Analisi Statistica dei Valori Estremi Massimi Annuali delle Portate del fiume Serio

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1 dei Massimi Annuali delle Portate del fiume Serio UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Analisi Statistica del Rischio Analisi Statistica dei Valori Estremi Massimi Annuali delle Portate del fiume Serio Valeria Battaglia Docente: Prof. S. Barone Anno Accademico

2 «Terra bergamasca, che il Serio bagna e il Brembo innonda» (Torquato Tasso). INTRODUZIONE Il fiume è un corso d acqua che scorre principalmente in superficie (o parzialmente sotterraneo) e che può essere alimentato dalle precipitazioni piovose, dallo scioglimento di nevi o ghiacciai o dalle falde idriche sotterranee. La quantità d'acqua che scorre in un fiume si misura con la portata Q, definita come il volume d'acqua che passa attraverso una sezione trasversale del fiume nell'unità di tempo. Difficilmente essa è costante e nella maggior parte dei casi si possono distinguere tre situazioni: ) magra, nei periodi più secchi, quando nel fiume scorre poca acqua; 2) morbida, nei periodi umidi, in cui nel fiume scorre abbondante acqua; 3) piena, quando scorre una quantità eccezionale di acqua tale da inondare aree che normalmente sono asciutte. Nella storia della nostra Nazione sono state diverse le inondazioni che hanno registrato gravi danni all agricoltura, alle infrastrutture, al territorio in generale nonché vittime umane. Si possono citare, ad esempio, il caso dell alluvione del 965 e del 966 che colpì la cittadina di Latisana provocando ingenti danni o quello di Firenze del 844 causato dall inondazione dell'arno. Nonostante lo sviluppo di tecnologie avanzate, la società si dimostra ancora estremamente vulnerabile alle piene fluviali. In tale contesto, lo studio delle piene fluviali assume un importanza fondamentale, soprattutto per la difesa del territorio, sebbene la previsione dei volumi associati alle piene rimane di difficile determinazione ed a volte incerta a causa dei numerosi fattori coinvolti. Da questa valutazione, discende la scelta di effettuare un analisi statistica delle portate massime annuali del fiume Serio, preso come esempio. 2

3 2. I DATI Il Serio è un fiume che scorre interamente in Lombardia e attraversa le province di Bergamo e Cremona. Nasce dal Monte Torena e scende verso la pianura formando la valle Seriana, con una lunghezza complessiva di 24 km e una portata media di 23 m³/s. SERIO Lunghezza: 24 km Portata media: 23 m³/s Bacino idrografico:.256 km² Altitudine della sorgente: m s.l.m Nasce: Monte Torena Sfocia: Adda a Bocca Serio, presso Montodine Stati/regioni attraversati: Italia:Lombardia Tabella I "numeri" del fiume Serio Per interpretare e/o controllare con successo fenomeni di tipo naturali come, in questo caso, i massimi annuali delle portate di fiumi o i corrispondenti minimi, è possibile applicare i modelli di Gumbel, noti come distribuzioni dei Valori Estremi (Erto, 985). I dati riportati in Tabella, elaborati nel seguito staticamente, provengono dagli annali del S.I.M.N. (Servizio Idrografico e Mareografico Italiano) e si riferiscono ai valori massimi annuali delle portate al colmo dal 929 al 993, con alcune interruzioni soprattutto nell intervallo e , per un totale di 48 anni di osservazione. Anno Q[m 3 /s] Anno Q[m 3 /s] Anno Q[m 3 /s] Tabella 2: Portate al colmo [m 3 /s]. 3

