Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 4

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1 Insegnamento di Idrologia Esercitazione n. 4 Si vogliono costruire delle opere di difesa lungo un affluente del torrente Staffora. Poiché non esistono osservazioni di portata, occorre stimare la portata di piena a partire da uno ietogramma di progetto con tempo di ritorno di 30 anni. Il bacino a monte del tratto interessato dai lavori ha un'area di 26,45 km 2. Il tempo di corrivazione, stimato con la formula di Giandotti, è di 2,07 h. Per le elaborazioni sono disponibili le osservazioni effettuate alla stazione pluviometrica di Varzi nel periodo , pubblicate nella tabella Precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate ai pluviografi e nella tabella Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi degli Annali Idrologici. Per le elaborazioni sono disponibili dei programmi di calcolo automatico. Effettuare le seguenti elaborazioni: 1) Determinare la curva di possibilità climatica della pioggia puntuale corrispondente al tempo di ritorno di 30 anni. 2) Determinare, per il tempo di ritorno di 30 anni, lo ietogramma di progetto di Sifalda, ponendo la durata dello ietogramma uguale al tempo di corrivazione ed effettuando il ragguaglio della pioggia all'area del bacino in due modi diversi: assumendo un coefficiente di ragguaglio variabile e assumendo un coefficiente di ragguaglio costante. 3) Determinare la curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata corrispondente al tempo di ritorno di 30 anni. 4) Determinare, per il tempo di ritorno di 30 anni, gli ietogrammi di progetto di Huff corrispondenti ai quattro quartili e alla probabilità di non superamento 0,5, ponendo la durata degli ietogrammi uguale al tempo di corrivazione. 5) Confrontare gli ietogrammi ottenuti. (Vale la pena di osservare, a proposito degli ietogrammi di Huff, che l'area del bacino considerato è di molto inferiore a 50 mi 2.)

2 Varzi: precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate al pluviografo (con l'eccezione dei valori contrassegnati con un asterisco, che sono precipitazioni di massima intensità registrate al pluviografo) Anno Durata [min] h 2h , , ,0 53, ,0* ,0* ,0* ,0* ,0* ,0* ,0* ,0* ,0 9,7 13, ,5 11,0 21, ,5 7,4 10, ,6 12,0 14,0 20, ,0 9,6 23,0 11,0 10,2 28,0 9,0 8,0 12,5 14,5 16,0 21,0 12,4 32,0 11,0 10, ,0 20,0 23, ,2 18,2 20, ,2 23, ,6 19, ,8 12, ,6 18,0 21, ,8 17,4 19, ,4 15, ,4 18, ,0 11,0 16, ,6 28,4 20, ,0 11,0 27,4 16, , ,2 29, , ,0 35,8 22, ,4 29,0

3 (continua) Anno Durata [min] h 2h ,8 17, ,6 24, ,6 35,0 26, ,0 15, , ,0 17,4 27, ,8 11,0 13, ,6 16,8 19, ,4 15,6 21,0 Varzi: precipitazioni di massima intensità registrate al pluviografo Anno Durata [h] Anno Durata [h] ,0 32,0 39,0 41,0 70, ,8 26,0 30,0 36,4 49, ,0 16,0 28,5 40,0 72, ,4 54,8 73,2 75,0 79, ,5 44,0 62,0 106, ,4 20,4 29,2 51,4 84, ,0 37,0 49,0 55,0 63, ,2 24,0 29,8 33,8 44, ,0 33,0 40,0 46,0 52, ,0 30,0 32,6 35,0 48, ,0 65,0 84,0 102,0 129, ,0 30,2 49,4 65,4 86, ,0 35,0 39,0 39,5 69, ,4 31,0 38,8 66,4 113, ,0 28,0 42,0 52,0 66, ,2 41,0 45,0 49,0 71, ,0 28,0 37,0 48,0 65, ,6 35,8 35,8 50,0 81, ,0 31,0 38,0 46,0 55, ,8 37,0 59,6 80,4 109, ,0 40,0 44,0 46,0 50, ,0 31,0 42,4 43,0 50, ,5 29,0 30,7 36,5 46, ,4 32,8 63,4 71,8 96, ,5 19,5 21,0 23,0 31, ,8 73,0 78,0 78,0 78, ,4 24,0 33,0 41,0 58, ,2 41,2 45,4 57,0 57, ,0 54,2 54,2 59,0 92, ,6 38,2 40,6 43,0 44, ,0 40,0 40,0 42,0 51, ,8 22,0 32,6 35,4 41, ,8 24,0 33,0 56,8 56, ,8 57,2 57,2 57, ,8 33,4 33,4 36,2 36, ,4 20,4 28,0 46,4 61, ,0 33,0 46,0 46,0 46, ,8 27,0 28,6 41,6 56, ,0 24,8 36,0 46,4 63, ,2 23,2 25,8 28,2 45, ,2 31,6 31,6 49,2 53,0

