STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione I

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1 STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione I 1. Il consumo di farmaci negli ultimi due giorni è un fenomeno di movimento. L'età è un carattere quantitativo continuo; nella tabella la distribuzione è raggruppata in classi. L'età eettiva delle persone nella classe è quella compresa tra 35 anni compiuti e 44 anni compiuti, cioè a partire dal 35 compleanno al giorno precedente il Sia le degenze che le giornate di degenza sono dei caratteri quantitativi discreti. Le degenze sono un fenomeno di movimento. 3. I caratteri considerati sono: 1) regioni, 2) classi di età, 3) soddisfazione per gli orari delle ASL, 4) sesso (in tabelle diverse). Si consideri ora la tabella (totali, senza distinzione di sesso) e consideriamo i due seguenti caratteri riferiti alle regioni come unità statistiche: percentuale di persone che considerano comodi gli orari distintamente per le classi di età e Procedendo ad uno spoglio distintamente per ciascun carattere otteniamo le due seguenti distribuzioni di frequenza che sono riportate aancate nella tabella di seguito Classi Totale 21 21

2 STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione II Esercizio A. 1. Classi di età n i N i f i F i n i N i f i F i ,0077 0, ,0000 0, ,0903 0, ,0094 0, ,1589 0, ,1116 0, ,1697 0, ,1821 0, ,3104 0, ,3128 0, ,2014 0, ,2639 0, ,0547 0, ,0986 0, e oltre ,0069 1, ,0216 1, Funzione di ripartizione età 3. La distribuzione del numero degli occupati per classi di età risulta essere statisticamente superiore per coloro in possesso di una Laurea, Dipl. universitario o Corso post-laurea rispetto a quelli in possesso di un titolo di studio di scuola media superiore. 4. Si può vedere dalla tabella riportata sopra che F (X 34) = 0, Gracamente tale valore è rappresentato dall'ordinata della curva che esprime la funzione di ripartizione in corrispondenza del valore in ascissa pari a 34, Analogamente per i possessori di titolo di Diploma di scuola media sup. si ha F (X 34) = 0, Dal confronto dei due valori si evince che la proporzione di occupati all'età di 34 anni (rispetto al totale degli occupati con il medesimo titolo di studio) è maggiore tra i diplomati rispetto ai laureati. 5. La distribuzione degli occupati con almeno un Diploma di scuola media superiore è data dal totale per colonna della tabella contenuta nel testo dell'esercizio. I valori sono: 68, 827, 1719, 2011, 3621, 2519, 759, 121, per un totale di occupati. Sotto l'ipotesi di uniforme distribuzione all'interno delle classi, la quota di occupati con almeno 40 anni di età è pari a: ( )/11645 = 0, 447. Esercizio B. 1. Classi n i N i f i F i % d i h i ,5556 0, ,56 5 0, ,2778 0, ,78 5 0, ,1667 1, ,67 5 0, Sulla base della distribuzione in classi, la frequenza assoluta delle persone con anzianità di servizio compresa tra i 3 ed i 12 anni, estremi inclusi, è pari a: ( ) = 12, 2. La frequenza osservata in base ai dati disaggregati è pari a 13, quindi il calcolo basato sull'ipotesi di uniforme distribuzione all'interno delle classi fornisce un valore molto vicino al valore reale. 3. La funzione di ripartizione si ottiene come nell'esercizio A.2, unendo con dei seguementi i punti di coordinate: (1;0) (6;0,5556) (11;0,8333) (15;1). Assumendo l'uniforme distribuzione all'interno delle classi, il valore della funzione di ripartizione in X = 8 è dato da: F (8) = 0, , 0556 (8 5) = 0, Sesso Classi di anzianità F M Esercizio C. 1. I dati forniti costituiscono una serie di numeri indici a base ssa del tipo b I t = a t /a b. Un numero indice a base mobile, invece, è denito come i t = a t /a t 1. Quindi: i t = a t = a t a b = a t 1 a b a t 1 Quindi, il n.i. a base mobile per il 1999 è pari a 0, 97/0, 974 = 0, La serie completa è la seguente: b I t bi t 1 Anno i t ,59 103,09 99,20 97,98 2. La serie delle variazioni percentuali si ottiene semplicemente come (i t 1) 100. Quindi: Anno Var % - -0,41 3,09-0,80-2,02

