Statistica Inferenziale

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1 Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri aa 2009/2010 Riepilogo lezione 4 Abbiamo visto: Distribuzioni discrete Modelli probabilistici nel discreto Distribuzione uniforme discreta Distribuzione Bernoulliana Distribuzione Binomiale Distribuzione Poissoniana Legame tra distribuzione Binomiale e Poissoniana 1

2 Modelli probabilistici nel continuo Si hanno quando lo spazio campionario è costituito da una infinita non numerabile di eventi (esempio: durata di una lampadina). E' sempre legata ad una operazione fisica di misurazione di grandezze (peso, durata, tempo, lunghezza...) Esempio misuro l'altezza di tutti gli studenti dell'universita dell'insubria. Riclassifico in classi. Ottengo un istogramma. 2

3 Esempio L'istogramma associa a ciascun punto interno ad una classe una densità di frequenza o densità di probabilità h i = f i /δ i che esprime la probabilita riferibile ad un intervallino di ampiezza unitaria Esempio densità 3

4 Esempio La probabilità corrispondente ad un intervallino di ampiezza δ* tutto contenuto in una classe si ottiene moltiplicando δ* per la densita di probabilità relativa alla classe in cui l'intervallo è compreso In questo schema la probabilità è rappresentata da un'area e quindi la probabilità per un punto (intervallo di ampiezza nulla) è zero Inoltre la somma delle aree dei rettangoli è pari ad uno perchè è la somma delle frequenze relative delle varie classi Smussiamo" ora l'istogramma con una funzione Esempio la funzione è tale che Una funzione con questa proprieta è detta funzione di densità 4

5 Esempio Inoltre risulta che ed F, la funzione di ripartizione, è una funzione non decrescente, continua, per cui vale inoltre: Media e varianza vale sempre la regola V (X) = E(X 2 ) - E(X) 2 dove 5

6 Distribuzione uniforme continua X assume valori sull'intervallo [a; b]: a X b Esercizio 1 Sia X ~ U(-1; 2). Determinate la mediana ed il quantile di ordine 0.9. SOLUZIONE: la funzione di ripartizione di X è quindi la mediana si trova risolvendo rispetto ad x l'equazione quindi Md X = 0.5 6

7 Esercizio 1 Il quantile di ordine 0.9 si trova risolvendo rispetto ad x l'equazione F X (x) = 0.9 quindi QX(0.9) = 1.7 Esercizio 2 X ha distribuzione uniforme continua sull'intervallo (-2; 2). Scrivete l'espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione di X. Disegnatele, e indicate nei due grafici la P(X 1). Infine, calcolate P(X > 1). Ricordiamo che la densità uniforme su un intervallo (a, b) è data da 7

8 Esercizio 2 La funzione di ripartizione è Il valore atteso e la varianza di X sono pari a: Esercizio 2 Nel nostro caso, a = -2, b = 2, quindi e la funzione di ripartizione è 8

9 Esercizio 2 In Figura l'area tratteggiata rappresenta la P(X 1) sul grafico della funzione di densità. Esercizio 2 In questa figura è invece indicata la P(X 1) sul grafico della funzione di ripartizione. 9

10 Esercizio 2 Distribuzione esponenziale (detta anche esponenziale negativa) si tratta di una distribuzione per caratteri CONTINUI NON NEGATIVI cioè i valori assunti sono X 0 come si evince dal grafico riportato in figura in cui è rappresentata la funzione di densità. 10

11 Distribuzione esponenziale Si può usare per descrivere il carattere: tempo di attesa fra due eventi. Esempio 1 Vogliamo studiare il tempo di attesa ad uno sportello bancario. So che in media aspetto 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Il modello adatto per descrivere questo fenomeno è l'esponenziale con parametro λ = 1/4 = Quanto vale la deviazione standard oraria del tempo di attesa? Abbiamo che V (X) = 1/λ 2 = 16 quindi Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale abbiamo che: 11

12 Esempio 1 Vogliamo studiare il tempo di attesa ad uno sportello bancario. So che in media aspetto 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Il modello adatto per descrivere questo fenomeno è l'esponenziale con parametro λ = 1/4 = Quanto vale la deviazione standard oraria del tempo di attesa? Esempio 1 Abbiamo che V (X) = 1/λ 2 = 16 quindi Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale abbiamo che: 12

