Il METODO DEI MINIMI QUDRATI

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1 Il METODO DEI MINIMI QUDRATI Nelle scienze sperimentali si osserva o si ipotizza l esistenza di relazioni fra due o più grandezze. Limitando lo studio a problemi che stabiliscono relazioni fra due sole variabili (come, ad esempio, reddito e risparmio, altezza e peso, prezzo e domanda di un bene), si tratta, partendo dalle coppie di dati sperimentali (xi, yi), di determinare una funzione y = f(x) che rappresenti il fenomeno. Vari sono i motivi della ricerca di tale funzione: Descrivere sinteticamente la relazione tra le due variabili osservate Determinare la legge di distribuzione dei dati statistici Ricavare i dati intermedi mancanti Correggere valori affetti da errori accidentali o perturbati da cause secondarie Per trovare la funzione si può procedere in due modi: Interpolazioni per punti noti Interpolazione fra punti noti Interpolazioni per punti noti Interpolazioni fra punti noti La determinazione della funzione il cui grafico passi esattamente per i punti del diagramma a dispersione è abbastanza laboriosa, per cui si preferisce determinare una funzione che si avvicini quanto più è possibile ai punti rilevati. Il metodo più utilizzato è il metodo dei minimi quadrati che consiste nel rendere minima la somma dei quadrati delle distanze tra i valori sperimentali yi e quelli teorici y i : i=n (y i y i) = minima

2 La scelta del tipo di funzione (lineare, quadratica, esponenziale ecc.) dipende da come i punti si dispongono sul diagramma a dispersione. Una volta ricavata la funzione bisogna verificare che il grado di accostamento sia accettabile. A questo scopo si utilizzano gli indici di scostamento. I più usati sono: l indice relativo lineare I1 e l indice quadratico relativo I dati dalle seguenti formule: I 1 = y i y i y i ; I = (y i y i) n y i n Fra i due indici si preferisce utilizzare il secondo. Tanto più piccoli sono i valori degli indici tanto migliore è l accostamento. In linea di massima, per avere un buon accostamento i valori non devono superare 0,1 e in certi casi 0,01. Applicazione del metodo dei minimi quadrati alla funzione lineare Y = a + bx In questo caso bisogna rendere minima la funzione: f(a, b) = (a + bx i y i ) (a + bx i y i ) = Na + b x i + y i + ab x i a y i b x i y i (a + bx i y i ) = Na + b x i + y i + abnx any b x i y i

3 Ordinando rispetto ad a si ottiene: Na + a(bnx Ny ) + (b x i + y i b x i y i ) Ordinando rispetto ad b si ottiene: b x i + b(anx b x i y i ) + (Na + y i any ) Si tratta di due parabole con la concavità rivolta verso l alto il cui minimo si trova nel vertice. (bnx Ny ) a = = y bx (1) N b = (anx x iy i x i ) = x iy i anx x i () Sostituendo la (1) nella () si ha: b x i = x i y i Nx y + bnx b x i bnx = x i y i Nx y b = x iy i Nx y x i Nx = N x iy i N x y N x i N x = N x iy i x i y i N x i ( x i )

4 Formule per determinare i coefficienti della retta dei minimi quadrati: a = y bx b = N x iy i x i y i N x i ( x i ) L equazione della retta sarà: y = a + bx; y = y bx + bx; y y = b(x x ) Esempio In un esperimento fisico si sono misurate le lunghezze di una molla sottoposta a carichi successivi e si è ottenuta la seguente tabella: Pesi in Kg Lunghezze in cm 1 13,5 14,8 16,5 18, x y xy x y d = y -y ,9 0,08 13, ,46 0, ,8 44, , 4 16, ,54-0, , ,08 0, , a = 10,38 media x 3 b = 1,54 media y 15

5 Equazione retta: 5 40, b = = 1,54 a = ,54 = 10,38 y 1,5 = 1,54(x 3) I 1 = 0,48 75 ; I = 0, retta minimi quadrati Serie1 Serie Applicazione del metodo dei minimi quadrati alla funzione di secondo grado: Y = a + bx + cx I coefficienti a, b e c della parabola si ottengono mediante le seguenti formule: a = y i x i 4 xi x i yi n x i 4 ( x i ) b = x i y i x i

6 c = n x i y i y i x i n x i 4 ( x i ) dove x i = x i x ; y i = y i y Esempio Assegnati i punti A(1 ; ), B( ; 5), C(3 ; 4), D(4 ; 1) determinare l equazione della parabola con il metodo dei minimi quadrati. x y x' x' x' 4 x'y x' y 1-1,5,5 5, ,5 5-0,5 0,5 0,065 -,5 1, ,5 0,5 0, ,5,5 5,065 1,5, ,5-9 media x,5 media y 3 a = 1 10, ,5 5 = 4,875; b = ; c = ,5 5 = 1,5 Equazione parabola: y = 4,875 0,4x 1,5x Sostituendo a x =x-,5 si ha: y = 4,875 0,4(x,5) 1,5(x,5) y = 3,5 + 7,1x 1,5x

7 grafico parabola minimi quadrati Serie1 Serie Bibliografia: Gambotto Manzone: Matematica per ragionieri programmatori vol 3 Tramontana