4 3. ANALISI STATISTICA Il massimo annuale assunto dalla portata Q, in un intervallo di durata assegnata, è un esempio di valore estremo di una variabile aleatoria. La serie dei massimi valori di portata al colmo è caratterizzata da una forte persistenza, dovuta al fatto che le piene precedenti lasciano il bacino umido e aumentano l importanza delle piene successive. Tuttavia, considerando i massimi annuali, cioè che distano mediamente un anno l uno dall altro, possono essere considerati tra loro indipendenti. Si ipotizza, quindi, che i massimi colmi annuali siano equidistribuiti, abbiano cioè tutti la stessa distribuzione di probabilità. Si adotta, per questa analisi, la funzione di distribuzione Gumbel che ben si presta, come già anticipato, a regolarizzare serie empiriche di valori estremi di tipo idrogeologico. La funzione di distribuzione Gumbel dei valori massimi è data dalla seguente espressione: F Zm (z) = exp[ e α(z ε) ] per la portata Q P(Q) = exp[ e α(q ε) ] in cui α ed ε sono i parametri della distribuzione che, stimati attraverso il metodo dei momenti, risultano legati alla media μ e allo scarto quadratico medio σ del campione. In particolare, si ha: α =,2825/σ ε = μ 0,5772/α In relazione alla serie storica di dati sulle portate massime annuali in Tabella, attraverso l uso di un foglio di calcolo Excel, si sono ottenuti i seguenti valori: Parametro Valore N 48 μ 238,8958 σ 86,83862 α 0,04763 ε 99,798 Tabella 3: Parametri della distribuzione Gumbel Serie Figura : Portate massime annuali osservate. Per poter stabilire il buon adattamento di una distribuzione di probabilità è necessario, a livello formale, effettuare dei test come, ad esempio, il test del χ 2 o quello di Kolmogorov-Smirnov. In questo caso, per avere un riscontro immediato dell andamento sperimentale dei dati su quello probabilistico, si è messo a confronto la curva di frequenza cumulata con quella di distribuzione (Figura 2). Il set di dati in possesso è stato ordinato in ordine crescente, associando ad ogni Q un indice di posizione i, in modo da poter stimare il valore teorico di F(Q i ). La plotting position usata è quella di Weibull, data da: F = i N+ dove N è il numero di dati e i=..n Test non parametrico che verifica la forma delle distribuzioni campionarie. 4

5 P(Q) Valeria Battaglia,2 0,8 0,6 0,4 Valori Osservati Gumbel 0, Q [m 3 /s] Figura 2: Regolarizzazione dei valori osservati con frequenza empirica F i con la funzione di distribuzione Gumbel. Da una valutazione di tipo visivo possiamo affermare che la distribuzione Gumbel bene interpreta i dati misurati, in quanto le due dispersioni (ottenute per mezzo di un grafico a dispersione su Excel) sono simili. Per rendere più efficace il confronto, piuttosto che utilizzare un diagramma cartesiano normale, si utilizzano le carte di probabilità. Quest ultime sono specifiche per ogni tipo di funzione di probabilità (lognormale, Gumbel,..) e sono costruite in modo tale che, deformando opportunamente l asse delle ordinate, le curve tipiche delle distribuzione di probabilità teorica corrispondente siano delle rette. Nel caso in esame, ovviamente, è utilizzata la carta di probabilità Gumbel dove, in ascissa, sono riportati i valori delle portate e, in ordinata, è rappresentata la variabile standardizzata corrispondente. L espressione della distribuzione di Gumbel precedentemente riportata, indicando con y=α(q-ε) la variabile standardizzata, diventa: P(Q) = exp[ e α(q ε) ] y = α(q-ε) P(y) = exp[ e y ] Per rappresentare l andamento della frequenza empirica F(Q i ) è necessario effettuare una inversione del tipo: y = -ln{-ln[f(q i )]} 5

6 Variabile standardizzata y Valeria Battaglia Il confronto fra l andamento, su carta probabilistica Gumbel, della distribuzione della variabile standardizzata di Gumbel e della frequenza empirica, è rappresentato dal grafico in Figura 3: 5 4 R² = 0, Valori Osservati Gumbel Q [m 3 /s] Figura 3: Regolarizzazione dei valori osservati con frequenza empirica F i con la funzione distribuzione di Gumbel. Anche da questo grafico è possibile notare come i valori osservati sperimentalmente siano bene interpolati dalla retta rappresentante la distribuzione Gumbel, con un coefficiente di regressione R 2 pari a 0,9843 che misura la bontà del cosiddetto fitting 2 della distribuzione ai dati osservati. Le situazioni di rischio idraulico sono, in questo caso, inerenti alle elevate portate che possono formarsi in occasione di determinati eventi meteorici. Tali situazioni di rischio sono, dunque, legate ad un concetto di probabilità di accadimento, usualmente misurato in termini di tempo di ritorno. Il tempo di ritorno T r esprime il numero di intervalli di tempo in cui è atteso una piena di portata superiore al valore Q (Erto, 985): T r (Q) = P(Q) y = α(q-ε) P(Q) = - Tr(Q) Assegnando un fissato tempo di ritorno è, quindi, possibile calcolare la probabilità P e la portata Q corrispondente ad un assegnato tempo di ritorno. Infatti, dall espressione della distribuzione di Gumbel si ottiene: Q = ε - /α ln *-ln(- Tr(Q) )] In relazione a quattro periodi di ritorno prescelti si sono stimate le portate al colmo: T r [anni] Portata [m 3 /s] 5 260, , , ,03 2 Traduzione inglese del termine italiano adattamento. 6

