STATISTICA: esercizi svolti sulla MEDIA ARITMETICA

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1 STATISTICA: esercizi svolti sulla MEDIA ARITMETICA 1

2 1 MEDIA ARITMETICA 2 1 MEDIA ARITMETICA 1. La seguente tabella riporta il numero di persone divise per sesso che si sono presentate durante l anno 1997 presso un laboratorio d analisi mediche per rilevare il livello di colesterolemia nel sangue. Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic maschi femmine Si calcoli la media mensile dei pazienti maschi e dei pazienti femmine che si sono presentati al laboratorio. Il numero totale di pazienti maschi presentatisi nel 1997 per la rilevazione del livello di colesterolemia è dato da: = La media mensile del numero di maschi presentatisi al laboratorio per l esame in questione è quindi data da: M 1 (maschi) = = In media, nell anno 1997, si sono presentati al laboratorio, per la rilevazione del livello di colesterolemia, pazienti maschi ogni mese. Più precisamente indica il numero ipotetico di pazienti maschi che si sarebbero presentati al laboratorio in un mese, nell ipotesi in cui il numero di pazienti maschi fosse stato uguale per tutti i mesi. Il numero totale di pazienti di sesso femminile presentatisi nel 1997 per la rilevazione del livello di colesterolemia è dato da: = La media mensile del numero di femmine presentatisi al laboratorio per l esame in questione è quindi data da: M 1 (femmine) = = In media, nell anno 1997, si sono presentati al laboratorio, per la rilevazione del livello di colesterolemia, pazienti femmine ogni mese. Più precisamente indica il numero ipotetico di pazienti di sesso femminile che si sarebbero presentati al laboratorio in un mese, nell ipotesi in cui il numero di pazienti di sesso femminile fosse stato uguale per tutti i mesi. Dal confronto tra le due medie osserviamo che, relativamente alla rilevazione del livello di colesterolemia, nel 1997, mediamente presso il laboratorio d analisi si sono presentati ogni mese più maschi che femmine.

3 1 MEDIA ARITMETICA 3 2. Le temperature della neve in gradi Celsius di una nota località sciistica nel mese di gennaio sono state le seguenti: t j g j dove t j è la temperatura rilevata in gradi Celsius e g j è il numero di giorni in cui si è registrata la temperatura t j. Si calcoli la temperatura media: in gradi Celsius, in gradi assoluti dove T ass = T Celsius e in gradi Fahrenheit, dove T F ahr = T Celsius. La seguente tabella riporta alcuni conti che ci saranno utili per lo svolgimento dell esercizio. t j g j t j g j tot La temperatura media in gradi Celsius è data da: M 1 (T Celsius ) = 6 j=1 t j g j 6 j=1 g j = = Nel periodo di osservazione, la temperatura media della neve nella nota località sciistica è stata pari C. Più precisamente, C indica la temperatura che si sarebbe dovuta osservare nell intero mese di gennaio nel caso in cui si fosse avuta la stessa temperatura in ogni giorno. Si osservi che le relazioni che ci permettono di passare dalle temperature in gradi Celsius a quelle in gradi Fahrenheit e assoluti, sono lineari. In forza della proprietà di linearità della media aritmetica 1 le medie ricercate risultano: M 1 (T F ahrenheit ) = M 1 (T Celsius ) = ( 1.903) = Nel periodo di osservazione, la temperatura media della neve nella nota località sciistica è stata pari a gradi Fahrenheit. Più precisamente, indica la temperatura in gradi Fahrenheit che si sarebbe dovuta osservare nell intero mese di 1 Zenga M., Lezioni di statistica descrittiva, pag. 122 (Quarta proprietà di M 1 ).

