Uso del chi-quadro per la verifica di una legge :

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1 Uso del chi-quadro per la verifica di una legge : La densità di probabilità del chi-quadro (χ ) si ottiene matematicamente, per variabili y i che seguano, tutte, Gauss di valore centrale Y i =Y(x i ) d Il valore medio (speranza matematica) di tale variabile è pari a d (gradi di libertà) 1

2 χ medio = Come calcolo i gradi di libertà statistici nel caso di medie? N i=1 ( y Y ) i i d δ y i χ medio viene anche indicato con Parto dai dati disponibili da cui calcolo la media dei χ i : gli N y i ovvero il numero totale dei dati y i Il chi-quadro è un controllo generale per qualsiasi modello (funzione) si voglia verificare come attendibile per i nostri dati.!χ e detto chi-quadro ridotto d è dato da i dati disponibili per la stima della media (vedi formula) N, a cui si sottraggono i vincoli statistici richiesti in formula (c).

3 Noi ci limiteremo ad un modello lineare Y=A+Bx χ medio = N i=1 ( y i Y ) i δ yi d Legge Lineare χ = medio Y i =A+Bx i N i=1 y i (A+ Bx i ) δ y i d Se A e B li ho stimati, usando i dati sperimentali, (ovvero con le formule dell MMQ, che infatti utilizzano gli y i ) allora i vincoli sono due in questo caso. d = N per una legge lineare. Per la parte di laboratorio ci limiteremo a leggi lineari, o leggi linearizzabili a seconda anche delle necessità.

4 Livello di Significatività alta P < 1 %. Se il chi-quadro misurato (osservato) χ Ο < d coda a sinistra Il chi quadro ci dice anche di avere incertezze troppo grandi per essere sufficientemente precisi per verificare la legge ipotizzata.

5 Se il chi-quadro misurato (osservato) χ Ο > d coda a destra Livello di significatività alta P < 1 %. Il chi quadro ci dice che la retta teorica è troppo distante in media, rispetto alle δyi, dai dati sperimentali: la legge va rigettata!

6 Rigetto a sinistra P < 1 %, la precisione della misura non è risolutiva. Va migliorata. Posso fornire le misure di A e di B, ma avrò incertezze elevate. Rigetto a destra P < 1 %, la precisione della misura è risolutiva per rigettare Il modello ipotizzato, Non posso fornire stime su A e B, e sulle incertezze. Si aprano tre scenari Il χ ο osservato segue la distribuzione attesa e quindi la legge non può essere rigettata. Posso fornire la misura di A e B (δα e δb secondo le formule)

7 Rigetto a sinistra Rigetto a sinistra P < 1 %, la precisione della misura non è risolutiva. posso usare δa e δb, ma avrò incertezze elevate. χ Ο =0.18 < 0.97

8 Rigetto a destra P < 1 %, la precisione della misura è risolutiva per rigettare il modello ipotizzato, Non posso fornire le misure di A e B, Utilizzando le formule dedotte con il MMQ soltanto. Rigetto a destra χ Ο = 7 > 13.3 Chiamerei questa incertezza, la distanza della retta dai dati incertezza epistemologica

9 Il χ ο osservato segue la distribuzione attesa e quindi la legge non può essere rigettata. Posso fornire la misura di A e B (da e db secondo le formule) χ Ο =4.9 > d quindi verifica a destra χ Ο = 4.9 < 13.3

10 χ Ο = 4.9 < 13.3 Il chi-quadro osservato si colloca nell intervallo fiduciario del 98 %, le due code contribuiscono con un %. Più precisamente prevediamo una probabilità di osservarlo tra 5% < P < 50 %

11 Prima di usare le conseguenze della verifica del chi-quadro, facciamo la verifica della legge del periodo del pendolo, il nostro cavallo di battaglia, perché è un sistema che riusciamo a controllare in classe. Vediamo insieme in classe come orientare l esperimento per misurare g e dove si colloca il centro di massa nel caso in esame. Non ho ancora fatto appello a ulteriori conseguenze statistiche, sulla propagazione delle incertezze.