Esami di Statistica 1

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1 Esami di Statistica 1 versione del 2 dicembre Per segnalare eventuali errori: Vincenzo Candila, vcandila@unisa.it.

2 Esame di Statistica 2 Febbraio 2016 Esercizio 1. Nelle tabelle seguenti sono esposti il numero di clienti entrati nella catena Rao in due sedi X ed Y in dodici giorni lavorativi casualmente selezionati. X n i Y n i Stimare la media di X ed Y. (pt. 2) 2. Stimare la varianza di X ed Y utilizzando uno stimatore non distorto. (pt. 2) 3. Costruire i boxplot per le variabili X ed Y, e commentare i graci così ottenuti. (pt. 3) 4. Calcolare un indice di asimmetria robusto per X ed Y. (pt. 3) Esercizio 2. Sia Q N(2; 9) e W = X. Calcolare: 1. P r(q > 1). (pt. 3) 2. P r(3 < W < 9 (W µ W ) > 1). (pt. 3) 3. Dalla popolazione W N(µ w, σw 2 ) è stato estratto un campione di n=9 unità statistiche. Si calcoli P r(w > 11 W < 9). (pt. 4) Esercizio 3. Si consideri un'urna composta da 16 palline rosse, 14 nere e 5 bianche e il caso di due estrazioni. 1. Nel caso di estrazione con reimmissione, calcolare la probabilità che esca almeno una pallina nera. (pt. 2) 2. Nel caso di estrazione senza reimmissione, calcolare la probabilità che esca una pallina rossa ed una bianca. (pt. 2) Esercizio 4. Assumendo che X ed Y siano i valori assunti da campioni casualmente estratti da due popolazioni indipendenti aventi distribuzione rispettivamente X N(µ X, σ 2 ) e Y N(µ Y, σ 2 ), si vuole testare se il numero medio di clienti entrati nella sede X sia inferiore al numero medio di clienti entrati nella sede Y. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (pt. 3) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = (pt. 3) 2

3 Soluzione - Esame di Statistica 2 Febbraio 2016 Esercizio 1. Nelle tabelle seguenti sono esposti il numero di clienti entrati nella catena Rao in due sedi X ed Y in dodici giorni lavorativi casualmente selezionati. X n i Y n i Stimare la media di X ed Y. (E(X)=14.83; E(Y)=15.25) 2. Stimare la varianza di X ed Y utilizzando uno stimatore non distorto. (s 2 x = 5.42; s 2 y = 12.75) 3. Costruire i boxplot per le variabili X ed Y, e commentare i graci così ottenuti. (X: h1 = 6.5, Q 1 = 12.5, Q 2 = 15, Q 3 = 16.5, H2 = 22.5) (Y: h1 = 3.5, Q 1 = 12.5, Q 2 = 15, Q 3 = 18.5, H2 = 27.5) 4. Calcolare un indice di asimmetria robusto per X ed Y. (DI X = 0.25; DI Y = 0.166) Esercizio 2. Sia Q N(2; 9) e W = X. Calcolare: 1. P r(q > 1). (0.6305) 2. P r(3 < W < 9 (W µ W ) > 1). (0.7475) 3. Dalla popolazione W N(µ w, σw 2 ) è stato estratto un campione di n=9 unità statistiche. Si calcoli P r(w > 11 W < 9). (0.8641) Esercizio 3. Si consideri un'urna composta da 16 palline rosse, 14 nere e 5 bianche e il caso di due estrazioni. 1. Nel caso di estrazione con reimmissione, calcolare la probabilità che esca almeno una pallina nera. (0.64) 2. Nel caso di estrazione senza reimmissione, calcolare la probabilità che esca una pallina rossa ed una bianca. (0.1344) Esercizio 4. Assumendo che X ed Y siano i valori assunti da campioni casualmente estratti da due popolazioni indipendenti aventi distribuzione rispettivamente X N(µ X, σ 2 ) e Y N(µ Y, σ 2 ), si vuole testare se il numero medio di clienti entrati nella sede X sia inferiore al numero medio di clienti entrati nella sede Y. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = (t c = ; t (22,0.05) = Non Riuto H 0 ) 3