3 3. La serie a base ssa richiesta è del tipo 98I t = a t a 98 = a t a b a b a 98 = b I t bi 98 Quindi, il n.i. a base ssa 1998 = 100 per il 2001 è pari a 0, 992/0, 974 = 1, La serie completa è la seguente: Anno I t ,00 99,59 102,67 101,85 99,79 Esercizio D. Si noti che la variazione relativa al tempo t è denita come v t = a t /a t 1 1 = i t 1, da cui i t = v t + 1. La serie dei n.i. a base mobile è pertanto: 1, , , , Ora, moltiplicando i n.i. a base mobile ottenuti si ha: a 2004 a 2003 a 2002 a 2001 = a 2004 = 1, 1133 a 2003 a 2002 a 2001 a 2000 a 2000 Sapendo che a 2004 = 1, 80 euro si ottiene a 2000 = 1, 80/1, 1133 = 1, 6168, il costo in euro di una colazione nel 2000.

4 STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione 3 Esercizio A. a) Considerando come prima classe la classe e come ultima classe la classe 75 85, l'età media del collettivo è µ = 1 7 n i=1 x in i = 95184/2447 = 38, 898. c i 1 c i x i n i x i n i N i F i Ampiezza d i Densità H i = n i /d i , , , , , , , , , , , , , , , b) La classe mediana è la classe 35 45; sotto l'ipotesi di uniforme distribuzione delle unità nelle classi, l'età mediana del collettivo è pari a: c) Istogramma della distribuzione dell'età: oppure m = c h 1 + 0, 5 F h 1 (c h c h 1 ) F h F h 1 = 0, 5 0, (45 35) 0, , = 35, 308 m = c h 1 + N/2 N h 1 N h N h 1 (c h c h 1 ) 2447/ = 35 + (45 35) = 35, 308 H i Classi d età Esercizio B. a) Si noti che la variazione relativa al tempo t è denita come v t = a t /a t 1 1 = i t 1, da cui i t = v t + 1. La serie dei n.i. a base mobile è riportata al punto b). Moltiplicando i n.i. a base mobile ottenuti: a 2004 a 2003 a 2003 a 2002 a 2002 a 2001 a 2001 a 2000 = a 2004 a 2000 = 1, 017 1, 066 1, 104 1, 152 = 1, Sapendo che a 2004 = euro, il costo di un immbile nel 2004, si ottiene a 2000 = /1, = 72527, 1, il corrispondente costo in euro nel Un secondo modo per risolvere l'esercizio si ottiene notando che quindi a t v t + 1 = a t a t = = a t 1 i t a t /a t 1 a 2003 = a 2004 v = , = 86805, 6 a 2002 = a 2003 v = 86805, 6 0, = 78628, 2 a 2001 = a 2002 v = 78628, 2 0, = 73760, 0 a 2000 = a 2001 v = 73760, 0 0, = 72527, 1 b) La serie degli indici a base mobile si ottiene dividendo le variazioni percentuali per cento ed aggiungendo 1: c) La media aritmetica dei 4 numeri indice è Anno i t 1,017 1,066 1,104 1,152 µ = d) La media geometrica dei 4 numeri indice è 1, , , , = 1, 0848 γ = 4 1, 017 1, 066 1, 104 1, 152 = 1, 0836

