Statistica a breve termine: metodo delle onde apparenti

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1 Esercitazione 1 Statistica a breve termine: metodo delle onde apparenti Si calcolino, applicando il metodo delle onde apparenti, le seguenti proprietà della registrazione ondametrica fornita nelle figure 1.3,, 1.5 e : H 1/1 H, T 1/1 T H s, T s H 1/10, T 1/10 H max, T max valore del coefficiente α nella formula T = α H 1.1 Svolgimento Il primo passo per lo svolgimento dell esercitazione consiste nell individuare le onde apparenti all interno della registrazione. Un onda apparente è compresa tra due successivi attraversamenti del livello zero in salita (metodo zero up-crossing) o in discesa (metodo zero down-crossing). Ad esempio, con riferimento alla figura 1.1, utilizzando il metodo zero up-crossing, la prima onda nella registrazione è compresa tra i punti U 1 e U 2, la seconda tra i punti U 2 e U 3, e così via. Una volta individuate tutte le onde apparenti è necessario calcolare l altezza e il periodo di ciascuna di esse. A tale scopo l altezza della generica onda è definita come distanza tra il massimo e il minimo livello raggiunto dalla superficie libera all interno dell onda apparente, come illustrato in figura 1.1. Il periodo della generica onda apparente è definito come il tempo che intercorre tra i due successivi attraversamenti del livello nullo mediante i quali è definita l onda. Ad esempio il periodo della prima onda definita con il metodo zero-up crossing è pari a t U2 t U1. Applicando tale procedura si ottiene, a partire dalla registrazione di livello, una serie di onde, ciascuna caratterizzata da altezza e periodo. Per calcolare le richieste proprietà della registrazione è necessario effettuare la media delle altezze delle onde più alte all interno della registrazione. In particolare per calcolare H 1/N è necessario estrarre il N% delle onde più alte mentre T 1/N è definito come il periodo medio delle onde utilizzate per calcolare H 1/N. Ad esempio, se all interno della registrazione sono state individuate K onde, H 1/10 corrisponderà all altezza media delle 0.1 K onde 3

2 Figura 1.1: Esempio zero-up crossing più alte, H s (definita come H 1/33 ) all altezza media delle 0.33 K onde più alte. Ovviamente il numero di onde da usare nel calcolo dell altezza potrebbe non essere un numero intero e in tale caso si consiglia di utilizzare il numero intero più prossimo. Per effettuare agevolmente la selezione delle onde più alte si raccomanda di ordinare la serie di onde in funzione dell altezza d onda. Per calcolare il valore del coefficiente α nella formula T = α H è consigliato l utilizzo delle funzioni di regressione del programma Excel. E necessario creare un foglio di calcolo nel quale ogni riga corrisponde a un onda, e con tre colonne nelle quali vanno riportati rispettivamente l altezza d onda H, H e il periodo T. Generare dunque un grafico del tipo XY (x = H, y = T ) e inserire una linea di tendenza di tipo lineare richiedendo al programma di visualizzare l equazione e il valore del coefficiente R 2. E ovviamente opportuno richiedere che l intercetta della linea di tendenza sia zero, ovvero che tale linea passi per l origine. Il coefficiente della x nella equazione della linea di tendenza coincide con il richiesto parametro α. In una prima fase si effettuino le descritte operazioni per le quattro registrazioni parziali e, in una seconda fase, sulla registrazione completa. Approfondimenti Si confronti l istogramma di frequenze cumulate delle altezze d onda relative alla registrazione completa con la probabilità di non superamento fornita dalla distribuzione di Rayleigh. La funzione di probabilità di Rayleigh assume la seguente forma P (x) = 1 e π 4 x2 (1.1) nella quale x = H H. Si osservi e si commenti l adattamento della distribuzione empirica delle altezze d onda alla curva teorica. Per completezza si riporta di seguito l espressione della densità di probabilità della distribuzione di Rayleigh p (x) = π 2 xe π 4 x2. () Si tenga infine presente che la suddetta distribuzione di probabilità viene talvolta espressa in funzione dell altezza d onda quadratica media Hrms. Le relative espressioni possono essere ricondotte l una all altra facendo uso della nota relazione H rms = 2 π H m. (1.3) Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 4

3 Figura : Registrazione completa, intervallo temporale di campionamento t = 0.5s Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 5

4 Figura 1.3: Parte 1, intervallo temporale di campionamento t = 0.5s Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 6

5 Figura : Parte 2, intervallo temporale di campionamento t = 0.5s Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 7

6 Figura 1.5: Parte 3, intervallo temporale di campionamento t = 0.5s Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 8

7 Figura : Parte 4, intervallo temporale di campionamento t = 0.5s Università degli Studi di Roma Tre - DSIC 9