Esercizi su distribuzioni doppie, dipendenza, correlazione e regressione (Statistica I, IV Canale)

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1 Esercizi su distribuzioni doppie, dipendenza, correlazione e regressione (Statistica I, IV Canale) Esercizio 1: Un indagine su famiglie ha dato luogo, fra le altre, alle osservazioni riportate nella seguente tabella a doppia entrata. Tali osservazioni sono relative alla variabile statistica bidimensionale (A, B), in cui A indica il titolo di studio del marito (con modalità : N: non diplomato e D: diplomato ) mentre B indica il indica il titolo di studio della moglie (con modalità : N: non diplomata e D: diplomata ) B N D A N D a. Calcolare l opportuno valore di sintesi della distribuzione doppia. b. Mostrare che A e B non sono indipendenti. c. Calcolare l indice del χ 2 e l indice di contingenza quadratica media Φ 2 per verificare il grado di dipendenza tra A e B. In questo esempio è necessario calcolare anche l indice di contingenza quadratica media relativa ψ 2? Esercizio 2: Siano X e Y due variabili statistiche tali che presentano le seguenti distribuzioni marginali e condizionate: X = Y (X = 5) = Y (X = 7) = Y (X = 9) = 0,2 0,4 0,4 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 a. Scrivere la distribuzione congiunta di X e Y. b. Calcolare la media condizionata di X per ciascun valore di Y. La variabile X dipende in media dalla variabile Y? c. Modificare le frequenze congiunte, lasciando invariata la marginale della X, in modo che ci sia massima dipendenza. Esercizio 3: Si consideri una variabile bidimensionale (X, Y). X può assumere i valori 0 e 1, Y può assumere i valori 0 e 0,5. Determinare se possibile almeno una distribuzione congiunta per (X, Y) che soddisfi rispettivamente le seguenti condizioni: a. µ x =µ y e X è indipendente da Y. b. µ x =µ y e Moda(X) = Moda(Y). c. µ x =µ y e X e Y sono perfettamente dipendenti.

2 Esercizio 4: Data la distribuzione di famiglie secondo il numero di vani dell abitazione e il numero di componenti: Vani Componenti a. Verificare se esiste una dipendenza in media del numero di vani dal numero dei componenti. b. Determinare l indice χ 2. Come cambia l indice se si osserva una distribuzione in cui tutte le frequenze sono maggiorate per un fattore moltiplicativo pari a 10? c. Determinare l indice ψ 2 di contingenza quadratica relativa. d. Costruire una tabella avente le stesse modalità e gli stessi totali riga delle frequenze e tale che si abbia perfetta dipendenza tra il numero di vani e il numero di componenti. Esercizio 5: Si consideri la seguente distribuzione doppia di un collettivo di coppie sposate secondo il reddito annuo della moglie (Y) e quello del marito (X) (valori centrali delle classi, in migliaia di dollari): Y X 10 0,20 0,04 0,01 0 0, ,10 0,36 0,09 0 0, ,05 0,10 0 0, ,05 0,05 0,30 0,45 0,20 0,05 1,00 a. Calcolare la media e la varianza di X condizionata a Y=20. b. Determinare la covarianza e il coefficiente di correlazione tra X e Y. Esercizio 6: La tabella seguente riporta il peso (in Kg) e la corrispondente altezza (in cm) di 9 lanciatori di giavellotto: Peso Altezza a. Calcolare la media delle due variabili. b. Calcolare la varianza delle due variabili e stabilire quale delle due presenta variabilità maggiore. c. Misurare la relazione tra peso e altezza.

3 Esercizio 7: I risultati di un inchiesta fatta per determinare se l età di un guidatore da 21 anni in su abbia effetto sul numero di incidenti sono riportati nella seguente tabella: n. incidenti Classi di età a. Calcolare un indice che misura l indipendenza fra i 2 caratteri. Esercizio 8: I voti riportati da sei studenti della Facoltà di Economia all esame di Matematica Generale (X) e di Statistica (Y) sono: Studenti X Y a. Calcolare il coefficiente di correlazione tra le variabili X e Y. b. Determinare la retta di regressione per esprimere il voto in Statistica in funzione del voto in Matematica Generale. c. Calcolare la devianza residua e quella spiegata dalla retta di regressione. d. Ricavare la retta di regressione di X in funzione di Y senza ripercorre tutti i calcoli effettuati nel punto b). Esercizio 9: In genere la correlazione tra il voto ottenuto nel primo esonero (X) e quello ottenuto nel secondo esonero (Y) è ρ=0,75. Se il voto medio al primo esonero fosse uguale a 16 con varianza di 4, mentre al secondo esonero il voto medio risultasse uguale a 18 con varianza 16: a. Determinare la retta di regressione che descrive Y in funzione di X. b. Se al primo esonero il voto di Mario risultasse pari a 20, quale voto può prevedere di prendere al secondo esonero? c. Supponendo che Vanessa abbia preso al secondo esonero 19, secondo voi al primo esonero ha raggiunto la sufficienza?

4 Esercizio 10: Il prezzo del barile in dollari del petrolio Brent (futures a due mesi) sul mercato di Londra è così variato durante il mese di marzo 1995: giorno Prezzo 19,60 19,30 18,90 18,55 17,75 17,50 a. Interpolare l andamento del prezzo in funzione del tempo, ponendo l origine al 5 marzo. b. Ipotizzando che il modello mantenga la sua validità nel tempo, individuare in quale giorno si avvererà la previsione del ministro Saudita Yamani: Il petrolio scenderà sotto i 15$. c. Quale sarà il prezzo del petrolio il 20 marzo. Esercizio 11: Su un collettivo di n individui sono state rilevate due variabili statistiche X e Y che presentano entrambe media nulla e rispettivamente varianza pari a σ x 2 = 9 e σ y 2 = 4. a. Si determini la retta di regressione Y su X sapendo che essa passa per il punto (3,1). b. Si calcoli il coefficiente di determinazione della retta. c. Si determini la retta di X su Y. Esercizio 12: Considerate la seguenti distribuzioni delle variabili statistiche X, Y e Z: Unità X Y Z a. Senza fare calcoli, ma aiutandovi con la rappresentazione grafica, potete dire qualcosa sulla correlazione tra X e Y e tra X e Z? b. Senza fare calcoli quanto vale il coefficiente di correlazione tra X e Z? c. Volendo descrivere Y in funzione di X, quale fra i due modelli proposti sotto scegliereste? y i = a + b x i y i = a + b x i 2

5 Esercizio 13: La tabella mostra la potenza in Kw e la velocità massima di 12 automobili di marche diverse Potenza Velocità a. Costruire un diagramma a dispersione dei dati. b. Trovare l equazione della retta dei minimi quadrati della potenza rispetto alla velocità. c. Stimare la velocità massima di un automobile la cui potenza è pari a 63 Kw. d. Stimare la potenza di un automobile la cui velocità massima è pari a 168Km/h.