Programma della parte introduttiva: Lezione 5

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1 Programma della parte introduttiva: Lezione 5 Cap. 3 Presentazione e confronto tra misure Cap. 4 Propagazione delle incertezze Cap 5 Misure ripetute e stimatori Cap.6 Organizzazione e presentazione dei dati 1

2 Presentazione dei dati: tabelle Tabelle qualitative Le grandezze vengono fornite in modo qualitativo. Per esempio il vento si percepisce sulla pelle o il vento scompiglia i capelli il vento sradica gli alberi Risultano poco funzionali a valutazioni quantitative. Tabelle statistiche Alcune grandezze sono espresse in modo qualitativo, altre in modo quantitativo. Per esempio il numero di volte che si osserva un dato, può essere una testa, una croce, o anche un valore di una misura. Tabelle funzionali Di maggiore interesse scientifico e ingegneristico, si riporta il valore di una grandezza g, che dipenda da altre, si indica g=g(x, y, z). La grandezza g, è detta dipendente, dato che varia al variare delle grandezze x, y e z, che sono dette indipendenti. 2

3 Tabelle statistiche 3

4 Riorganizziamo i dati per valori uguali { Potrebbe essere una lista di occorrenze di palline colorate estratte: giallo, verde, ecc. k: etichetta sequenziale in ordine crescente della classe, individuata dal valore x k (o colore) F k = n k n n k : numero di volte (occorrenze) che si osserva il valore x k F k : frequenza del rispettivo valore x k (colore) osservato 4

5 Proprietà delle frequenze F k F k = n k n n classi Σ F k =1 k=1 NORMALIZZAZIONE La normalizzazione esprime la certezza che ogni valore appartiene a tutto l insieme dei nostri valori osservati. F k = 0 valore non osservato valore impossibile. Se siamo in presenza di valori numerici, x k, osservati n k volte, possiamo esprimere la media anche rispetto alle frequenze F k : x = Σ n n classi xi i=1 n = Σ x k n k k=1 n n classi = Σ k=1 n k n n classi x k = Σ F k x k k=1 Si faccia attenzione in Tab. 6.2 si ha, che n risulta diverso per ogni serie, mentre n k è uguale. 5

6 Istogrammi delle occorrenze, meglio frequenze Scegliamo come larghezza della classe la risoluzione, nella tabella i dati sono tutti pari e si osservano con passo di 2 mm, ogni classe comprende l intervallo x k + ½ u.f.! L unità fondamentale (u.f.) o la risoluzione in questo caso è di 2 mm. Rappresentiamo la classe con il valore centrale, la larghezza è evidente dal grafico stesso. { 8.0 mm valore centrale { 0.2 mm Larghezza di ogni classe Se la grandezza fosse affetta da incertezze casuali la distribuzione tenderebbe ad una curva simmetrica e continua all aumentare del numero di osservazioni. 6

7 Se la variabile è casuale n = 68 n = 155 I dati si distribuiscono in modo simmetrico e tendono ad una curva continua. n 7

8 Dal discreto (dati osservati) al continuo f(x) Partiamo dall istogramma delle frequenze e moltiplichiamo per la larghezza della classe Nel caso generale possiamo anche avere intervalli diversi Δx k per ogni classe k di frequenza F k F k Δx k n Per rendere chiara la formula, scegliamo le classi tutte con la stessa larghezza: per ogni k si ha che Δx k = Δx n classi Σ k=1 F k Δx k = Σ Δx k k=1 1 n classi n classi Σ Fk Δx = Δx = Δx[1] = Δx k=1 Σ Fk k=1 Per normalizzare nuovamente, ovvero per avere la somma di tutti i rettangolini pari ad 1, bisogna dividere ogni classe per prodotto F k Δx k per Δx k n classi ( f k )Δx k =1 Abbiamo introdotto la quantità f k che chiamiamo densità di frequenza 8