4 Esame di Statistica 16 Febbraio 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta le unità vendute nel 2014 da 15 agenzie immobiliari casualmente selezionate, Y rappresenta le unità vendute nel 2015 dalle stesse agenzie in seguito ad un abbassamento dei tassi di interesse e Z rappresenta la ripartizione geograca delle agenzie (N: Nord, C: Centro, S: Sud ed Isole). i X Y Z C C N N S S C N N N S S N C S 1. Stimare la media di X ed Y. (pt. 2) 2. Stimare la varianza di X ed Y utilizzando uno stimatore non distorto. (pt. 2) 3. Costruire i boxplot per le variabili X ed Y, e commentare i graci così ottenuti. (pt. 3) 4. Misurare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. (pt. 3) Esercizio Sia Q Bin(12; 0.25). Calcolare la probabilità di avere al più 2 successi. (pt. 3) 2. Sia M Bin(600; 0.40). Calcolare la probabilità di avere tra 216 e 252 successi. (pt. 3) 3. Sia W T (12). Calcolare il quantile x 0 tale per cui P (W < x 0 ) = (pt. 4) Esercizio 3. Si misuri l'intensità del legame tra Y e Z. (pt. 4) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se il numero medio di unità immobiliari vendute nel 2014 e nel 2015 sia rimasto invariato. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (pt. 3) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = (pt. 3) 4

5 Soluzione - Esame di Statistica 16 Febbraio 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta le unità vendute nel 2014 da 15 agenzie immobiliari casualmente selezionate, Y rappresenta le unità vendute nel 2015 dalle stesse agenzie in seguito ad un abbassamento dei tassi di interesse e Z rappresenta la ripartizione geograca delle agenzie (N: Nord, C: Centro, S: Sud ed Isole). i X Y Z C C N N S S C N N N S S N C S 1. Stimare la media di X ed Y. (E(X) = 7.93; E(Y ) = 9.93) 2. Stimare la varianza di X ed Y utilizzando uno stimatore non distorto. (s 2 x = 29.20; s 2 y = 34.49) 3. Costruire i boxplot per le variabili X ed Y, e commentare i graci così ottenuti. (X: h1 = 5, Q 1 = 4, Q 2 = 5, Q 3 = 10, H2 = 19) (Y: h1 = 10, Q 1 = 5, Q 2 = 8, Q 3 = 15, H2 = 30) 4. Misurare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. (ρ xy = ) Esercizio Sia Q Bin(12; 0.25). Calcolare la probabilità di avere al più 2 successi. (0.3906) 2. Sia M Bin(600; 0.40). Calcolare la probabilità di avere tra 216 e 252 successi. (0.8185) 3. Sia W T (12). Calcolare il quantile x 0 tale per cui P (W < x 0 ) = ( ) Esercizio 3. Si misuri l'intensità del legame tra Y e Z. (Φ 2 = ) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se il numero medio di unità immobiliari vendute nel 2014 e nel 2015 sia rimasto invariato. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = (t c = 2.080; t (14,0.975) = Non Riuto H 0 ) 5

