STIMA DEI PARAMETRI. METODO DEI MOMENTI.

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3 STIMA DEI PARAMETRI. Esistono diversi metodi per la stima dei parametri: Metodo grafico di interpolazione su carta probabilistica. Metodo dei momenti. Metodo della massima verosimiglianza. Metodo degli L-Momenti. METODO DEI MOMENTI. Consiste semplicemente nell eguagliare i momenti della popolazione ai momenti della serie. Poiché i momenti della popolazione sono funzione dei parametri, basta considerare tanti momenti quanti sono i parametri da stimare e risolvere un sistema di r equazioni in r incognite ( r : numero dei parametri da stimare) dando ovviamente preferenza ai momenti di ordine minore. 1

4 1. DISTRIBUZIONE NORMALE. Due parametri da stimare µ e. E [ x] = µ [ x ] = var A partire dai valori ( X X,... ) x = s n x i " ( xi x) = n 1, X n 1 della serie si calcola: Sistema di due equazioni in due incognite: µˆ = x ˆ = s

5 . DISTRIBUZIONE LOG NORMALE. Y = ln X Due parametri: µ y e y Due momenti della popolazione: 1 µ " ' Y = lnµ X Y Y & ' ln $ 1 + X % µ X = Dalla serie di dati ( X X,... ) # " x x = = µˆ n i X 1, X n : ( xi " x) s ˆ X = # = n " 1 x µ e X : X Sistema di due equazioni in due incognite: 1 ˆ µ ln ˆ Y = x " Y ˆ ' y & ln $ 1 + % x s = x # " 3

6 DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL. Due parametri da stimare: ed " Due momenti della popolazione: E [ x] var = µ = " + " 6 [ x ] = # = Dal sistema di equazioni in incognite: " = µ # " 6 = # 4

7 METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA. Consiste nel determinare i valori dei parametri in modo da massimizzare la funzione di verosimiglianza: V ( x, x,... xn; 1,,... r) = fx( x1) fx( x)... f ( x 1 x n che è la funzione di densità congiunta del campione per osservazioni indipendenti. La stima dei parametri,... 1, n si ottiene dal sistema di r equazioni in r incognite. ) " V " i ( x1, x,... xn; 1,,... r ) = 0 i = 1,,...,r 5

8 Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione normale verificata se verificata se

9 Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione di Gumbel con n=numero di dati del campione. Il valore a primo membro è determinato sulla base di un valore di tentativo assegnato al secondo membro. Il procedimento si arresta quando i due valori differiscono di una quantità inferiore alla tolleranza assegnata (per es per θ ). Il primo valore di tentativo potrà essere quello derivante dalla stima dei momenti. La correzione che si può apportare ad ogni tentativo per accelerare la convergenza può essere quella suggerita da Gumbel:

10 L-momenti Gli L-momenti sono un modo alternativo di descrivere la forma delle distribuzioni di probabilità. Derivano dai probability weighted moments (PWM) o momenti pesati in probabilità. Per una variabile casuale x con funzione di probabilità cumulata F (x) siha M p,r,s = E [x p {F (x)} r {1 F (x)} s ] D. Ganora L-momenti

11 L-momenti vs momenti r = M 1,r,0 = E [x{f (x)} r ] M r = E [(x µ(x)) r ] Z inf inf x {F (x)} r f (x)dx Z inf inf (x µ(x)) r f (x)dx PWM lineari nella variabile casuale (la x non è mai elevata apotenza,maloèsolof (x)) Momenti la x è e l e v a t a a p o t e n z a p e r r > 1 D. Ganora L-momenti 3

12 L-momenti I PWM possono essere usati per stimare i parametri di una distribuzione, ma sono di cili da interpretare direttamente come misure di dispersione, forma,... Tali informazioni sono però presenti in particolari combinazioni di PWM 1 = 0 media = 1 0 dispersione 3 = asimmetria 4 = D. Ganora L-momenti 4

13 Coe cienti adimensionali = 1 L-CV 3 = 3 L-skewness 4 = 4 L-kurtosis in generale r = r 1 D. Ganora L-momenti 5

14 Proprietà esistenza se la media della distribuzione esiste, allora esistono tutti gli L-momenti unicità se la media della distribuzione esiste, allora gli L-momenti definiscono in maniera univoca la distribuzione (non ci sono due distribuzioni con gli stessi L-momenti) I 0 I r < 1pertuttir 3 I 1 4 (5 3 1) apple 4 < 1 I per distribuzioni che assumono solo valori positivi 3 è limitato in funzione di 1 apple 3 < 1 D. Ganora L-momenti 10

15 L-momenti Notazione: x 1, x,...,x i...x n campione x (1) apple x () apple...apple x (i) apple...apple x (n) campione ordinato in senso crescente x 1:n apple x :n apple...apple x i:n apple...apple x n:n campione ordinato in senso crescente D. Ganora L-momenti 6

16 PWM campionari b r = 1 n b = 1 n b 1 = 1 n nx j=r+1 b 0 = 1 n nx j=3 nx j= nx j=1 x j:n (j 1) (n 1) x j:n (j 1)(j ) (n 1)(n ) x j:n (j 1)(j )...(j r) (n 1)(n )...(n r) x j:n D. Ganora L-momenti 1

17 L-momenti campionari l 1 = b 0 l =b 1 b 0 l 3 =6b 6b 1 + b 0 l 4 =0b 3 30b +1b 1 b 0 D. Ganora L-momenti 13

18 Diagramma diagnostico di Hosking e Wallis 3

19 Stima dei parametri di alcune distribuzioni mediante gli L-momenti La procedura per la stima dei parametri è analoga a quella utilizzata nel metodo dei momenti: gli L-momenti teorici vengono equiparati a quelli campionari. Invertendo la relazione tra parametri e L-momenti si ottengono i parametri. Distribuzione Normale Distribuzione di Gumbel L-momenti Parametri L-momenti Parametri 4

20 Stima dei parametri di alcune distribuzioni mediante gli L-momenti Distribuzione Log Normale Distribuzione GEV L-momenti L-momenti Parametri Parametri 5