Lezione 6. Tabelle funzionali. Utilizziamo il nostro sistema a portata di mano e ben controllabile

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1 Tabelle funzionali Riguardano dati in cui si vuole verificare una relazione tra più grandezze. Si organizzano le tabelle delle migliori stime delle coppie di grandezze e delle rispettive incertezze totali. Si dovrà decidere di organizzare le grandezze una come dipendente, y, che vari al variare di un altra (o più) detta indipendente (indipendenti) in generale x, etichette date da y=f(x)=y(x). La scelta della dipendente dipende dall incertezza relativa maggiore, la tabella all inizio si organizzerà senza le etichette y e x, che saranno date dopo lo studio delle incertezze relative. Lezione 6 Utilizziamo il nostro sistema a portata di mano e ben controllabile 1

2 La tabella funzionale è la parte conclusiva di un processo di raccolta dati e di propagazione e combinazione delle incertezze. Per avere maggiore precisione prendiamo più periodi, per un numero sufficiente di volte, almeno dieci per avere una buona stima del valore medio, qui si utilizzano sei per una migliore visualizzazione didattica e per fare un calcolo più immediato.

3 Usiamo media e deviazione standard del campione, e la propagazione delle incertezze Questo è solo l incertezza statistica, dovremmo tener conto anche di quella di lettura (ε 3T ), ε 3T = s, quindi ε T = che sommato a σ Τ dà per δt lo stesso valore numerico 3

4 Tabella funzionale adattata per un analisi più chiara: linearizzazione della legge. T = cost g l y = A + Bx dove y T e x l Possiamo verificare quale ipotesi è accettabile studiando la misura della costante. 4

5 Quello che studieremo è come minimizzare la distanza della curva (retta) Y=A+Bx ideale, che passi il più vicino possibile, in media, ai punti, nei limiti delle barre di incertezza. Come si osserva la presentazione grafica è di immediata comprensione ed analisi se si sceglie con variabile y quella con maggiore incertezza relativa. Si ottiene che, se ogni variabile è affetta da incertezze casuali, quindi segue una gaussiana, i parametri A e B che più verosimilmente (principio di massima verosimiglianza) descrivono i dati sono: y 4 4 dove la quantità al denominatore è di solito indicata semplicemente con Δ. 3 3 x

6 ESERCIZIO Fare l analisi dimensionale di coefficienti A e B. Se la grandezze x e y seguono delle gaussiana, a loro volta anche A e B seguiranno delle gaussiane. y Verificare l analisi dimensionale con la relazione Y=A+BX. Svolgimento alla x 350 6

7 La sta1s1ca perme5erà anche di dire y L incertezza statistica sulla legge si riduce a 4 N ( y Y ) 4 i i i=1 σ Y (ideale) = 3 N con N numero di coppie di dati. σy non è altro che la distanza media dei punti dalla retta Y=A+BX. Ma la migliore stima è 3 N x ( yi Yi ) 350 σ Y (stima) = i=1 N Considerazioni alla su valore ideale e stima σy, intuitivamente accettabile perché per due punti infatti si avrebbe σy= 0/0 - indeterminato 7

8 La statistica permetterà di abbattere anche in questo caso l incertezza casuale 8

9 La statistica permetterà di abbattere l incertezza casuale se Diversamente: δ (*) y i = σ Y +δ y i dove la legge non risulta appropriata ma possiamo comunque fornire una previsione, ovviamente con un incertezza maggiore. 9

10 Lezione 7 x l [m] δl [m] 0,440 0,0005 0,645 0,0005 0,885 0,0005 l [m 1/] δ l [m 1/] δ l / l 0,6633 1,7E-04,5E-04 0,8031,0E-04,5E-04 0,9407,4E-04,5E-04 y δx δy T [s] σ T (s) ε T (s) δt [s] δt/t 1,01 0,04 0,0017 0,04 0,04 1,4 0,01 0,0017 0,01 0,01 1,70 0,04 0,0017 0,04 0,0 1,97 0,03 0,0017 0,03 0,0 1,95 T [s] 1,75 1,55 1,35 1,15 0,95 Verifica di una legge Prima di tutto scelta della variabile dipendente T in funzione l 0,4 0,6 0,8 1,0 l [m 1/ ] Nell approccio brutale fornito per l introduzione, si utilizza l espediente della retta di massima a minima pendenza 10