9 Dalle densità di frequenza alla densità di probabilità Si comprende il nome densità di frequenza f k, se consideriamo la densità lineare di massa λ, per elementi finiti di lunghezza Δl. Otteniamo la massa Δm dal prodotto λ Δl: Δm = λ Δ l λ = Δm Δl Per passare dal discreto al continuo, dobbiamo considerare variabili continue in un intervallo [a, b ] dei numeri reali, e dividiamo tale intervallo in altri intervallini di ampiezza Δx [ x 1, x 2 ), [ x 2, x 3 ),!, [ x m 1, x m ] Per ognuno di questi intervallini avremo un certo numero di occorrenze n k, ovvero il numero di eventi che hanno valore compreso nell intervallino, per le quali possiamo anche fornire la frequenza: F k = n k n con n= n classi Σ n k e m-1=n classi 9 k=1 9

10 Se aumentiamo all infinito il numero di classi n classi (m ) avremo equivalentemente che la larghezza di ogni intervallino di ogni classe tenderà a zero, passando da una larghezza finita Δx ad una infinitesima dx, mentre la somma dei rettangoli F k Δx k sarà data dall area sottesa dalla curva f(x), Questo limite in analisi matematica è l integrale definito della funzione nell intervallo [a, b] lim n classi n classi b f k Δx k = k=1 a f (x)dx; estesa a a e b dato che dove la funzione è nulla l integrale da contributo nullo. All aumentare del numero di misure e della risoluzione, si ha che la f k sembra tendere ad una curva continua f (x), detta f k densità di frequenza, chiameremo f (x) densità di probabilità. Tale terminologia sarà giustificata da quanto affronteremo in seguito nella teoria della probabilità, dove osserveremo che all aumentare del numero di prove (misure) la frequenza tende alla probabilità (legge empirica del caso). Si osservi la corrispondenza tra discreto e continuo: Discreto Continuo Σ sommatoria integrale f k densità di frequenza Δx k larghezza della classe f(x) densità di probabilità dx differenziale Stime ( p.e. x e σ x ) Valori di aspettazione (X e σ ) 10 10

11 Rappresentazione grafica dei dati Di seguito i dati rilevati in classe: la tabella risulta poco fruibile per comprendere come sono distribuiti. i mis \ j stud ,43 2,45 2,00 2,22 2,47 2,28 2,58 2,16 2,53 2,37 2,37 2 2,45 2,63 2,13 2,47 2,49 2,41 2,53 2,50 2,49 2,35 2,47 3 2,49 2,58 2,38 2,25 2,50 2,56 2,57 2,53 2,48 2,35 2,44 4 2,46 2,48 2,34 2,68 2,57 2,16 2,48 2,44 2,54 2,37 2,50 5 2,47 2,32 2,25 2,50 2,45 2,47 2,49 2,44 2,42 2,31 2,47 6 2,57 2,68 2,47 2,15 2,48 2,41 2,54 2,16 2,47 2,44 2,43 7 2,51 2,63 2,30 2,63 2,44 2,53 2,50 2,37 2,45 2,50 2,44 8 2,49 2,71 2,33 2,37 2,45 2,59 2,43 2,47 2,52 2,61 2,52 9 2,39 2,73 2,42 2,63 2,45 2,50 2,38 2,44 2,44 2,45 2, ,45 2,68 2,51 2,50 2,47 2,47 2,34 2,25 2,46 2,47 2,35 Meglio organizzare i dati contando il numero di occorrenze per ora per ogni valore letto, dove ogni valore letto è in realtà un intervallo di possibili valori nell intervallo, [x k - ½ u.f., x k + ½ u.f.]. In questo caso scegliamo l intervallo di ogni classe Δx= u.f.= 0.01 s 11 11

12 Organizziamo i valori e il numero di occorrenze k x k n k k x k n k k x k n k k x k n k k x k n k k x k n k k x k n k k x k n k [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,69 0 E costruiamo l istogramma La larghezza della classe Δx, non avendo 12 altre necessità, è stata presa pari all unità 10 fondamentale, quindi ogni classe descrive 8 6 l intervallo [x k - ½ u.f., x k + ½ u.f.]. 4 Stiamo riportando quindi i dati con 2 il valore centrale e l intervallo x centr + Δx/2. 0 Ogni classe è individuata dall intervallo in cui potrebbe trovarsi in realtà il valore Periodo di oscillazione del pendolo misurato. 12 occorrenze n k 14 Istogramma delle occorrenze 2,00 2,04 2,08 2,12 2,16 2,20 2,24 2,28 2,32 2,36 2,40 2,44 2,48 2,52 2,56 2,60 2,64 2,68 2,72 T [s] occorrenze