4 Elaborazioni Preparazione dei dati I dati provengono da due tabelle diverse degli Annali idrologici: dalla tabella Precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate ai pluviografi e dalla tabella Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi. I dati della seconda tabella sono esplicitamente presentati come massimi annuali. Invece quelli della prima tabella non sono necessariamente dei massimi annuali, ma sono semplicemente dei valori di precipitazione notevoli, che il rilevatore ha ritenuto opportuno mettere in evidenza. E in effetti la tabella fornisce spesso, per una stessa durata, più valori tra loro diversi. Per ricavare dalla prima tabella dei valori che si possano ragionevolmente assumere come massimi annuali relativi alle diverse durate occorre dunque effettuare due operazioni: in primo luogo occorre scegliere, per ogni durata, un solo valore, quello massimo; in secondo luogo occorre eliminare le incongruenze, vale a dire eliminare tutti i valori che risultino inferiori a quelli osservati nello stesso anno in corrispondenza di durate più brevi di quella considerata. I valori così selezionati sono con buona probabilità davvero dei massimi annuali. I campioni costituiti dai dati selezionati presentano però un difetto, che non è facilmente eliminabile (e che normalmente non si tenta nemmeno di eliminare). Negli anni in cui per una certa durata non sono state osservate altezze di pioggia notevoli, il rilevatore non ha inserito alcun valore; ci si deve quindi attendere che i campioni così ottenuti siano costituiti da insiemi di valori mediamente più alti di quelli di cui sono costituite le distribuzioni dei massimi annuali. Le operazioni sopra descritte producono, nel caso della stazione di Varzi, campioni di dimensione molto diversa. Per le elaborazioni si prendono in considerazione solo le durate (otto in tutto) per cui i campioni sono costituiti da almeno 10 elementi. Con questo criterio si ricavano dalla tabella Precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate ai pluviografi i campioni relativi a tre sole durate: 0,25 h (14 elementi), 0,50 h (29 elementi) e 0,75 h (14 elementi). Dalla tabella Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi, per la quale non esistono problemi di selezione dei dati, si ricavano campioni di 40 elementi per le durate di 1 h e di 3 h e campioni di 41 elementi per le durate di 6 h, 12 h e 24 h. Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale Scelta della distribuzione e stima dell'altezza di precipitazione Il tipo di distribuzione di probabilità dell'altezza di precipitazione massima annuale si assume lo stesso per tutte le durate e si sceglie adoperando (ripetutamente) il programma MASSIMI (versione 2011), per il cui uso si rimanda all'illustrazione dell'esercitazione n. 2. Il programma prevede l'uso di sei diversi tipi di distribuzione di probabilità, tutti a due parametri (poiché i campioni sono di dimensione piuttosto ridotta, è conveniente mantenere basso anche il numero dei parametri).