5 e) Si ottiene: i t a 2004 = a 2003 = a 2004 i 2004 = , 152 = 86805, 5 a 2002 = a 2003 i 2003 = 86805, 5 1, 104 = 78628, 2 a 2001 = a 2002 i 2002 = 78628, 2 1, 066 = 73760, 1 a 2000 = a 2001 i 2001 = 73760, 1 1, 017 = 72527, 1 f) È più opportuno utilizzare la media geometrica. µ a 2004 = a 2003 = a 2004 µ = , 0848 = 92187, 1 a 2002 = a 2003 µ = 92187, 1 1, 0848 = 84984, 7 a 2001 = a 2002 µ = 84984, 7 1, 0848 = 78345, 0 a 2000 = a 2001 µ = 78345, 0 1, 0848 = 72224, 0 γ a 2004 = a 2003 = a 2004 γ a 2002 = a 2003 γ a 2001 = a 2002 γ a 2000 = a 2001 γ = , 0836 = 92283, 7 = 92283, 7 1, 0836 = 85162, 8 = 85162, 8 1, 0836 = 78591, 4 = 78591, 4 1, 0836 = 72527, 1 Esercizio C. c i 1 c i n i X i µ i x i µ i x i µ i x i /x i x i n i 0,5 1, ,5 2, ,5 5, , , , ,5 9, ,1257 7,5 0, , ,5 15, ,011 12,5 0, , ,5 19, ,352 17,5 0, , ,5 49, ,541 34,5 5,9586 0, ,5 1000, , ,19 0, a) la classe in cui la distribuzione eettiva si discosta maggiormente dall'uniforme distribuzione è l'ultima. Il numero medio di addetti nell'ultima classe è decisamente inferiore a quello che si avrebbe nel caso di uniforme distribuzione, quindi le imprese sono decisamente concentrate verso l'estremo inferiore della classe. La stessa osservazione è valida anche per le altre classi, ad eccezione della prima e della seconda per ovvi motivi; b) µ = 8 i=1 X i/n = /42858 = 3, 327; c) µ = 8 i=1 x in i /n = /42858 = 4, 355. Esercizio D. L'indice dei prezzi di Laspayres si ottiene dividendo per 100 il totale della penultima colonna ed è quindi pari a 113, 12/100 = 1, 1312, corrispondente ad un aumento medio del 13,12%. L'indice dei prezzi di Paasche si ottiene dividendo 100 per il totale dell'ultima colonna ed è quindi pari a 100/88, 837 = 1, 1257, corrispondente ad un aumento medio del 12,57%. L'indice di Laspayres risulta maggiore dell'indice di Pasche, come previsto dalla teoria. 2000I 2003 w 1 (Spesa 2000 %) w 2 (Spesa 2003 %) 2000I 2003 ω 1 ω 2 / 2000 I ,12 18,605 14,815 20,837 13,228 1,07 12,791 17,284 13,686 16,153 1,18 13,953 12,346 16,465 10,462 1,2 18,605 17,284 22,326 14,403 1,13 12,791 16,049 14,453 14,203 1,09 23,256 22,222 25,349 20,387 Totale ,12 88,837