4 1 MEDIA ARITMETICA 4 gennaio nel caso in cui si fosse avuta la stessa temperatura in ogni giorno. M 1 (T assoluti ) = M 1 (T Celsius ) = ( 1.903) = Nel periodo di osservazione, la temperatura media della neve nella nota località sciistica è stata pari a gradi assoluti. Più precisamente, indica la temperatura in gradi assoluti che si sarebbe dovuta osservare nell intero mese di gennaio nel caso in cui si fosse avuta la stessa temperatura in ogni giorno. 3. La distribuzione del reddito annuo in euro dei 1000 abitanti di un comune è la seguente: classi di reddito redditieri Si calcoli il reddito medio degli abitanti del comune. Si tratta di calcolare la media aritmetica per una distribuzione di frequenza con dati raggruppati in classi. In questo caso la media aritmetica viene calcolata ipotizzando che la frequenza di ogni classe si concentri nel valore centrale della classe stessa. classi di reddito redditieri (n j ) Val. Centrale (x j ) n j x j tot Il reddito medio è dato da: M 1 = x j n j = = Gli abitanti del comune in considerazione percepiscono in media un reddito annuo pari a Più precisamente, indica il reddito che spetterebbe a ciscuno dei residenti nel comune in considerazione nell ipotesi in cui il reddito totale di tutti i residenti nel comune fosse ripartito in parti uguali, ossia nell ipotesi in cui ciascun residente avesse lo stesso reddito. j=1

5 1 MEDIA ARITMETICA 5 4. Le 500 imprese di un settore sono state classificate in base al numero di addetti come segue: classi di addetti n. aziende n. addetti per classe Calcolare il numero medio di addetti del settore, sia ricorrendo all informazione fornita dalla terza riga della tabella, sia non ricorrendovi. Supponiamo dapprima di essere in possesso dell informazione fornita dalla terza riga della tabella. In tal caso possiamo risalire al numero complessivo di addetti all interno del settore industriale allo studio: = Alla luce di ciò, il numero medio di addetti per azienda impegnata nel settore risulta pari a: M 1 = = M 1 = indica il numero di addetti che sarebbero impiegati in ciascuna azienda nell ipotesi in cui il numero totale di addetti venisse ripartito in parti uguali tra tutte le aziende del settore in considerazione, ossia nell ipotesi in cui ciascuna azienda abbia lo stesso numero di addetti. In alternativa, saremmo potuti giungere al medesimo risultato calcolando in primo luogo le medie del numero di addetti nelle aziende appartenenti a ciascuna delle classi considerate ed in secondo luogo sfruttando la proprietà associativa 2 della media aritmetica. A tal fine costruiamo la seguente tabella: classi n j totale addetti Numero medio di per classe(x j n j ) addetti per azienda (x j ) Nella tabella sopra riportata, ad esempio, M 1 (1) = 7 ci indica che, in media, all interno delle 25 aziende con un numero di addetti tra 1 e 9, si hanno 7 addetti. Più precisamente, 7 indica il numero di addetti che sarebbero impiegati all interno delle aziende appartenenti alla classe 1 9, nell ipotesi in cui il numero totale di addetti relativi a questa categoria di imprese fosse ripartito in parti uguali tra le imprese 2 Zenga M., Lezioni di statistica descrittiva, pag. 120 (Terza proprietà di M 1 ).

6 1 MEDIA ARITMETICA 6 stesse, ossia nell ipotesi in cui tutte le aziende appartenenti alla categoria in considerazione avessero lo stesso numero di addetti. Analogamente, M 1 (4) = 121 ci indica che mediamente, le 168 aziende aventi un numero di addetti compreso tra 50 e 199, hanno 121 addetti. Più precisamente, 121 indica il numero di addetti che sarebbero impiegati all interno delle aziende con un numero di addetti tra 50 e 199, nell ipotesi in cui il numero totale di addetti relativi a questa categoria di imprese fosse ripartito in parti uguali tra le imprese stesse, ossia nell ipotesi in cui tutte le aziende appartenenti alla categoria in considerazione avessero lo stesso numero di addetti. In forza della proprietà associativa della media aritmetica abbiamo che: (7 25) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) M 1 = 500 = = che coincide con quanto ricavato in precedenza. Si osservi che le medie aritmetiche di ogni classe, x j, possono costituire un valore rappresentativo delle classi, come avviene per i valori centrali (utilizzati ad esempio nell esercizio precedente e utili nei contesti in cui non si dispone di ulteriori informazioni sulle classi). Come sopra precisato, se si suppone di non disporre dell informazione fornita dalla terza riga della tabella riportata dal testo dell esercizio, dobbiamo calcolare la media aritmetica per una distribuzione di frequenza con dati raggruppati in classi utilizzando i valori centrali delle classi stesse. In questo caso ipotizziamo cioè che le aziende appartenenti alla medesima classe abbiano un ugual numero di addetti, pari al valore centrale della classe. E dunque necessario calcolare tali valori centrali e a tal fine scegliamo di chiudere l ultima classe con il valore classi n j Val. centrale di classe A questo punto la media artmetica risulta essere data da: (5 25) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (750 11) M 1 = 500 = = Si osservi che l ipotesi che le aziende di ogni classe abbiano un ugual numero di addetti, pari al valore centrale della classe a cui appartengono, ci ha portato ad individuare un numero teorico complessivo di addetti pari a 54448, tale valore non coincide con il totale effettivo Ignorando l informazione contenuta nella terza riga della