5 Nell'utilizzare il programma si prendono in considerazione tutte e sei le distribuzioni e ci si limita al calcolo dell'altezza di pioggia con tempo di ritorno di 30 anni. Distribuzione di Gumbel La distribuzione di Gumbel (o distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo) è illimitata inferiormente e superiormente. La funzione di probabilità è rappresentata dall'espressione P(x) = exp{-exp[-α(x - u)]}. I parametri α e u sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni α = 1,283, σ(x) u = µ(x) - 0,450σ(x). Distribuzione lognormale a due parametri La distribuzione lognormale a due parametri è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente. La distribuzione è caratterizzata dal fatto che a seguire la legge normale non è la variabile originaria x, ma il suo logaritmo naturale y. La funzione di probabilità è rappresentata dall'espressione P(x) = P(y) = - y 1 2π σ(y) exp y - µ(y) 2 σ(y) dy. Poiché la variabile y è distribuita normalmente ci si può ricondurre alla variabile gaussiana standardizzata u per mezzo della trasformazione u = ay + b, i cui parametri a e b sono forniti dalle espressioni a = 1 ln 1 +, σ 2 (x) µ 2 (x)

6 b = 1 - a ln µ(x). 2a Distribuzione Gamma a due parametri La distribuzione Gamma a due parametri è illimitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità della distribuzione Gamma è rappresentata dall'espressione P(x) = α γ x γ-1 e -αx dx. Γ(γ) 0 x I due parametri α e γ sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni α = µ(x) σ 2 (x), µ γ = 2 (x) σ 2 (x). Distribuzione di Fréchet a due parametri La distribuzione di Fréchet (o distribuzione asintotica del massimo valore del II tipo) a due parametri è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità della distribuzione di Fréchet a due parametri è rappresentata dall'espressione P(x) = exp - x u -k, dove il parametro k è sempre positivo (e maggiore di uno affinché esista la media, di due affinché esista la varianza). I due parametri u e k sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni µ(x) = u Γ 1-1 k,

7 σ 2 (x) = u 2 Γ 1-2 k - Γ k Distribuzione di Weibull a due parametri La distribuzione di Weibull a due parametri è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità della distribuzione di Weibull coincide con la funzione di probabilità (di non superamento) della distribuzione asintotica del minimo valore del III tipo a due parametri. (Il campo di esistenza della variabile che riveste il maggiore interesse è però naturalmente diverso nei due casi.) La funzione di probabilità è rappresentata dalla funzione k, P(x) = 1 - exp - x u dove il parametro k è sempre positivo. I due parametri u e k sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni µ(x) = u Γ k, σ 2 (x) = u 2 Γ k - Γ k. Distribuzione loglogistica a due parametri La distribuzione loglogistica è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità (che coincide con la distribuzione logistica del logaritmo naturale di x) è rappresentata dalla funzione x β P(x) = α β + x. β I due parametri α e β (che deve essere maggiore di uno affinché esista la media, di due affinché esista la varianza) sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni µ(x) = πα, β sin(π/β)