6 Esercizio A. STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione 4 Alcune quantità utilizzate nella soluzione dell'esercizio sono riportate nella seguente tabella: x i y i x i m (x i µ) 2 4,36 4,26 0,02 0, ,40 4,33 0,06 0, ,37 4,34 0,03 0, ,34 4,34 0,00 0, ,34 4,34 0,00 0, ,26 4,36 0,08 0, ,34 4,37 0,00 0, ,33 4,40 0,01 0, Totali 34,74 34,74 0,20 0, a) Indicando con y i la i-esima osservazione ordinata in senso non decrescente, e con N = 8 il numero delle unità, si ha: b) m = q 2 = (y N/2 + y N/2+1 )/2 = (y 4 + y 5 )/2 = (4, , 34)/2 = 4, 34 q 1 = (y N/4 + y N/4+1 )/2 = (y 2 + y 3 )/2 = (4, , 34)/2 = 4, 335 q 3 = (y N3/4 + y N3/4+1 )/2 = (y 6 + y 7 )/2 = (4, , 37)/2 = 4, 365 q = q 3 q 1 = 4, 365 4, 335 = 0, 025 N 1 i=1 S m = x i m N N σ 2 i=1 = (x i µ) 2 = N dove µ = 34, 74/8 = 4, 3425; quindi σ = 0, N N i=1 j=1 = x i x j = N(N 1) Esercizio B. = 0, 2 8 0, = 0, 025 = 0, , 36 4, 4 + 4, 36 4, , 36 4, , 33 4, , 33 4, 34 8(8 1) Settori Addetti PG (x i µ) 2 Addetti TR (x i µ) 2 Primario ,78 Secondario ,44 Terziario ,44 Totali ,67 = 0, µ P G = /3 = σ P G = /3 = 25395, 89 CV P G = 25395, 89/ = 45% µ T R = 38840/3 = 12946, 67 σ T R = , 67/3 = 2350, 869 CV T R = 2350, 869/12946, = 18, 16% Esercizio C. a) Alcune quantità utilizzate nella soluzione dell'esercizio sono riportate nella seguente tabella: Classi n i X i µ i µ i m n i (µ i µ) 2 n i µ i+1 µ i N i N N i Π , ,23 1, , ,28 1, , ,85 3, , ,99 4, , ,26 5, , ,85 11, , ,66 185, , ,77 0, Totali , ,89 212, classe mediana: 1 m = 1 classe q 1 : 1 q 1 = 1 classe q 3 : 2, 5 5, 5 q 3 = c h 1 + 3n/4 N h 1 (c h c h 1 ) = 2, 5 + n h q = 2, = 1, 7845 classe d 1 : 1 d 1 = 1 classe d 9 : 5, 5 9, 5 d 9 = c h 1 + 9n/10 N h 1 n h (c h c h 1 ) = 5, , (5, 5 2, 5) = 2, , (9, 5 5, 5) = 5,

7 1 0.9 mediana quartili decili funzione di ripartizione classi di addetti b) Ricordando che µ = /42858 = 3, 3274 e m = 1, allora: c) 1 S m = = 2, 3274; σ = = 11, 74422; = /(42858( )) = 3, Classi n i P i Q i P i Q i P i 1 Q i 1 f i Π ,5280 0,1587 0,3693 0,0000 0,5280 0, ,7346 0,2829 0,4517 0,3693 0,2066 0, ,8969 0,4605 0,4364 0,4517 0,1623 0, ,9502 0,5746 0,3756 0,4364 0,0533 0, ,9760 0,6677 0,3083 0,3756 0,0258 0, ,9840 0,7096 0,2744 0,3083 0,0080 0, ,9972 0,8231 0,1742 0,2744 0,0132 0, ,0000 1,0000 0,0000 0,1742 0,0028 0,0005 Totale ,0000 0,5807 S = 0, 5 0, 5807 = 0, 2904; max S = 0, 5 R = 2 0, 2904 = 0, 5808; G = (42858/( ))0, 5808 = 0, 5808 d) In assenza dell'ammontare di addetti per classe si sarebbero dovute calcolare le quantità Q i a partire dai valori centrali di classe, cioè: Classi n i P i Q i P i Q i P i 1 Q i 1 f i Π ,5280 0,1212 0,4068 0,0000 0,5280 0, ,7346 0,2161 0,5185 0,4068 0,2066 0, ,8969 0,3652 0,5317 0,5185 0,1623 0, ,9502 0,4570 0,4932 0,5317 0,0533 0, ,9760 0,5310 0,4450 0,4932 0,0258 0, ,9840 0,5633 0,4207 0,4450 0,0080 0, ,9972 0,6681 0,3292 0,4207 0,0132 0, ,0000 1,0000 0,0000 0,3292 0,0028 0,0009 Totale ,0000 0,6730 S = 0, 5 0, 673 = 0, 3365; max S = 0, 5 R = 2 0, 3365 = 0, 673; G = (42858/( ))0, 673 = 0, 673

