Distribuzione Normale. Dott. Claudio Verona
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1 Distribuzione Normale Dott. Claudio Verona
2 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute Il primo problema che si riscontra nelle misure ripetute più volte è trovare un metodo conveniente per rappresentare i valori ottenuti: Es. 6, 4, 6, 8, 3, 4, 5, 4, 6,
3 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute La media può essere calcolata anche (media pesata):
4 Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute Tale relazione è chiamata condizione di normalizzazione
5 Istogramma a barre La distribuzione delle nostre misure può essere graficata in un istogramma
6 Istogramma a intervalli Es. 6.4, 3.9, 5.1, 4.6,.7, 3.8, 5.1, 3.9, 5.3,
7 Funzione Limite
8 La Distribuzione Normale Per N molto grande una variabile casuale x segue una funzione di distribuzione limite f(x) chiamata Distribuzione Normale o di Gauss: f ( x) 1 e 1 x x
9 La Distribuzione Normale La funzione f(x) deve essere tale da soddisfare la condizione di normalizzazione: Dimostrazione:
10 La Distribuzione Normale o di Gauss f ( x) 1 e 1 x
11 Media e varianza: distribuzione continua
12 Valori attesi della Distribuzione Normale Ogni distribuzione normale è univocamente definita dalla media e dalla varianza.
13 Valori attesi della Distribuzione Normale Si può osservare come al variare della media e della varianza la curva subisca sia uno spostamento sull asse dell ascissa, sia un appiattimento; mentre se si fa variare solo la varianza e si tiene costante la media, la curva si appiattisce quando la varianza cresce e diventa più appuntita quando la varianza cala, mentre il centro di gravitazione rimane lo stesso. La larghezza della distribuzione di Gauss è associabile all ampiezza della dispersione dei dati. La deviazione standard permette di stimare l ampiezza della dispersione dei dati e vedremo che essa permette di definire esattamente l intervallo che contiene una certa percentuale di dati.
14 Probabilità Per una variabile casuale x la probabilità P(a X b) è uguale all area sottesa dalla funzione f(x) nell intervallo [a,b]. Se la variabile casuale x ha una funzione di distribuzione f(x) e a b, allora la probabilità che x assuma un valore compreso nell intervallo [a,b] è: P( a X b) b 1 f ( x) dx e a b a 1 x dx Il calcolo dell integrale dipende dai valori µ e σ ; pertanto si può dire che la probabilità associata ad un intervallo di valori X è funzione dei due parametri µ e σ.
15 La Distribuzione Normale standardizzata La distribuzione normale contiene due parametri, µ e σ, che ne rendono difficile il calcolo. Il ricorso alla cosidetta distribuzione standardizzata o ridotta consente invece di individuare le probabilità relative ai diversi intervalli di valori mediante delle tabelle dette tavole di probabilità.
16 La Distribuzione Normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata si ottiene con la trasformazione lineare dei punti x in un VARIABILE z: z ( ) x e quindi z ( x dx dz ) La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata f(z) diventa: f ( z) 1 e 1 z
17 La Distribuzione Normale standardizzata
18 Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole L importanza della distribuzione normale standardizzata sta nel fatto che le probabilità corrispondenti alle aree racchiuse dalla curva normale possono essere calcolate facilmente. Queste probabilità sono state tabulate e vengono riportate in apposite tabelle. Ciò evita il calcolo di integrali per trovare le probabilità che una variabile casuale x assuma valori compresi all interno di intervalli della retta reale.
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20 Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole A causa della simmetria della distribuzione queste tavole riportano soltanto i valori delle probabilità comprese fra - e l ascissa +z, essendo quelle dell altra metà della curva del tutto uguali o calcolabili per differenza. Osservando la tavola si troveranno i punti z nella colonna di sinistra con una cifra decimale; la seconda cifra decimale è posta nella prima riga in alto della stessa tavola.
21 F(z) è calcolato dalla tabella
22 dx e k x k P x k k 1 1 ) ( La probabilità che una variabile casuale x cada dentro kσ dalla media µ è data dall area sottesa alla curva normale standardizzata tra -k e +k dalla media z=0. Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole
23 99.6% ) ( (3) 1 ) 3 ( 95.4% ) ( () 1 ) ( 68.% ) ( (1) 1 ) ( F F dz e entro P F F dz e entro P F F dz e entro P z z z Deviazione standard come limite di confidenza del 68%
24 Deviazione standard come limite di confidenza del 68% Il 68.6% dell area totale è compreso tra ±1 deviazione standard attorno alla media. Il 95.44% è racchiuso tra ± deviazioni standard attorno alla media. Il 99.7% è racchiuso tra ±3 deviazioni standard attorno alla media. Il 99.9% è racchiuso tra ±4 deviazioni standard attorno alla media.
25 Calcolo della probabilità
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30 Principio di Massima Verosimiglianza 30
31 Principio di Massima Verosimiglianza La funzione è massima se è minimo l esponente dell esponenziale
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34 Essendo x e y indipendenti, la probabilità di ottenere x+y è data dal prodotto delle due probabilità
35 Propagazione degli errori: quando gli errori sono indipendenti e casuali, essi si possono essere combinati in quadratura.
36 Propagazione degli errori: quando gli errori sono indipendenti e casuali, essi si possono essere combinati in quadratura. Caso generale Possiamo sviluppare in serie di TAYLOR
37 Deviazione standard della media La distribuzione delle singole misure x è una curva di Gauss centrata nel valore aspettato µ e larga σ x
38 Deviazione standard della media
39 Livello di confidenza
40 Livello di confidenza 68% X %
41 Livello di confidenza: Esempio Un voltmetro digitale con 4 cifre viene utilizzato per misurare la tensione di uscita di un trasduttore di pressione. Vengono misurati i seguenti valori : V (mv) Assumendo che gli errori casuali siano preponderanti, ricavare la migliore stima della tensione di uscita e la relativa incertezza.
42 Livello di confidenza: Esempio Un voltmetro digitale con 4 cifre viene utilizzato per misurare la tensione di uscita di un trasduttore di pressione. Vengono misurati i seguenti valori : V (mv) Assumendo che gli errori casuali siano preponderanti, ricavare la migliore stima della tensione di uscita e la relativa incertezza.
43 Livello di confidenza: Esempio
44 Esercizio d esame
Distribuzione Normale. Dott. Claudio Verona
Distribuzione Normale Dott. Claudio Verona Rappresentazione di valori ottenuti da misure ripetute Il primo problema che si riscontra nelle misure ripetute più volte è trovare un metodo conveniente per
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