Facoltà di Economia - Università di Pavia Simulazione Prova Scritta di Statistica Sociale 19 dicembre 2012

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1 Facoltà di Economia - Università di Pavia Simulazione Prova Scritta di Statistica Sociale 19 dicembre 01 Esercizio 1. Con riferimento a due variabili dicotomiche X e Y (con valori possibili 0 o 1) si definisca l indice di associazione χ indicandone chiaramente valore massimo e minimo. Si dimostri inoltre che l indice ϕ di associazione corrisponde all indice di correlazione lineare tra le due variabili. p16-0 dispense per formule e dimostrazione. Per massimo e minimo riprendere da proprietà di V di Cramer Esercizio. Si definisca l odds ratio e si indichino le sue proprietà. p 1 Esercizio 3. Si definiscano gli indici di Goodman e Kruskal λ y x e λ x y. p31-36 Esercizio 4. Con riferimento ad una generica tabella I J si definisca l indice χ di Pearson, mostrando l equivalenza tra le due diverse formule di calcolo. p6-7 Esercizio 5. Calcolare il valore dell indice di associazione χ con riferimento alla seguente tabella a doppia entrata. Livello di inquinamento Area Alto Basso Zona A Zona B χ = = Esercizio 6. Con riferimento alla tabella dell esercizio 5 calcolare l odds ratio e commentare il risultato ottenuto. OR = = 0.8 Il livello di inquinamento Alto è più frequente nella Zona B piuttosto che nella Zona A. Esercizio 7. Data la seguente tabella a doppia entrata 1)Calcolare l indice χ X/Y A B C Mod Mod Tabella teorica X/Y A B C Mod Mod χ = ( 3.4) ( 1.9) ( 1.5) 3.5 =

2 ) Mantenendo invariata la marginale di Y ridistribuire le frequenze congiunte in modo tale che vi sia perfetta connessione. Una possibile soluzione è la seguente Perfetta connessione unilaterale di X a Y. X/Y A B C Mod Mod Esercizio 8. Si sono intervistati 100 studenti del primo anno della facoltà di storia riguardo al piano di studi (X) ed al superamento dell esame di Storia Greca (Y) X/Y Sì No Piano Piano 4 6 Piano )Calcolare l indice λ Y X di Goodman e Kruskal (indice dotato di interpretazione operativa). λ Y X = ) Calcolare l indice di associazione V di Cramer 45/100 43/100 45/100 = Tabella teorica X/Y Sì No Piano Piano Piano χ = = N = 100 e min{r 1, c 1} = 1 V = χ = 0, 1414 Esercizio 9. Un docente di lingua inglese impartisce lo stesso corso a studenti di tre differenti indirizzi di studio; gli esami superati e non superati sono indicati nella seguente tabella Esame/Indirizzo Indirizzo A Indirizzo B Indirizzo C Esame Superato Esame Non Superato Il rendimento degli studenti dei tre corsi, rispetto a questo esame, si può ritenere sostanzialmente equivalente, oppure le differenze sono significative? Per rispondere alla domanda precedente effettuare un opportuno test statistico 1) Indicare le ipotesi da sottoporre a verifica. X=esame Y=indirizzo H 0 X e Y sono indipendenti H 1 X e Y non sono indipendenti ) Scrivere l espressione generale della statistica test ed indicare chiaramente le quantità coinvolte

3 χ = ( ) I J (n ij n ij ) I i=1 j=1 (n ij ) = n J n ij i=1 j=1 n i n j 1 Definire le diverse quantità... 3) Valutare ( le ipotesi poste attraverso ) un opportuno test al livello di significatività α = I χ = n J n ij i=1 j=1 n i n j 1 χ = 340 (80 /(130 30)+40 /(60 30)+110 /(150 30)+50 /( )+0 /(60 110)+40 /( )) = Confronto il valore osservato con il valore teorico pari a χ = 9.1 Poichè > 9.1 rifiuto H 0. COGRADUAZIONE Esercizio 10. Cinque studenti sono stati sottoposti a due differenti test ottenendo i seguenti punteggi: Test Test ) Indicare quali coppie sono concordanti, quali discordanti e quali a pari merito. concordanti discordanti a pari merito (10,8) (8,7) (10,8) (6,1) (10,8) (10,15) (10,8)(7,7) (8,7)(6,1) (8,7)(7,7) (10,15)(8,7) (7,7) (6,1) (10,15) (7,7) (10,15)(6,1) ) Calcolare l indice di cograduazione di Kendall corretto per la presenza di gradi ripetuti τ b = C D {[ 1 n(n 1) T ] [ 1 X n(n 1) T Y ]} 1/ = 5 3 (10 1) (10 1) = /9 0, Esercizio 11 A due consumatrici è stato chiesto di esprimere un giudizio su 5 nuove marche di ammorbidenti, i risultati ottenuti sono riassunti dalla seguente tabella (A massimo, E minimo): Intervistata Ammorbidente 1 Ammorbidente Ammorbidente 3 Ammorbidente 4 Ammorbidente 5 Sig.ra Rossi A E C A D Sig.ra Brambilla B C D B E 1) Sostituire i giudizi con le corrispondenti graduatorie numeriche. Intervistata Ammorbidente 1 Ammorbidente Ammorbidente 3 Ammorbidente 4 Ammorbidente 5 Sig.ra Rossi Sig.ra Brambilla ) Calcolare il valore dell indice di cograduazione di Spearman. ρ = Cov(g(X), g(y )) (V ar(g(x) V ar(g(x)) = Esercizio 1. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata = X/Y g1 g Basso Alto