8 Esercizio D. Pop.Resid. P i Q i P i Q i Massa-Carrara ,1000 0,0565 0,0435 Grosseto ,2000 0,1169 0,0831 Prato ,3000 0,1820 0,1180 Siena ,4000 0,2541 0,1459 Pistoia ,5000 0,3309 0,1691 Arezzo ,6000 0,4233 0,1767 Livorno ,7000 0,5167 0,1833 Lucca ,8000 0,6231 0,1769 Pisa ,9000 0,7330 0,1670 Firenze ,0000 1,0000 0,0000 Totale ,2635 S = 1, 2635/10 = 0, 1264; max S = 0, 5(10 1)/10 = 0, 45; G = 2/(10 1)1, 2635 = 0, 2808; R = ((10 1)/10)0, 2808 = 0, Curva di Concentrazione (Esercizio C) Curva di Concentrazione (Esercizio D) Q i Q i P i P i

9 STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione V Esercizio A. 1. x i y i (x i x) 2 (y i y) 2 (x i x)(y i y) , ,96-552, , , , , ,76-0, , , , , , ,80 Totale , , ,00 x = 0/5 = 0; y = /5 = , 62; D X = 10; D Y = , 20; C XY = I valori dei coecienti della retta di regressione y = β 0 + β 1 x ottenuti con il metodo dei minimi quadrati sono: ˆβ 1 = 8257/10 = 825, 7; ˆβ0 = , , 7 0 = , 62. R 2 = /( , 20) = 0, 055 il quale indica una scarsa bontà di adattamento della retta di regressione alla nuvola dei punti. 2. Il diagramma di dispersione con la retta di regressione del punto precedente è riportata nel graco in Figura x i z i = x 2 i y i (z i z) 2 (y i y) 2 (z i z)(y i y) , ,96 552, , , , , , , , , , , , ,80 Totale , , ,00 z = 10/5 = 2; y = /5 = , 62; D Z = 14; D Y = , 20; C XY = I valori dei coecienti della funzione interpolatrice y = β 0 + β 1 x 2 ottenuti con il metodo dei minimi quadrati sono: ˆβ 1 = 25627/14 = 1830, 5; ˆβ0 = , , 5 2 = , 6. R 2 = /( , 20) = 0, 379 il quale indica una mediocre bontà di adattamento, seppure migliore della precedente retta di regressione. La devianza non spiegata dalla retta di regressione si può calcolare come segue: D RL = (1 R 2 )D Y = (1 0, 379) , 20 = La funzione interpolatrice è riportata nel graco in Figura 1 (linea tratteggiata). Tale funzione quadratica risulta migliore della precedente retta di regressione in quanto il suo andamento riesce ad evidenziare la forte diminuzione osservata nell'anno Il valore teorico per l'anno 2004 è dato per le due funzioni (lineare e quadratica) rispettivamente da: y 2004 = , , 7( ) = , 1 y 2004 = , , 5( ) 2 = , 1 Il valore teorico fornito dalla funzione interpolatrice quadratica risulta molto più elevato del corrispondente valore fornito dalla retta di regressione. Trattandosi di estrapolazione, entrambi i valori devono essere valutati con cautela, in particolare il valore derivante dalla funzione quadratica.

10 y Figura x Esercizio B. 1. x i y i (x i x) 2 (y i y) 2 (x i x)(y i y) , , , , , , , , , , ,96 339, , , , , , , , ,76 123, , , , , , , , , ,92 Totale , , ,80 x = 488/10 = 48, 8; y = 17914/10 = 1791, 4; D X = 1177, 6; D Y = , 4; C XY = 30746, 8. I valori dei coecienti della retta di regressione y = β 0 + β 1 x ottenuti con il metodo dei minimi quadrati sono: ˆβ 1 = 30746, 8/1177, 6 = 26, 11; ˆβ0 = 1791, 4 26, 11 48, 8 = 517, 23. R 2 = 30746, 8 2 /(1177, , 4) = 0, Il reddito di un titolare di carta di credito secondo la retta di regressione calcolata al punto precedente è: y (x=50) = 517, , = 1822, 73 Esercizio C. Voto di maturità y j 65 80,50 95,50 n i0 y i Maschi ,03 Femmine ,49 n 0j Dalla precedete tabella si ottiene: y = 84, 94; D Y = 27871, 61; D S = 1270, 69. Quindi, l'indice di dipendenza in media è pari a: η 2 = D S D Y = 0, 0456 Il voto di maturità risulta solo lievemente dipendente dal sesso, come si può anche vedere dal confronto fra le medie del voto di maturità nei maschi e nelle femmine.

