La famiglia delle distribuzioni GEV - I

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1 La famiglia delle distribuzioni GEV - I La distribuzione generalizzata degli eventi estremi (GEV) è la distribuzione teoricamente attesa per i massimi all interno di blocchi temporali di dimensione molto ampia. Sebbene sia una distribuzione asintotica, nelle applicazioni ingegneristiche viene spesso utilizzata per interpretare i massimi estratti da blocchi temporali finiti, solitamente assunti pari ad un anno. La distribuzione di frequenza cumulata della famiglia delle distribuzioni GEV assume la seguente forma generale: P(x; µ, σ, κ) = exp { [ 1 + κ { [ exp exp ( )] } 1/κ x µ σ ( )]} x µ σ κ 0 κ = 0 dove µ (, ) rappresenta il parametro di posizione, σ > 0 il parametro di scala e κ (, ) il parametro di forma. (1) Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 1 / 12 ) La famiglia delle distribuzioni GEV - II Al variare dal parametro di forma k la distribuzione GEV descrive: κ = 0 Tipo I - distribuzione Gumbel. La distribuzione ha due soli parametri (µ, σ), che controllano scala e posizione. La distribuzione è illimitata sia inferiormente che superiormente: x (, ). Il coefficiente di asimmetria assume il valore costante di κ > 0 Tipo II - distribuzione Fréchet. La distribuzione di frequenza è limitata inferiormente: x (µ σ/κ, ). In questo caso i momenti convenzionali di ordine pari o superiore a 1/k sono degeneri. κ < 0 Tipo III - distribuzione Weibull. superiormente: x (, µ σ/k). La distribuzione è limitata Invertendo l equazione (1) otteniamo i quantili della distribuzione GEV: { µ σ 1 ( ln P) κ} /κ κ 0 x(p) = µ σ ln ( ln P) κ = 0 dove in genere si pone P = 1 1 T, per valutare la grandezza che corrisponde ad un tempo di ritorno T espresso in anni. Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 2 / 12 ) (2)

2 Curva di crescita GEV - I Sia x una variabile aleatoria distribuita secondo la GEV descritta dall equazione (1), con parametri κ, σ e µ. Nell analisi regionale risulta particolarmente conveniente introdurre la variabile adimensionale y = x/m, dove m rappresenta la media campionaria di x, ed è anche detta pioggia o portata indice, a seconda del campo di applicazione. Con semplici passaggi algebrici, dalla equazione (1) si ricava la seguente funzione di ripartizione per la nuova variabile y: { [ ( )] } y µ 1/κ exp 1 + κ σ κ 0 P(y; µ, σ, κ) = (3) { [ ( )]} y µ exp exp κ = 0 dove il parametro di forma κ è rimasto invariato, mentre i parametri adimensionali di scala e di posizione sono pari rispettivamente a: σ σ = σ m e µ = µ m (4) Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 3 / 12 ) Curva di crescita GEV - II La curva di crescita già definita nell equazione (2) avrà ora equazioni: { µ σ 1 ( ln P) κ} /κ κ 0 y(p) = µ σ ln ( ln P) κ = 0 Quando poi si conosca la pioggia indice o portata indice m nella specifica località di interesse, il quantile della variabile dimensionale x sarà pari a: { µ σ 1 ( ln P) κ} /κ κ 0 x(p) = m y(p) = m (6) µ σ ln ( ln P) κ = 0 Dalle stime ˆσ e ˆκ dei parametri di forma e scala si ricava una stima di µ : 1 + ˆσ [1 Γ(1 ˆκ)] ˆκ 0 ˆµ ˆκ = 1 γ ˆσ ˆσ ˆκ = 0 dove γ = è la costante di Eulero, Γ() è la funzione gamma. Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 4 / 12 ) (5) (7)

3 GEV giornaliera: distribuzione del parametro di forma κ D GEV shape parameter Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 5 / 12 ) GEV giornaliera: distribuzione del parametro di scala σ D GEV dimensionless scale parameter Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 6 / 12 )