6 Esame di Statistica 22 Marzo 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta gli utili dell'ultimo anno di esercizio, espressi in decine di migliaia di euro, di 14 punti vendita della società Supercell casualmente selezionati sul territorio nazionale. i X Stimare la media di X, riportandone il valore in euro. (pt. 2) 2. Stimare la varianza di X utilizzando uno stimatore distorto. (pt. 2) 3. Costruire il boxplot per la variabile X, e commentare il graco così ottenuto. (pt. 3) 4. Misurare l'asimmetria della variabile X utilizzando un indice non robusto. (pt. 3) Esercizio Sia Q P (λ = 5). Calcolare P (Q > 2). (pt. 3) 2. Sia M N(7; 16). Calcolare P (3 < M < 9). (pt. 3) 3. Sia W χ 2 (12). Calcolare il quantile x 0 tale per cui P (W < x 0 ) = 0.1. (pt. 4) Esercizio 3. Sia F N(8; 196) e Y = F. 1. Si calcoli la media e la varianza di Y. (pt. 2) 2. Si calcoli P (Y > 10 Y < 17). (pt. 2) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se l'utile medio della società Supercell, espresso in decine di migliaia di euro, sia inferiore a Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (pt. 3) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = 0.1. (pt. 3) 6

7 Soluzione - Esame di Statistica 22 Marzo 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta gli utili dell'ultimo anno di esercizio, espressi in decine di migliaia di euro, di 14 punti vendita della società Supercell casualmente selezionati sul territorio nazionale. i X Stimare la media di X, riportandone il valore in euro. (E(X) = ) 2. Stimare la varianza di X utilizzando uno stimatore distorto. (S 2 X = 68.43) 3. Costruire il boxplot per la variabile X, e commentare il graco così ottenuto. (X: min = 7, h1 = 27.9, Q 1 = 5.1, Q 2 = 1.15, Q 3 = 10.1, H2 = 32.9, max = 19.6) 4. Misurare l'asimmetria della variabile X utilizzando un indice non robusto. (γ 1 = 0.099) Esercizio Sia Q P (λ = 5). Calcolare P (Q > 2). (0.8753) 2. Sia M N(7; 16). Calcolare P (3 < M < 9). (0.5328) 3. Sia W χ 2 (12). Calcolare il quantile x 0 tale per cui P (W < x 0 ) = 0.1. (x 0 = ) Esercizio 3. Sia F N(8; 196) e Y = F. 1. Si calcoli la media e la varianza di Y. (E(Y ) = 3; V AR(X) = 49) 2. Si calcoli P (Y > 10 Y < 17). (0.1359) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se l'utile medio della società Supercell, espresso in decine di migliaia di euro, sia inferiore a Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (-) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0 con un livello di signicatività pari a α = 0.1. (t c = ; t (13,0.1) = Riuto H 0 ) 7

8 Esame di Statistica - 12 Luglio 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta il totale dei giorni di assenza ed Y il voto conseguito in matematica al termine dell'anno scolastico, per 18 alunni della scuola superiore Shiver X Y Stimare la media di X ed Y. (pt. 2) 2. Stimare la varianza di X utilizzando uno stimatore distorto. (pt. 2) 3. Costruire il boxplot per la variabile X e commentare il graco così ottenuto. (pt. 3) 4. Costruire un indice di asimmetria robusto per la variabile X. (pt. 3) Esercizio 2. E' noto che nella scuola Shiver, in media è promosso il 75% degli studenti. 1. Calcolare la probabilità che su 25 studenti, ne vengano promossi 21. (pt. 3) 2. Calcolare la probabilità che su 17 studenti, ne vengano bocciati 5. (pt. 3) 3. Calcolare la probabilità che su 500 studenti, almeno 395 siano promossi. (pt. 4) Esercizio 3. Stimare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. Commentare il risultato così ottenuto. (pt. 4) Esercizio 4. Supponendo che valga il seguente modello lineare: Y i = β 0 + β 1 X i + e i, i = 1,, 18, 1. Stimare, con il metodo dei minimi quadrati, β 0 e β 1. (pt. 3) 2. Sottoporre a test il seguente sistema di ipotesi, con α = 0.1. (pt. 3) { H0 : β 1 = 0 H 1 : β