4 Calcolare l indice di cograduazione γ di Goodman e Kruskal ed l indice τ b (indice di Kendall corretto per la presenza di gradi ripetuti). C = 3 6 D = 0 γ = C D C + D = 1 τ b = C D {[ 1 n(n 1) T ] [ 1 X n(n 1) T Y ]} 1/ = dove T X = T Y = 1 n(n 1) = = 45 i n i (n i 1) = = 4 j n j(n j 1) = = 1 Esercizio 13. Data la seguente tabella a doppia entrata, mantenendo invariata la marginale di X ridistribuire le congiunte in modo tale da non ottenere coppie discordanti Una possibile soluzione è data da X \ Y X \ Y n x Esercizio 14. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata rappresentante il legame tra sesso e livello di colesterolo LDL Sesso/livello colesterolo basso medio alto totale Maschio Femmina totale Calcolare il valore degli indici di cograduazione δ e α applicabili solo quando una delle due variabili è ordinale δ = P (Y 1 > Y ) P (Y 1 < Y ) P (Y 1 > Y ) = P (Y 1 < Y ) = 1 ( ) ( ) , 17 0, 3566 δ = 0, 17 0, 3566 = 0, 144 α = P (Y 1 > Y ) + 1/ P (Y = Y 1 )

5 P (Y = Y 1 ) = 0, α = 0, / 0, , 48 α = δ + 1 Esercizio 15. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata rappresentante il legame tra sesso e livello di colesterolo LDL Età/livello colesterolo basso medio alto totale [0, 40) [40, 60) [60, 80) Calcolare il valore dei seguenti odds ratio: locale: ˆθ L 11 cumulativo: ˆθ C 11 globale: ˆθ G 11 ˆθ C 11 = ˆθ L 11 = locale = 1, cumulativo 16 ( ) = 1, ( ) globale ˆθ G 11 = 16 ( ) (1 + 8) ( ) CAMPIONAMENTO = 1, 4 Esercizio 16. Si considerino i seguenti campioni di ampiezza 3, estratti da una popolazione di 4 unità, con probabilità associate p(c): campione (1,,3) (1,,4) (,3,4) (1,3,4) probabilità p(c) Calcolare le probabilità di inclusione del primo e del secondo ordine valori probabilità π i coppia (1,) (1,3) (1,4) (,3) (,4) (3,4) probabilità π ij Esercizio 17. Data una popolazione di N=4 elementi si estraggono campioni di numerosità n con probabilità relative alla prima estrazione pari a p 1 = 0. p = 0.1 p 3 = 0.4 p 4 = 0.3 Si consideri un campione estratto senza reimmissione di ampiezza 3 e si calcoli la probabilità che il terzo elemento sia pari a dato che i primi due sono stati 1 e 3.

6 P (l 3 = l 1 = 1, l = 3) = ( ) = 0.5 Esercizio 18. Si considerino i seguenti campioni di ampiezza 3, estratti senza ripetizione da una popolazione di 4 unità, con probabilità associate p(c): campione (50,3,48) (50,3,65) (3,48,65) (50,48,65) probabilità p(c) Dato il campione (50, 3, 48), stimare il totale della popolazione. Stimatore del totale Ŷ = i c y i π i valori π i Ŷ = = Esercizio 19. Data una popolazione composta da N = 40 individui si supponga di voler estrarre, utilizzando il campionamento sistematico, un campione di n = 8 unità. Posto r = (posizione iniziale), indicare le etichette degli elementi del campione. k = 5, 7, 1, 17,, 7, 3 37 Esercizio 0. Definire lo stimatore del totale nel caso di campioni estratti senza ripetizione e probabilità variabili. Dimostrare inoltre che è uno stimatore non distorto spiegando chiaramente tutti i passaggi. Esercizio 1. Calcolare la probabilità di inclusione del secondo ordine per il campionamento semplice senza ripetizione. Spiegare chiaramente tutti i passaggi. Esercizio. Con riferimento al campionamento senza reintroduzione calcolare la probabilità di estrazione di un unità generica λ della popolazione. p 5-6