4 GEV giornaliera: distribuzione del pioggia indice m D (mm) Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 7 / 12 ) Quantile delle precipitazioni giornaliere Dopo aver determinato dalle Figure precedenti i parametri di forma κ D e di scala adimensionale σd della distribuzione GEV e la pioggia indice m D per le precipitazioni giornaliere nel punto di interesse, possiamo calcolare il quantile corrispondente a qualsiasi tempo di ritorno dalle eq. (6) e (7). Quando si voglia aggirare il calcolo con la funzione gamma, il quantile H T delle precipitazioni giornaliere, corrispondente al tempo di ritorno T, si può ottenere dal prodotto della pioggia indice giornaliera m D e della variabile ridotta adimensionale Y T per le piogge giornaliere: H T = m D Y T (8) dove l altezza di precipitazione giornaliera H T e la pioggia indice giornaliera m D sono espresse in mm. Esprimendo il tempo di ritorno T in anni si calcola il valore della curva di crescita Y T (quantile della variabile ridotta adimensionale): Y T = 10 Y p + Y q log 10 T + Y r (log 10 T ) 2 dove la dipendenza territoriale è introdotta dalle seguenti relazioni, attraverso i parametri di forma κ D e di scala adimensionale σ D della precipitazione giornaliera: Y p = κ D σd κ 2 D κ D σd σd Y q = κ D σd κ 2 D κ D σd σd Y r = κ D σd κ 2 D κ D σd σd Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 8 / 12 )

5 Curva di di possibilità pluviometrica da modello GEV - I Il risultato delle analisi sulle precipitazioni giornaliere ha permesso di determinare le nuove curve di possibilità pluviometrica per la Regione Sardegna con metodo geostatistico boundaryless e distribuzione GEV. Dalle Figure precedenti determiniamo, per qualsiasi punto di interesse della Regione Sardegna, i seguenti parametri riferiti alle precipitazioni giornaliere: k D - parametro di forma della distribuzione GEV [-] σ D - parametro di scala adimensionale della distribuzione GEV [-] m D - pioggia indice giornaliera [mm] Per il quantile h T (τ) delle precipitazioni brevi ed intense di durata τ, corrispondente al tempo di ritorno T, è stata proposta la seguente espressione monomia, pari al prodotto della pioggia indice m(τ) e della variabile ridotta adimensionale o curva di crescita y T (τ) relative alla stessa durata τ: a 1 τ n 1 τ 1ora h T (τ) = m(τ) y T (τ) = (9) a 2 τ n 2 τ 1ora dove l altezza di precipitazione h T (τ) è espressa in mm, la durata τ in ore, il tempo di ritorno T in anni. Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 9 / 12 ) Curva di di possibilità pluviometrica da modello GEV - II La pioggia indice m(τ) espressa in mm e la variabile ridotta adimensionale y T (τ) per piogge di durata τ sono anch esse fornite in forma monomia: a 1m τ n 1m τ 1 ora m(τ) = a 2m τ n 2m τ 1 ora a 1y τ n 1y τ 1 ora y T (τ) = a 2y τ n 2y τ 1 ora Ovviamente valgono le seguenti relazioni che pemettono di calcolare i parametri della curva di possibilità pluviometrica fornita nell eq. (9): a 1 = a 1m a 1y a 2 = a 2m a 2y n 1 = n 1m + n 1y n 2 = n 2m + n 2y Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 10 / 12 )

6 Curva di di possibilità pluviometrica da modello GEV - III I parametri relativi alla componente pioggia indice m(τ) dipendono dalla località di interesse attraverso la pioggia indice giornaliera m D e si determinano con le seguenti espressioni: n 1m = log 10 m D n 2m = log 10 m D a 1m = a 2m = m D 24 n 2m I parametri relativi alla componente variabile ridotta adimensionale y T (τ) dipendono dal tempo di ritorno T e dalla località di interesse attraverso i parametri di forma k D e di scala adimensionale σd della precipitazione giornaliera e si determinano con le seguenti espressioni: n 1y = n 1yp + n 1yq n 2y = n 2yp + n 2yq log 10 T log 10 T a 1y = a 2y = 10 a 1y p + a 1yq log 10 T + a 1yr (log 10 T ) 2 Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 11 / 12 ) Curva di di possibilità pluviometrica da modello GEV - IV La dipendenza territoriale della variabile ridotta adimensionale y T (τ) è introdotta infine dalle seguenti relazioni: n 1yp n 1yq n 2yp n 2yq a 1yp a 1yq a 1yr = κ D σd κ 2 D κ D σd σd = κ D σd κ 2 D κ D σd σd = κ D σd κ 2 D κ D σd σd = κ D σd κ 2 D κ D σd σd = κ D σ D κ 2 D κ D σ D σ D = κ D σ D κ 2 D κ D σ D σ D = κ D σ D κ 2 D κ D σ D σ D Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7c - Eventi Estremi - CPP da modello GEV ( 12 / 12 )