9 Soluzione - Esame di Statistica - 12 Luglio 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta il totale dei giorni di assenza ed Y il voto conseguito in matematica al termine dell'anno scolastico, per 18 alunni della scuola superiore Shiver X Y Stimare la media di X ed Y. (E(X)=29.11; E(Y)=5.77) 2. Stimare la varianza di X utilizzando uno stimatore distorto. (S 2 x = ) 3. Costruire il boxplot per la variabile X e commentare il graco così ottenuto. (X: h1 = 8, Q 1 = 23, Q 2 = 29.5, Q 3 = 33, H2 = 48) 4. Costruire un indice di asimmetria robusto per la variabile X. (DI r = 0.3) Esercizio 2. E' noto che nella scuola Shiver, in media è promosso il 75% degli studenti. 1. Calcolare la probabilità che su 25 studenti, ne vengano promossi 21. (0.1175) 2. Calcolare la probabilità che su 17 studenti, ne vengano bocciati 5. (0.1914) 3. Calcolare la probabilità che su 500 studenti, almeno 395 siano promossi. (0.0194) Esercizio 3. Stimare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. Commentare il risultato così ottenuto. ( ) Esercizio 4. Supponendo che valga il seguente modello lineare: Y i = β 0 + β 1 X i + e i, i = 1,, 18, 1. Stimare, con il metodo dei minimi quadrati, β 0 e β 1. ( ˆβ 0 = , ˆβ 1 = ) 2. Sottoporre a test il seguente sistema di ipotesi, con α = 0.1. (t c = 4.913; t 16,0.95 = ; RH 0.) { H0 : β 1 = 0 H 1 : β

10 Esame di Statistica - 13 Settembre 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta l'età di 14 lavoratori e Y l'età di 14 lavoratrici dell'azienda Outback X Y Stimare la media di X ed Y. (pt. 2) 2. Stimare le varianze di X ed Y, utilizzando uno stimatore non distorto. (pt. 2) 3. Costruire il boxplot per la variabile X e commentare il graco così ottenuto. (pt. 3) 4. Costruire un indice di asimmetria robusto per la variabile X. (pt. 3) Esercizio 2. La variabile casuale W assume valori W i con probabilità p i. W i p i 3p 2p p Calcolare il valore p. (pt. 3) 2. Calcolare il valore atteso di W. (pt. 3) 3. Calcolare P (W > 0). (pt. 4) Esercizio 3. Misurare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. (pt. 4) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se l'età media tra i lavoratori e le lavoratrici dell'azienda Outback sia uguale. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (pt. 3) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0, con un livello di signicatività pari a α = (pt. 3) 10

11 Soluzione - Esame di Statistica - 12 Luglio 2016 Esercizio 1. Nella tabella di seguito esposta X rappresenta l'età di 14 lavoratori e Y l'età di 14 lavoratrici dell'azienda Outback X Y Stimare la media di X ed Y. (E(X)=41.35, E(Y)= 40.5) 2. Stimare le varianze di X ed Y, utilizzando uno stimatore non distorto. (s 2 x = ; s 2 y = ) 3. Costruire il boxplot per la variabile X e commentare il graco così ottenuto. (X: h1 = 6, Q 1 = 27, Q 2 = 39.5, Q 3 = 49, H2 = 82) 4. Costruire un indice di asimmetria robusto per la variabile X. (DI r = ) Esercizio 2. La variabile casuale W assume valori W i con probabilità p i. W i p i 3p 2p p Calcolare il valore p. (p = 0.1) 2. Calcolare il valore atteso di W. (E(W)=2.8) 3. Calcolare P (W > 0). (0.7) Esercizio 3. Misurare l'intensità del legame lineare tra X ed Y. (ρ X,Y = 0.16) Esercizio 4. Utilizzando i dati dell'esercizio 1, si vuole testare se l'età media tra i lavoratori e le lavoratrici dell'azienda Outback sia uguale. 1. Denire il test (sistema di ipotesi, statistica test e regola decisionale). (-) 2. Sottoporre a test l'ipotesi H 0, con un livello di signicatività pari a α = (t c = ; t 26,0.975 = 2.05; NRH 0 ) 11