Distribuzione Normale. Dott. Claudio Verona

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1 Distribuzione Normale Dott. Claudio Verona

2 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute Il primo problema che si riscontra nelle misure ripetute più volte è trovare un metodo conveniente per rappresentare i valori ottenuti: Es. 6, 4, 6, 8, 3, 4, 5, 4, 6,

3 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute La media può essere calcolata anche (media pesata):

4 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute Tale relazione è chiamata condizione di normalizzazione

5 Istogramma a barre La distribuzione delle nostre misure può essere graficata in un istogramma

6 Istogramma a intervalli Es. 6.4, 3.9, 5.1, 4.6,.7, 3.8, 5.1, 3.9, 5.3,

7 Funzione Limite

8 La Distribuzione Normale Per N molto grande una variabile casuale x segue una funzione di distribuzione limite f(x), assumendo che gli errori sistematici siano trascurabili allora è data da: f ( x) e 1 x x

9 La Distribuzione Normale f ( x) e 1 x Rappresentazione grafica di una distribuzione normale

10 La Distribuzione Normale La funzione f(x) deve essere normalizzata, cioè deve soddisfare la condizione di normalizzazione:

11 La Distribuzione Normale f ( x) 1 e 1 x

12 Probabilità Per una variabile casuale x la probabilità P(a X b) è uguale all area sottesa dalla funzione f(x) nell intervallo [a,b]. Se la variabile casuale x ha una funzione di distribuzione f(x) e a b, allora la probabilità che x assuma un valore compreso nell intervallo [a,b] è: P( a X b) b 1 f ( x) dx e a b a 1 x dx Il calcolo dell integrale dipende dai valori µ e σ ; pertanto si può dire che la probabilità associata ad un intervallo di valori X è funzione dei due parametri µ e σ.

13 Media e varianza

14 Valori attesi della Distribuzione Normale I due parametri, cioè µ e σ, corrispondono alla media E(X) e varianza Var(X) della distribuzione (ossia deviazione standard al quadrato). Si dimostra infatti che, per mezzo del calcolo integrale: ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 X Var dx e x x Var dx e x x E x x

15 Valori attesi della Distribuzione Normale Dalle precedenti formule consegue che ogni distribuzione normale è univocamente definita dalla media e dalla varianza. Le distribuzioni normali possono differire, pertanto, per la media e varianza, nonostante mantengano costanti le caratteristiche

16 Valori attesi della Distribuzione Normale Si può osservare come al variare della media e della varianza la curva subisca sia uno spostamento sull asse dell ascissa, sia un appiattimento; mentre se si fa variare solo la varianza e si tiene costante la media, la curva si appiattisce quando la varianza cresce e diventa più appuntita quando la varianza cala, mentre il centro di gravitazione rimane lo stesso. La larghezza della distribuzione di Gauss è associabile all ampiezza della dispersione dei dati. La deviazione standard permette di stimare l ampiezza della dispersione dei dati e vedremo che essa permette di definire esattamente l intervallo che contiene una certa percentuale di dati.

17 La Distribuzione Normale standardizzata La distribuzione normale contiene due parametri, µ e σ, che ne rendono difficile il calcolo. Il ricorso alla cosidetta distribuzione standardizzata o ridotta consente invece di individuare le probabilità relative ai diversi intervalli di valori mediante delle tabelle dette tavole di probabilità.

18 La Distribuzione Normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata si ottiene con la trasformazione lineare dei punti x in un VARIABILE z: z ( ) x e quindi z ( ) x dx dz La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata f(z) diventa: f ( z) 1 e 1 z

19 La Distribuzione Normale standardizzata

20 Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole L importanza della distribuzione normale standardizzata sta nel fatto che le probabilità corrispondenti alle aree racchiuse dalla curva normale possono essere calcolate facilmente. Queste probabilità sono state tabulate e vengono riportate in apposite tabelle. Ciò evita il calcolo di integrali per trovare le probabilità che una variabile casuale x assuma valori compresi all interno di intervalli della retta reale.

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22 Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole A causa della simmetria della distribuzione queste tavole riportano soltanto i valori delle probabilità comprese fra lo zero e l ascissa +z o tra - e l ascissa +z, essendo quelle dell altra metà della curva del tutto uguali o calcolabili per differenza. Osservando la tavola si troveranno i punti z nella colonna di sinistra con una cifra decimale; la seconda cifra decimale è posta nella prima riga in alto della stessa tavola.

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24 dx e k x k P x k k 1 1 ) ( La probabilità che una variabile casuale x cada dentro kσ dalla media µ è data dall area sottesa alla curva normale standardizzata tra -k e +k dalla media z=0. ) ( ) ( 1 ) ( K F K F dz e k z k P z k k Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole

25 Deviazione standard come limite di confidenza del 68% È noto che il 68.6% dell area totale è compreso tra ±1 deviazione standard attorno alla media, cioè a ±1 punti z dalla media; Il 95.44% è racchiuso tra ± deviazioni standard attorno alla media: quindi a ± punti z dalla media. Il 99.7% è racchiuso tra ±3 deviazioni standard attorno alla media. Infine il 99.9% è racchiuso tra ±4 deviazioni standard attorno alla media.

26 99.6% ) ( (3) 1 ) 3 ( 95.4% ) ( () 1 ) ( 68.% ) ( (1) 1 ) ( F F dz e entro P F F dz e entro P F F dz e entro P z z z Deviazione standard come limite di confidenza del 68%

27 z 1, z > 0 Calcolo della probabilità

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32 Principio di Massima Verosimiglianza 3

33 Principio di Massima Verosimiglianza La funzione è massima se è minimo l esponente dell esponenziale

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36 Essendo x e y indipendenti, la probabilità di ottenere x+y è data dal prodotto delle due probabilità

37 Propagazione degli errori: quando gli errori sono indipendenti e casuali, essi si possono essere combinati in quadratura.

38 Propagazione degli errori: quando gli errori sono indipendenti e casuali, essi si possono essere combinati in quadratura. Caso generale Possiamo sviluppare in serie di TAYLOR

39 Deviazione standard della media La distribuzione delle singole misure x è una curva di Gauss centrata nel valore aspettato µ e larga σ x

40 Deviazione standard della media

41 Livello di confidenza

42 Livello di confidenza: Esempio Un voltmetro digitale con 4 cifre viene utilizzato per misurare la tensione di uscita di un trasduttore di pressione. Vengono misurati i seguenti valori : V (mv) Assumendo che gli errori casuali siano preponderanti, ricavare la migliore stima della tensione di uscita e la relativa incertezza.

43 Livello di confidenza: Esempio Un voltmetro digitale con 4 cifre viene utilizzato per misurare la tensione di uscita di un trasduttore di pressione. Vengono misurati i seguenti valori : V (mv) Assumendo che gli errori casuali siano preponderanti, ricavare la migliore stima della tensione di uscita e la relativa incertezza.

44 Esercizio d esame