13 Esempio 2 Supponiamo che la durata in ore di un macchinario sia descritta da un n.a. X con distribuzione esponenziale negativa di parametro λ = Qual è la durata attesa del macchinario? 2. Calcolate la probabilita che la durata sia superiore a 200 ore 3. Calcolate la probabilita che il macchinario funzioni per altre 200 ore, nell'ipotesi che sia ancora in funzione dopo 800 ore Esempio 2 Il n.a. X ha densità : e funzione di ripartizione: 13

14 Esempio 2 Esempio 2 14

15 Esempio 2 - note Questa proprietà della distribuzione esponenziale è detta assenza di memoria Distribuzione Normale si tratta di una distribuzione usata per caratteri CONTINUI cioè i valori assunti sono tutti i numeri reali. Si può usare per rappresentare la distribuzionedegli errori di misurazione: errori grandi risultano meno probabili di errori piccoli (parte centrale della distribuzione più alta delle code). 15

16 Distribuzione Normale Inoltre errori positivi (sovrastima) e negativi (sottostima) risultano ugualmente frequenti, quindi la distribuzione è simmetrica (rif. grafico riportato nelle slide seguenti) Proprio in quest'ambito è stata introdotta la distribuzione Normale da Gauss all'inizio dell'800 (da qui il nome di distribuzione Gaussiana). Distribuzione Normale L'importanza della distribuzione Normale e la sua notorieta sono legate ai cosiddetti teoremi del limite centrale che stabiliscono le condizioni sotto le quali la somma di variabili casuali tende alla normale all'aumentare del numero delle variabili. 16

17 Distribuzione Normale La distribuzione Normale è indicizzata a due parametri, la media μ R e la varianza σ 2 > 0 Distribuzione Normale La funzione di ripartizione della VA Normale non ha un'espressione chiusa, la si puo esprimere solo come integrale questo integrale non è facile da calcolare ma per fortuna esistono delle tavole che, noto il valore di x danno il valore di F X (x) quando X ha una distribuzione Normale Standardizzata cioè con media nulla e varianza unitaria. 17

18 Distribuzione Normale Standardizzata Una distribuzione Normale Standardizzata viene solitamente indicata con Z, risulta quindi: E(Z) = 0 e V (Z) = 1 Nella Figura è rappresentata la funzione di densità di una VA Normale standardizzata Distribuzione Normale Standardizzata Si possono standardizzare tutte le variabili casuali purchè abbiamo media finita e varianza non nulla (se la varianza è nulla non si parlerà più di VA o VC ma di costanti). Per standardizzare una VA le si sottrae la media e si divide per la deviazione standard cioè se X è una VA con la corrispondente VA standardizzata è: e avremo che: 18

19 Distribuzione T-Student Come la normale, è una distribuzione simmetrica. Ha media nulla. E' caratterizzata da un unico parametro detto gradi di liberta " ed indicato con r. Differenza rispetto alla distribuzione normale: la T- Student ha code piu pesanti e quindi è caratterizzata da più dati estremi o anomali (molto grandi o molto piccoli) rispetto alla normale. Distribuzione T-Student E' usata come distribuzione dei rendimenti di titoli che presentano maggior variabilita (varianza) che non quella ipotizzata dalla distribuzione normale Anche per questa distribuzione esistono le tavole per trovare i quantili e gli integrali 19

20 Distribuzione T-Student Se X ha una distribuzione T-Student con r gradi di libertà allora con r > 2 Abbiamo inoltre che al crescere dei gradi di libertà la distribuzione T-Student tende ad avvicinarsi sempre di più ad una distribuzione normale e per r la distribuzione T-Student è una normale. Distribuzione T-Student In figura la densità di una distribuzione normale standardizzata e disegnata per punti. Le altre 3 curve sono densità di distribuzione T-Student con Rispettivamente 5, 3, 1 gradi di libertà 20

21 Distribuzione Chi-quadrato: χ2 Non è una distribuzione simmetrica ma asimmetrica verso sinistra. Il carattere assume solo valori non negativi: X 0 E' indicizzata da un unico parametro detto gradi di libertà r, e risulta, se che: Anche per questa distribuzione esistono le tavole per trovare i quantili e gli integrali Riepilogo Abbiamo visto: Modelli probabilistici nel continuo Distribuzione uniforme continua Distribuzione esponenziale Distribuzione normale Distribuzione normale standardizzata Distribuzione T-Student Distribuzione Chi-quadrato 21