo tendono a manifestarsi con la stessa frequenza di quelli con segno positivo. All'aumentare del numero delle misure si ha che /3 dei valori tendono ad essere inclusi nell'intervallo media ± 1 deviazione standard Il 95% dei valori tende ad essere incluso nell'intervallo media ± deviazioni standard

19 La funzione di Gauss f(x).9 µ.6 ±1 deviazione standard.3 ± deviazioni standard x = concentrazione di glucosio (mg/dl)

20 La funzione di Gauss f(x) massimo.9 flesso flesso.6.3 σ µ f ( x) = 1 1 π σ e x µ σ ( ) x = concentrazione di glucosio (mg/dl) dove: σ è la deviazione standard della totalità delle misure; µ è la media della totalità delle misure;

21 Funzione di Gauss o legge normale Se il numero delle misure, N, tende ad infinito e se facciamo tendere a le ampiezze degli intervalli x, l'istogramma delle frequenze n(x)/n assume una distribuzione continua rappresentata dalla funzione f ( x) 1 exp σ π ( x σ x = v ) n( x) tale che = f ( x) x (frequenza con cui il valore della N misura x compare in x, x+ x)

22 Probabilità di un evento p x) = ( lim N n( x) N La probabilità di un evento è il valore verso cui tende la frequenza quando N tende ad infinito; f(x) x= p(x) dà quindi la probabilità di ottenere una misura x nell intervallo x, x+ x. Poiché f(x)= p(x)/ x, la funzione di Gauss rappresenta una densità di probabilità.

23 Funzione di Gauss Il valore vero x v si può confondere con la media, σ è la deviazione standard

24 Caratteristiche della funzione di Gauss Aspetto a campana f(x) > per x ±, f ( x) per x=x v, fmax ( x) = 1 σ π punti di flesso in x = x v ±σ

25 Analisi dei dati sperimentali Consideriamo l istogramma delle misure dei periodi prima riportato. Calcoliamo la media e la deviazione standard: T = s, σ =.86 s Se confrontiamo l istogramma con la funzione di Gauss possiamo vedere se le misure si distribuiscono secondo una distribuzione normale oppure no.

26 Analisi dei dati sperimentali

27 Analisi dei dati sperimentali

28 Analisi dei dati sperimentali

29 Questo grafico illustra la probabilità (P) che una misura cada entro t deviazioni standard rispetto al valor medio m.

30 La funzione di Gauss standard Si può trasformare una generica funzione gaussiana f(x) con media e varianza {µ,σ }, in ф(z) funzione gaussiana standard con media varianza 1, {µ =, σ =1 } se si pone : (x-µ) z= σ x=µ+z σ la relazione inversa collega (z) alla variabile originale (x)

31 µ= 1 σ=1/ µ= σ=1/ µ=+1 σ=1/ µ= 1 σ= µ= σ=1 GAUSSIANA STANDARD µ=+1 σ= µ= 1 σ= µ= σ= µ=+1 σ=

32 Frattili di una distribuzione Una distribuzione può essere descritta per mezzo dei suoi frattili. Si dice frattile (sinonimi: centile, percentile e quantile) p-esimo di una distribuzione quel valore xp tale che la frequenza relativa cumulata F(x p )= p. Ad esempio, il 5 centile di una distribuzione è il valore che, sull'asse dei numeri reali, ha alla sua sinistra il 5% dei valori della distribuzione, e coincide con la mediana. Il 1 centile è il valore che ha alla sinistra il 1% della distribuzione.

33 f(z) centile 5% 5% 5% deviata gaussiana standard z 75 centile L'area sottesa alla funzione di Gauss, da - ad un dato valore z=z*, indica la frequenza relativa dei valori z z*. F(z) centile 75 centile deviata gaussiana standard z Tale area è data dall'integrale di f(z) definito tra - e z*: z * 1 1 F( z *) = exp( z ) dz π - F(z*) rappresenta la distribuzione cumulativa di f(z).

34 Deviata gaussiana Standard: Aree per z>+z* (o per z<-z*) z*

35 Deviata gaussiana Standard: Aree per z>+z* (o per z<-z*) z* calcolatrice tabella

36 f(z).4 f(z).4 f(z) p. p z* 3 deviata gaussiana standard z.3. 1-p p p z* z* 3 deviata gaussiana standard z p 1 p p 1 -p 1 deviata gaussiana standard z z 3 Detto p (<p<1) il valore dell'area a destra di +z*, l'area a sinistra di +z* vale (1-p). L'area a sinistra di -z* è uguale all'area a destra di +z*. Detto p (<p<1) il valore di tale area, l'area esterna a z* vale p, e l'area interna vale (1-p). L'area compresa tra due valori z 1 *< z * si ricava per differenza (1-p 1 -p ), dove p 1 è il valore dell'area a sinistra di z 1 *, e p quello dell'area a destra di z *.