8 σ 2 (x) = α 2 2π - π 2 βsin(2π/β) β. 2 sin 2 (π/β) Si applica il programma MASSIMI ai campioni dei massimi annuali di precipitazione delle diverse durate e si stimano, per tutte le distribuzioni di probabilità previste dal programma, i parametri e l'altezza di precipitazione con tempo di ritorno di 30 anni. In generale il grado di adattamento della distribuzione alle osservazioni varia con il tipo di distribuzione e con la durata della precipitazione. Per tutte le durate si sceglie lo stesso tipo di distribuzione, quello che mediamente si adatta meglio, considerando tutte le durate. Nelle due tabelle che seguono sono riportati i valori calcolati del criterio X 2 del test di Pearson e quelli del massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi che il campione provenga dal tipo di distribuzione considerato. (Sono riportati in grassetto i minimi di X 2 e i massimi di α.) Criterio X 2 del test di Pearson Durata t [h] Distribuzione 0,25 0,50 0, Gumbel 0,286 7,724 0,286 2,800 2,000 4,463 3,293 2,512 Lognormale 0,286 7,724 0,286 2,800 3,600 5,244 3,293 2,512 Gamma 0,286 6,000 0,286 2,400 4,400 6,805 5,244 5,634 Fréchet 0,286 14,276 0,286 3,200 10,00 8,756 5,634 3,683 Weibull 0,286 3,931 0,286 6,400 16,00 13,049 10,317 11,098 Loglogistica 0,286 7,379 0,286 2,000 1,200 4,854 2,512 6,415 Massimo livello di significatività α del test di Pearson Durata t [h] Distribuzione 0,25 0,50 0, Gumbel - 0,062-0,817 0,904 0,605 0,756 0,850 Lognormale - 0,062-0,817 0,716 0,509 0,756 0,850 Gamma - 0,124-0,863 0,613 0,343 0,509 0,463 Fréchet - 0,004-0,768 0,132 0,195 0,463 0,706 Weibull - 0,278-0,382 0,016 0,047 0,119 0,092 Loglogistica - 0,071-0,904 0,968 0,556 0,850 0,380 Poiché il numero di parametri è uguale per tutte le distribuzioni, i valori del criterio X 2 sono comparabili tra di loro. In base al criterio X 2 le distribuzioni che presentano il migliore

9 adattamento sono la distribuzione di Gumbel e quella loglogistica: la prima presenta il minimo valore di X 2 per due durate, la seconda per tre. Un analogo risultato si ottiene considerando il massimo livello di significatività α: la distribuzione di Gumbel presenta il massimo valore di α per due durate, quella loglogistica per tre. (Per le durate di 0,25 h e di 0,75 h il massimo livello di significatività non può essere calcolato, perché le osservazioni sono troppo poche; la tabella del criterio X 2 mostra comunque che il grado di adattamento è lo stesso per tutte le distribuzioni.) Come criterio di scelta si adotta la media del massimo livello di significatività α calcolata su tutte le durate (6) per cui il valore del massimo livello di significatività è stato calcolato. Le medie sono riportate nella tabella che segue. (È riportato in grassetto il massimo di α.) Distribuzione Valore medio di α Gumbel 0,666 Lognormale 0,618 Gamma 0,486 Fréchet 0,378 Weibull 0,156 Loglogistica 0,622 In base al criterio adottato si sceglie la distribuzione di Gumbel. È comunque opportuno osservare che il grado di adattamento è molto simile per la distribuzione di Gumbel, per quella lognormale e per quella loglogistica. Nella tabella che segue sono contenuti i valori dell'altezza di precipitazione h con tempo di ritorno di 30 anni ottenuti per le diverse durate t applicando la distribuzione di Gumbel: t [h] 0,25 0,50 0, h [mm] 23,77 31,52 34,51 45,32 60,03 72,32 84,06 114,24 Preparazione del file dati per il programma PIOGGIA Il programma PIOGGIA (versione 2012), che si utilizza per effettuare le elaborazioni seguenti, richiede un file dati preparato in un formato prestabilito. Il file dati è costituito - da un commento, costituito da un numero illimitato di righe di testo, ciascuna compresa tra due apici (non virgolette) e composta di non più di 80 caratteri; - da un codice di fine testo, costituito da tre asterischi contigui, compresi tra due apici; - da una riga che contiene il numero 0 (zero) oppure 1 (uno), a seconda che le osservazioni siano senza etichetta, oppure che ogni osservazione sia preceduta da un'etichetta; - dall'insieme delle durate (in ore) e delle altezze di pioggia calcolate (in millimetri); su ogni riga si riporta una sola durata, seguita dall'altezza di pioggia corrispondente; un'eventuale etichetta

