ESERCITAZIONE 21 : VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

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1 ESERCITAZIONE 21 : VARIABILI ALEATORIE CONTINUE tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Maggio 2013

2 Esercizio 1 Trovare il valore della costante reale c in modo che la seguente funzione sia una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria continua: { c e 3 x x 0 f(x) = 0 x < 0 f(x) 0 c 0 + c e 3 x = c [ 13 ] + e 3 x = c = 1 L ultima relazione implica che c deve essere uguale a 3.

3 Esercizio 1 Trovare il valore della costante reale c in modo che la seguente funzione sia una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria continua: { c e 3 x x 0 f(x) = 0 x < 0 f(x) 0 c 0 + c e 3 x = c [ 13 ] + e 3 x = c = 1 L ultima relazione implica che c deve essere uguale a 3.

4 Esercizio 2 Trovare il valore della costante reale c in modo che la seguente funzione sia una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria continua: { c (x 2 + 2) 1 x 2 f(x) = 0 altrimenti f(x) 0 c 0 + [ ] 2 c (x 2 + 2) = c (x 2 x ) = c x 1 L ultima relazione implica che c deve essere uguale a = 13 c 3 = 1

5 Esercizio 2 Trovare il valore della costante reale c in modo che la seguente funzione sia una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria continua: { c (x 2 + 2) 1 x 2 f(x) = 0 altrimenti f(x) 0 c 0 + [ ] 2 c (x 2 + 2) = c (x 2 x ) = c x 1 L ultima relazione implica che c deve essere uguale a = 13 c 3 = 1

6 Esercizio 3 Una variabile aleatoria continua X ha una funzione di ripartizione F (x) data da { 0 x < 0 F (x) = 1 e x x 0 Calcola la mediana di X. Data la funzione di ripartizione F (x) per calcolare la mediana m è sufficiente risolvere in m l equazione F (m) = 1/2: F (m) = e m = 1 2 e m = 1 2 = 2 1 m = ln 2 Nota che la variabile aleatoria X è distribuita secondo una legge esponenziale di parametro a = 1.

7 Esercizio 3 Una variabile aleatoria continua X ha una funzione di ripartizione F (x) data da { 0 x < 0 F (x) = 1 e x x 0 Calcola la mediana di X. Data la funzione di ripartizione F (x) per calcolare la mediana m è sufficiente risolvere in m l equazione F (m) = 1/2: F (m) = e m = 1 2 e m = 1 2 = 2 1 m = ln 2 Nota che la variabile aleatoria X è distribuita secondo una legge esponenziale di parametro a = 1.

8 Esercizio 4 La funzione di densità di una variabile aleatoria continua X è (a, b R) { a + b x 2 0 x 1 f(x) = 0 altrimenti a) Calcola i coefficienti reali a e b sapendo che E[X] = 3/5. b) Calcola la deviazione standard di X. c) Calcola la funzione di ripartizione di X.

9 Esercizio 4 - Soluzione a) Ci servono due condizioni indipendenti per determinare i due parametri a e b: la prima è + f(x) dx = 1 1 (a + b x 2 ) dx = 0 [ a x + b 3 x3 ] 1 0 = a + b 3 = 1 mentre la seconda sfrutta l informazione sul valor medio + x f(x) dx = 2 1 [ (a x + b x 3 a ) dx = x2 + b ] 1 4 x4 = a b 4 = 3 5 Risolvendo il sistema delle due equazioni precedenti in a e b (ad esempio per sostituzione ricavando facilmente a dalla prima equazione) si ottiene a = 3 5 b = 6 5 e quindi la densità di probabilità vale f(x) = (3/5) + (6/5) x 2 nell intervallo [0, 1] ed in tale intervallo assume valori positivi. b) Per calcolare la deviazione standard di X è utile ricordare la seguente relazione: σ[x] = V ar[x] = E[X 2 ] (E[X]) 2 Calcoliamo quindi E[X 2 ]: + 1 ( E[X 2 ] = x 2 3 f(x) dx = 0 5 x2 + 6 ) 5 x4 Si ha allora ( ) σ[x] = = 5 25 = 5 [ 1 dx = 5 x3 + 6 ] 1 25 x5 =