11 La sta1s1ca perme5e di dire,0 T [s] 1,8 T in funzione l che la migliore stima della curva, in questo caso una retta, è data dai parametri stimati per la retta Y = A+ B X secondo le seguenti formule 1,6 1,4 1, 1,0 y =,15E+00x - 3,5E-0 0,4 0,6 0,8 1,0 l [m 1/ ] Per ora possiamo utilizzare i coefficienti, che otteniamo da fogli elettronici 11

12 Per ora u1lizziamo le formule senza derivarle Come esercizio possiamo verificare che excel faccia le operazioni giuste u1lizzando le varie Σ. Per le incertezze dobbiamo essere noi a prendere una decisione, sulla base del fa5o se sia o non sia appropriato il modello-ipotesi, in questo caso Y=A+BX

13 Organizzatevi i da1 in modo da o5enere i prodok, e notate che in alcuni casi guadagnate cifre significa1ve Σx Σy ΣxΣxy A= Δ NΣxy ΣxΣy B= Δ Δ = NΣx ( Σx ) Fare prima l analisi dimensionale delle formule sopra, per verificare se ci sono errori eppoi svolgere (calcoli con chiarimen1 alla lavagna ) 13

14 Svolgimento con chiarimenti ulteriori alla Y T Y T δy = σ + ε δy = σ + δ? Come mai?? Come mai? 14

15 T [s] 1,95 1,75 T in funzione l? Come mai? Le tre coppie di dati con l maggiore sembrano allineati meglio. 1,55 Non bastano le misure, ma si dovrebbe conoscere come sono state condoke. 1,35 1,15 0,95 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 l [m 1/ 1,00 ] l [m 1/ ] La legge vale per le piccole oscillazioni, nel prendere i dati, gli studenti hanno ritenuto la misura a varie lunghezze affidabile, partendo dalla stessa distanza dalla posizione a riposo, per il dato a l minore, l angolo risulta considerevole. 15

16 ,0 T in funzione l T [s] 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 y = 1,99E+00x + 9,61E-0 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 G(z) Fiducia del 95 %, significatività per il rigetto 5 % z=+.58 z = ( x X) /σ z=+1.96 l [m 1/ ] Fiducia del 99 %, significatività per il rigetto 1 % 16

17 Verificata la legge, quanto risulta g? B = π g g = 4π B δg g = δb B 17

18 L incertezza di accuratezza si può determinare mediante la verifica di leggi fisiche. Nelle misure effettuate avevamo un incertezza sulla posizione del centro di massa, che la regressione, in questo caso lineare, ci permette di isolare, nonché di stimare. T = π l g Abbiamo dimostrato che la legge può essere accettata per i nostri dati, ma dall osservazione dell esperienza, e, vedi metodo scientifico, ci accorgiamo che in realtà l contiene una parte di indeterminaziona perché non sappiamo dove sia precisamente il baricentro. l l Possiamo considerare quindi l= l + l? Y= T X= l T = π l'+ l? g T = 4π l'+ l? g Y = = 4π g l'+ 4π l? g = B x + A l? 18

19 Possiamo verificare anche la legge, scritta in questo modo, e fornire g e l?. T = 4π g l'+ 4π l? g Y = A + BX y= T [s ] 5,7 5, 4,7 4, 3,7 B = 4π g Possiamo considerare quindi l= l + l? Misuro indirettamente l? 3,,7, A = 4π l? g l? = A B 1, x= l [mm] 19

20 Esercizio prendere i dati in classe, verificare direttamente la legge T =T (l ) T = 4π g l'+ 4π l? g Y = A + BX y= T [s ] 5,7 5, 4,7 4, 3,7 B = 4π g 3, Fornire la misura di g e la misura di l?.,7, A = 4π l? g 1, x= l [mm] 0