Modelli di variabili casuali

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1 Modelli di variabili casuali Un modello di v.c. è una funzione f(x) che associa ad ogni valore x di una v.c. X la corrispondente probabilità. Obiettivo: calcolo della probabilità per tutti i valori che X può assumere Per le v.c. discrete: f(x) = p(x i ) Per ogni possibile valore x i della v.c. X, la funzione p(x i ) fornisce la probabilità che X sia uguale ad x i. Per le v.c. continue: f(x) Per ogni possibile valore x della v.c. X, la funzione f(x) fornisce la probabilità che X assuma valori compresi in un intorno infinitesimale di x.

2 Variabile Casuale Normale X ~ N, f(x) f x x La funzione di densità di probabilità dipende da due parametri: e che sono, rispettivamente: il momento primo rispetto all origine (valore atteso) il momento secondo rispetto alla media e f x dx - f(x) è simmetrica rispetto a x = f x f x F(x) F x Funzione di ripartizione x + f(x)dx x EX VAR X x

3 Legami tra funzione di densità e funzione di ripartizione f x e x

4 V.c. Normale standardizzata X Z Z ~ N 0; f(z) f z e z P x X x P z Z z z x z x Il passaggio da X a Z ha senso perché: f z dz X Relazione tra N, e Z0, Cercare P(x X x ) equivale a cercare P(z Z z ) - 0 Z X Z z 4

5 La v.c. Normale e la sua standardizzata N(60, 8) 0.4 N(0, ) N(80, ) Mantenendo la stessa scala: N(0, ) N(80, ) N(60, 8)

6 Alcune corrispondenze tra X e Z X ~ N, X ~ N, Z ~ N 0, - 0 +

7 Legami tra la v.c. Normale e la sua standardizzata z 0 P Z z F z f z dz 0 0 Dalle tavole: F z F z F z F z F F F z F z 0 z z z P X x P Z z x x P Z F 7

8 Esempio Un azienda produce cavi di acciaio la cui resistenza media alla rottura è di 5 tonnellate, con una varianza pari a 9 (tonnellate al quadrato). ) Sapendo che la resistenza segue la distribuzione Normale, determinare la probabilità che, scegliendo a caso un cavo, esso sopporti una trazione: a) di al massimo 7 tonnellate; b) di al massimo 3 tonnellate; c) di più di 6 tonnellate; d) tra 7 e 0 tonnellate; e) tra e 4 tonnellate; f) tra e 0 tonnellate. ) Se la probabilità che il cavo si rompa è 0,8 qual è la sua resistenza massima? Soluzione a) P X 7 P Z P Z 0, F 0, 67 0, 7486 X ~ N 5,9 0,67 b) 3 5 P X 3 P Z P Z 0, 67 9 P Z 0, 67 F 0, 67 0,54-0,67 8

9 c) 6 5 P X 6 P Z P Z 0,33 9 P Z 0,33 F 0,33 0, ,33 d) P 7 X 0 P Z 9 9 P 0,67 Z,67 F,67 F 0,67 0, 955 0,7486 0,040 0,67,67 e) P X 4 P Z 9 9 P Z 0,33 P 0,33 Z F F 0,33 0, 843 0, 693 0, 0-0,33 f) P X 0 P Z 9 9 P Z,67 F,67 F F,67 F 0,955 0,843 0, 955 0,587 0, ,67 9

10 Per risolvere il punto è necessario ricordare la relazione tra X N(, ) e Z N(0, ): Quindi: Z X X Z 0,8 = F(0,84) 0,8 = P(Z 0,84) X Z 5 0,84 3 7,5 0,8 0,8 = P(X 7,5) 0,84 Interpretazione: Dato il processo produttivo N(5, 9), se la probabilità che il cavo si rompa è 0,8 la sua resistenza (X) è pari al massimo () a 7,5 tonnellate

11 Risultati particolari Usando le tavole: P( - X + ) = P(- Z +) = 0,687 P( - X + ) = P(- Z +) = 0,9545 P( - 3 X + 3) = P(-3 Z +3) = 0,9973

12 V.c. legate alla Normale La somma di g v.c. Normali standardizzate indipendenti elevate al quadrato si distribuiscve come una v.c. chi-quadro, con g gradi di libertà g Z i ~ i Il rapporto tra una v.c. Normale standardizzata e la radice quadrata di una v.c. chi-quadro, indipendente dalla prima, diviso i propri gradi di libertà, si distribuisce come una v.c. t di Student, con g gradi di libertà g N 0, ~t g g g Il rapporto tra due v.c. chi-quadro indipendenti, ciascuna divisa per i propri g e g gradi di libertà, si distribuisce come una v.c. F di Fisher-Snedecor, con g e g gradi di libertà: g,g g g ~F

13 V.c. Uniforme continua X ~ U a,b È generata da una prova il cui meccanismo probabilistico (ago ruotante, rotolamento di una pallina perfettamente sferica, ecc.) conduce alla determinazione di un numero reale che, per motivi fisici, è compreso in un intervallo delimitato, a x b fx b a 0, altrove f(x) /(b-a) Momenti: E X a b b a f x dx a b Var X b a F(x) Funzione di ripartizione Caso particolare: EX X U(0,) Var X a b

14 La funzione di ripartizione della v.c. Uniforme continua F(x) a b 0, x0 a x 0 x0 a F x0 f(x)dx, a x0 b a b a, x0 b N.B. Sottointervalli di pari ampiezza hanno la stessa probabilità La probabilità che la prova generi un numero reale compreso in un certo intervallo è proporzionale alla lunghezza dell intervallo stesso.

15 Esempio La quantità di caffè X erogata da un distributore automatico oscilla tra 4 e 6 cl per bicchierino. Sapendo che X segue una distribuzione Uniforme continua di parametri a = 4 e b = 6, determinare: a) il valore atteso e la varianza di X b) la probabilità di avere meno di 4,3 cl di caffè c) la probabilità di avere più di 5,5 cl di caffè d) la probabilità di avere tra 4,4 e 5,6 cl di caffè e) la probabilità di avere tra 4,8 e 6 cl di caffè. Soluzione X ~ U 4,6 a) EX a b ,3 4 0,3 0,5 6 4 b) P X 4,3 F 4,3 Var X b a ,33 5,5 4,5 P X 5,5 F 5,5 0, c) 0,5 5,6 4 4,4 4,6 0, d) P 4,4 X 5,6 F 5,6 F 4,4 e) 0,8 0, 0,6 4,8 4 0,8 P 4, 8 X 6 F 6 F 4, 8 0, 4 0,6 6 4