10 Esercizio 4 - Soluzione c) La funzione di ripartizione di X vale F (x) = 0 x < 0 (3/5) x + (6/15) x 3 0 x 1 1 x > 1

11 Esercizio 5 Un test nazionale di biologia viene proposto in tutte le ultime classi delle scuole secondarie. Il punteggio X conseguito nel test è una variabile aleatoria approssimativamente distribuita secondo una gaussiana con media µ = 60 e deviazione standard σ = 5. a) Calcola la probabilità che, scelto un individuo a caso, il punteggio X sia compreso tra 52 e 68. b) Scegliendo 5 individui a caso calcola la probabilità che esattamente 3 abbiano raggiunto un punteggio compreso tra 52 e 68. c) Calcola la la probabilità che, estraendo un campione di 25 individui, la media campionaria sia compresa tra 59 e d) Quanti campionamenti sarebbero necessari affinché la probabilità che la media campionaria superi il valore 62 sia non superiore a 0.02?

12 Esercizio 5 - Soluzione a) Dobbiamo calcolare la seguente probabilità P (52 X 68) = P ( Z ) = P ( 1.6 Z 1.6) 5 dove Z è una variabile aleatoria distribuita secondo una normale standard (media 0, deviazione standard 1). Consultando la tavola della funzione di ripartizione Φ(x) della normale standard si ottiene P ( 1.6 Z 1.6) = Φ(1.6) (1 Φ(1.6)) = 2 Φ(1.6) 1 = = b) La probabilità che un individuo scelto a casa abbia raggiunto un punteggio compreso tra 52 e 68 è stata calcolata nel punto precedente e vale p = La probabilità cercata è allora ( ) 5 P = p 3 (1 p) 2 3 c) La media campionaria X 25 è una nuova variabile aleatoria con media µ(x 25 ) = µ = 60 e deviazione standard σ(x 25 ) = σ/ 25 = P (59 X ) = P ( Z ) = P ( 1 Z 0.5) 1 dove Z è una variabile aleatoria distribuita secondo una normale standard (media 0, deviazione standard 1). Consultando la tavola della funzione di ripartizione Φ(x) della normale standard si ottiene P ( 1 Z 0.5) = Φ(0.5) (1 Φ(1)) = Φ(0.5)+Φ(1) 1 = =

13 Esercizio 5 - Soluzione d) P (X N > 62) 0.02 P (X N 62) 0.98 Φ XN (62) 0.98 Standardizzando il valore 62 e consultando la tavola della funzione di ripartizione della gaussiana standard nella quale si trova un valore per x = 2.06 si ottiene / N N 2.06 N e quindi servono 27 campionamenti per soddisfare la richiesta.

14 Esercizio 6 In un esame scritto i voti riportati in centesimi sono normalmente distribuiti attorno ad un valor medio pari a 72, con una deviazione standard pari a 8. Il miglior 20% degli studenti passa l esame senza dover affrontare l orale. a) Determinare il voto minimo per non dover sostenere l orale. b) Determinare la probabilità che in un campione casuale di 100 studenti il voto medio sia compreso tra 73 e 75.

15 Esercizio 6 - Soluzione a) P (Z < Z 72 ) = 0.8 Z 72 = 0.85 Z = Il voto minimo per accedere all orale è quindi 79. b) La media campionaria è una variabile aleatoria avente media uguale alla media della popolazione e deviazione standard pari a σ X = σ N X, dove N è la dimensione del campione. Quindi la probabilità cercata è Z 73 = = Z 75 = = P (Z 73 < Z < Z 75 ) = =

16 Esercizio 7 Sia X una variabile aleatoria continua che ha come funzione di densità la seguente funzione e 3 t per t < 0 f(t) = (4/3)t per 0 t 1 0 per t 1 Determina: a) la funzione di ripartizione; b) P (X 1/2); c) il valor medio E(X).

17 Esercizio 8 È noto che la quantità X di alcool (misurata in g/l) contenuta in una certa bibita alcolica è distribuita secondo una gaussiana di media µ = 6.2 g/l e scarto quadratico medio s = 0.6 g/l. a) Determinare i valori a e b tali che P (a X b) = b) Calcolare la probabilità, prelevando 10 campioni di quella bibita, di ottenere una media campionaria compresa tra 5.8 e 6.4. c) Quanti campionamenti sarebbero necessari affinchè la probabilità che la media campionaria superi il valore 6.4 sia non superiore a 0.02?