13 f(x) per misure affette da incertezze casuali gaussiana G X,s (x) Curva ideale dedotta dalla teoria della Probabilità Distribuzione dei dati reali 1 G X,σ (x) = σ 2π e ( x X) 2 2σ Dati rilevati in classe nel X centralità valore più probabile σ unico punto individuabile sulla curva, cambio di concavità, preso per questo come distanza (deviazione) standard z = x X z σ : G(z) = 1 2 σ 2π e 2 0 1,89 1,92 1,95 1,98 2,01 2,04 2,07 2,1 2,13 2,16 2,19 2,22 2,25 2,28 2,31 2,34 2,37 2,4 2,43 2,46 2,49 x è una stima di X. σ x è una stima di σ. Ma quanto sono buone queste stime? E quanto la curva di Gauss è appropriata per i dai osservati. 13

14 organizzazione dei 110 dati rilevati in classe x [s] n k F k z 110 z 1102 /2 G X,σ [x -1 ] 2,00 1 9,09E-03 0,91-3,46 5,99E+00 0, ,01 0 0,00E+00 0,00-3,38 5,73E+00 0, ,02 0 0,00E+00 0,00-3,31 5,47E+00 0, ,03 0 0,00E+00 0,00-3,23 5,22E+00 0, ,71 1 9,09E-03 0,91 2,00 2,00E+00 0, ,72 0 0,00E+00 0,00 2,08 2,16E+00 0, ,73 1 9,09E-03 0,91 2,15 2,32E+00 0, Σ = 110 1,00 100,00 98,

15 organizzazione dei 110 dati rilevati in classe x [s] n k F k f k [x -1 ] z 110 z 1102 /2 G X,σ [x -1 ] 2,00 1 9,09E-03 0,91-3,46 5,99E+00 0, ,01 0 0,00E+00 0,00-3,38 5,73E+00 0, ,02 0 0,00E+00 0,00-3,31 5,47E+00 0, ,03 0 0,00E+00 0,00-3,23 5,22E+00 0, ,71 1 9,09E-03 0,91 2,00 2,00E+00 0, ,72 0 0,00E+00 0,00 2,08 2,16E+00 0, ,73 1 9,09E-03 0,91 2,15 2,32E+00 0, Σ = 110 1,00 100,00 98,

16 Anticipiamo quanto si dovrà organizzare graficamente, e cosa permette di dire la statistica Un teorema fondamentale della statistica, permette di ottenere come risultato, quanto segue. Se una variabile risulta Gaussiana, la migliore stima dei valori medi è la media dei dati osservati, la migliore stima dell incertezza della distribuzione dei valori medi risulta la deviazione standard della media. Sebbene i dati i ogni studente (10) non sarebbero sufficienti a verificare, se la distribuzione dei dati sia gaussiana, spieghiamo il risultato e le conseguenze, come stimolo per poi affrontare lo studio della parte teorica, che ci permetterà di formalizzare tale risultato. E lo utilizziamo anche per chiarire i valori di aspettazione rispetto ai dati che abbiamo in mano. Ogni studente può fornire la stima della deviazione standard della media, dalla migliore stima di σ x del campione diviso (n) 1/2 con n il numero dei suoi dati. Ma ogni studente, ha una stima migliore di σ x, visto che 10 dati non sono sufficienti, ovvero σ x ottenuta dal campione di 110 dati, visto che i propri 10 dati sono un sottocampione dei 110 dati, e da tutto il campione si stima meglio la deviazione standard aspettata per la popolazione. 16

17 Distribuzione dei valori medi * * Abbiamo una migliore stima della σ x da tutti i 110 dati Ogni studente può stimare la dev. st. della media σ x = σ x (110 dati)/ n mj 10 17

18 Anticipiamo quanto si dovrà organizzare graficamente, e cosa permette di dire la statistica 18