11 Esercizio A. STATISTICA (I modulo - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione VI 1. I proli riga percentuali e la distribuzione marginale percentuale marginale sono riportati nella seguente tabella: Occupato stabilmente Occupato precariamente Disoccupato Totale Nord-Ovest 71,06 23,94 5,00 100,00 Nord-Est 61,15 35,38 3,47 100,00 Centro 49,06 43,97 6,97 100,00 Sud 27,41 30,30 42,29 100,00 Distr. marginale 52,71 32,79 14,50 100,00 2. La tabella teorica di perfetta indipendenza si ottiene calcolando ciascuna frequenza di celle come n ij = n i0 n 0j /n, il cui risultato è: Occupato stabilmente Occupato precariamente Disoccupato Totale Nord-Ovest 12473, , , ,00 Nord-Est 10917, , , ,00 Centro 9864, , , ,00 Sud 11265, , , ,00 Totale 44520, , , ,00 Una possibile tabella teorica di massima dipendenza (ottenuta mantenendo ssa la marginale di X) è la seguente: Occupato stabilmente Occupato precariamente Disoccupato Totale Nord-Ovest Nord-Est Centro Sud Totale L'indice di dipendenza χ 2 si può calcolare come segue: n 2 ij χ 2 = n 1 = ( /( ) /( ) + n i,j i0 n 0j /( ) 1) = 21121, 52 L'indice relativo di dipendenza è dato da χ C = 2 n(min(r, s) 1) = 21121, 52 = 0, (3 1) che mostra una certa dipendenza. Può essere interessante confrontare tale valore con quello che si otterrebbe sulla tabella di massima dipendenza mostrata sopra, che è pari a 0, Esercizio B. Alcune quantità utilizzate nella soluzione dell'esercizio sono riportate nelle seguenti tabelle: Investimenti n i0 d H X i x i y i x i Y (i) = x i y i n i0 x 2 i n i0 no a ,00 1,200 0,092 12,225 14,670 0, ,25 12,127 1,347 16, ,132 16, ,20 38,976 6,496 66, , , e più ,05 68,821 34, , , ,165 Totale , , ,804 Fatturato n 0j d H Y j y j yj 2n 0j no a ,80 61,507 7, , ,87 288,175 22, , ,24 299,916 49, , e più , , , ,671 Totale , ,225

12 1. e 2. Figura 1 Figura 2 H i H i Investimenti Fatturato 3. La media della Y è pari a y = Y j / n 0j = 360, 8695, mentre le medie condizionate y i = Y (i) /n i0 sono riportate nella prima tabella mostrata sopra. Quindi, D S = (y i y) 2 n i0 = Inoltre, sapendo che D y = si ottiene l'indice di dipendenza in media η 2 = / = 0, La linea di regressione è riportata nella Figura 3 (linea tratteggiata). 4. La media della X è pari a x = X i / n i0 = 4, 0375, mentre i valori medi di classe x i = X i /n i0 sono riportati nella prima tabella mostrata sopra. Quindi, D x = x 2 i n i0 nx 2 = 2148, 770 e C xy = x i Y (i) nx y = I coecienti della retta di regressione sono: β 1 = C xy /D x = 142, 922; β 0 = y β 1 x = 216, La bontà di adattamento della retta di regressione è pari a: R 2 = C 2 xy/(d x D y ) = /(2148, ) = Come ci si attendeva η 2 R La retta di regressione è riportata nella Figura 3 (linea continua). Figura 3 Fatturato Investimenti