7 Il confronto dei valori ottenuti del tempo di ritorno sul campione con quelli ricavati dalla distribuzione di probabilità di Gumbel, è mostrato in Figura 4: T i = Fi T r (Q) = P(Q) Gumbel Valori Osservati ,2 0,4 0,6 0,8,2 Figura 4: Confronto fra i tempi di ritorno osservati sperimentalmente e quelli ricavati dalla distribuzione di Gumbel. Anche in questo caso si vede come i due andamenti siano pressoché simili. Per completezza espositiva si può aggiungere come, assegnato un certo rischio R e un tempo di ritorno T r, sia possibile calcolare il corrispondente valore della portata massima al colmo. Si introduce, quindi, il concetto di rischio (R) ovvero la probabilità che un evento di piena, di dato tempo di ritorno, ha di manifestarsi in n anni. Si consideri l espressione seguente, ricavata dalla distribuzione Gumbel, in funzione del tempo di ritorno: Q = ε - /α ln *-ln(- Tr(Q) )] Si ha, per esempio, che per un fissato tempo di ritorno T r pari a 5 anni e n=2, ricordando i parametri stimati della distribuzione Gumbel α= 0,04763 e ε= 99,798, il rischio che nei prossimi n=2 anni si verifichi un valore di Q uguale a 30,3993 m 3 /s è del 96%. 7

8 dei Massimi Annuali delle Portate del fiume Serio P(Qi) Anno Portata Q P(Q) i Qi ordinati F(Qi) y=α(q-ε) P(y) -ln(-ln(f(qi))) T(Q) Ti ordinati Parametri del Campione , , , , , ,358877, , μ 238, , , , , , ,62736,044604, σ 86, , , , , , , , , , , , , , ,984987,967792, Parametri della Gumbel , , ,072483, , , , ,36364 α 0, , , , , , ,749663,099298, ε 99, , , , , , , ,573394, , , , , , , ,598482,9522 Plotting Position , , , , , , , ,225 F i/n , , , , , , ,52039, , , , , , ,404069,70609, Calcolo Rischio , , , , , ,343984,07674, T , , , , , , ,426349,36 n , , , , , , ,993328,4 R 0, , , , , , ,687043, ,44765 Q 30, , , , , , , ,436287, , , , , , , ,573394,5325 Portate Q per T r assegnato , , , , , , , , Q(Tr) , , , , , , ,69982, T 3 260, , , , , , , ,307650, T , , , , , , , ,373063,75 T , , , ,439486, , , , ,84848 T , , , , , , , ,47097, , , , , , ,337994,98388, , , , , , , , , , , , , , ,45642, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,670855, , , , ,

9 , , , , , , , , , , , , , ,85378, , , , , , , ,928078, , , , , , ,987695, ,3065 3, , , , , ,670855, , , , , , , ,65372,766775, , , , , , ,943992, , , , , ,833424, , , , , , , , , , , , , , , , , ,66774, , , , , , , ,298804,724578, , , , , , ,063254, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

10 dei Massimi Annuali delle Portate del fiume Serio 4. BIBLIOGRAFIA E. Pasquale, Probabilità e statistica per le scienze e l'ingegneria, 2008, McGraw-Hill Companies E. Pasquale, Rivista di Statistica Applicata Vol. 2 n. 4,