10 deve essere compresa tra due apici, deve essere posta sulla stessa riga dell'osservazione e precederla; il modo più comodo per separare tra loro la durata e l'altezza di pioggia (e l'eventuale etichetta) è di interporre un carattere TAB. Tutti i numeri decimali si scrivono utilizzando il punto, non la virgola, come separatore dei decimali. L'ultima riga può essere seguita da un numero indefinito di righe vuote. Uso del programma PIOGGIA Il programma PIOGGIA permette di effettuare diverse elaborazioni e offre la possibilità di un certo numero di scelte diverse. Nell'utilizzare il programma PIOGGIA per lo svolgimento dell'esercitazione - non si scarta nessuna osservazione (il programma permette di scartare una o più osservazioni contenute nel file dati); - si sceglie di calcolare una curva di possibilità climatica a tre parametri; - si effettuano due calcoli successivi: nel primo calcolo si determinano la curva di possibilità climatica della pioggia puntuale e gli ietogrammi di Sifalda; nel secondo calcolo si determinano la curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata e gli ietogrammi di Huff; - il ragguaglio degllo ietogramma di Sifalda della pioggia puntuale si effettua in due modi: a coefficiente costante e a coefficiente variabile; - il ragguaglio si effettua, sia nel caso dello ietogramma di Sifalda, sia nel caso di quello di Huff, utilizzando la tabella NERC; - si risponde alle domande poste dal programma scrivendo i numeri decimali con il punto, non con la virgola. Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale e dello ietogramma di Sifalda con coefficiente di ragguaglio costante Adoperando il programma PIOGGIA si determina la curva di possibilità climatica (a tre parametri) dell'altezza di precipitazione puntuale. La curva che si ottiene è rappresentata dall'espressione 1 h = 35,6852t t 0, , I valori numerici dei parametri, calcolati con un procedimento approssimato, possono subire lievi variazioni a seconda dell'elaboratore utilizzato.

11 Si determina lo ietogramma di Sifalda discretizzando il tempo con intervalli elementari di 0,25 h e assegnando inizialmente una durata uguale al tempo di corrivazione del bacino (2,07 h). La durata assegnata dello ietogramma viene riaggiustata dal programma in 2 h per lo ietogramma di Sifalda (il numero degli intervalli deve risultare divisibile per quattro). Il coefficiente di ragguaglio costante si determina adoperando la tabella NERC. Il coefficiente di ragguaglio corrispondente alla durata di 2 h e all'area di 26,45 km 2 è uguale a 0,9065. I risultati del calcolo sono contenuti in un file allegato. Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale e dello ietogramma di Sifalda con coefficiente di ragguaglio variabile Si ripete il calcolo del punto precedente, assumendo un coefficiente di ragguaglio variabile anziché costante. Ancora si adopera la tabella NERC. Il coefficiente di ragguaglio variabile va da 0,779 per la durata di 0,25 h a 0,903 per la durata di 2 h. Tutti i risultati del calcolo sono contenuti in un file allegato. Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata e dello ietogramma di Huff Adoperando il programma PIOGGIA si determina la curva di possibilità climatica (a tre parametri) dell'altezza di pioggia ragguagliata. Per il ragguaglio all'area delle altezze di precipitazione puntuali stimate per le diverse durate (che si effettua necessariamente a coefficiente variabile) si adopera la tabella NERC. La curva che si ottiene è rappresentata dall'espressione (v. nota 1) 33,5668t h = t 0, , Si determina lo ietogramma di Huff discretizzando il tempo con intervalli elementari di 0,25 h. La durata originale dello ietogramma viene riaggiustata dal programma in 2,25 h per lo ietogramma di Huff. Il programma PIOGGIA determina lo ietogramma di Huff per tutti e quattro i quartili e per la probabilità di non superamento 0,50. I risultati del calcolo sono contenuti in un file allegato. Grafici Si costruiscono i grafici dei diversi ietogrammi ottenuti e si confrontano tra loro. Il confronto mette in rilievo la diversità dei risultati ottenuti con ietogrammi di progetto diversi.

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