7 1 MEDIA ARITMETICA 7 tabella del testo dell esercizio, concludiamo che, mediamente, il numero di addetti per azienda risulta pari a Più precisamente indica il numero di addetti che sarebbero impiegati in ogni azienda nell ipotesi in cui il numero teorico complessivo di addetti venisse ripartito in parti uguali tra tutte le 500 aziende del settore in considerazione, ossia nell ipotesi in cui tutte le aziende del settore in considerazione avessero lo stesso numero di addetti. 5. Le medie aritmetiche dei voti riportati agli esami di maturità (in sessantesimi) in quattro classi di un istituto superiore sono le seguenti sezioni A B C D Totale voto medio n. studenti Si determini la media aritmetica dei voti di maturità per l intero istituto. Sfruttando la proprietà associativa delle media aritmetica, la media dei voti di maturità per l intero istituto risulta essere: (54 30) + (46 27) + (40 20) + (52 18) M 1 = 95 = = 48.4 Mediamente, il voto di maturità degli studenti dell istituto in considerazione è pari a 48.4 sessantesimi. Se tutti i 95 studenti avessero meritato lo stesso voto, dunque, ciascuno avrebbe idealmente un voto pari a 48.4 sessantesimi. 6. La seguente tabella riporta la distribuzione del numero di alberghi delle due località turistiche A e B di un comprensorio, secondo le classi di fatturato annuale X (in milioni di Euro): classi di fatturato fino a N.ro di alberghi in A (n A j ) N.ro di alberghi in B (n B j ) Si calcoli il fatturato medio degli alberghi dell intero comprensorio. Si verifichi che per tale media vale la proprietà associativa, relativamente alle due località A e B. Dobbiamo calcolare la media aritmetica per una distribuzione di frequenze con dati raggruppati in classi. Al fine dello svolgimento dell esercizio, sembra ragionevole

8 1 MEDIA ARITMETICA 8 chiudere la prima classe con il valore 0. Nella seguente tabella riportiamo dei calcoli che ci saranno utili in seguito. Classi n A j n B j Val. Centr. n j = ( ) n A j + n B j di fatturato x c j x c j n j x c j na j x c j nb j tot Il fatturato medio aritmetico degli alberghi dell intero comprensorio è dato da: M 1 = = Il valore indica il fatturato di ogni albergo del comprensorio nell ipotesi in cui il fatturato di tutti gli alberghi venga ripartito in parti uguali tra gli alberghi. Il fatturato medio aritmetico degli alberghi della località turistica A è dato da: M A 1 = = Il valore indica il fatturato di ogni albergo della località A nell ipotesi in cui il fatturato di tutti gli alberghi della località A venga ripartito in parti uguali tra quelli della località stessa. Il fatturato medio artmetico degli alberghi del della località turistica B è dato da: M B 1 = = Il valore indica il fatturato di ogni albergo della località B nell ipotesi in cui il fatturato di tutti gli alberghi della località B venga ripartito in parti uguali tra quelli della località stessa. Verifichiamo ora la proprietà associativa della media aritmetica la quale ci assicura che il fatturato medio aritmetico degli alberghi dell intero comprensorio è calcolabile come media aritmetica ponderata dei fattuati medi aritmetici degli alberghi delle località A e B con pesi pari alla numerosità degli alberghi nelle due località. In formule: ( ) + ( ) M 1 = = che coincide esattamente con il valore ricavato in precedenza. 7. Un carattere quantitativo X è stato rilevato sulle unità di una popolazione. La più piccola modalità osservata è x (1) = 3, la più elevata modalità è x (n) = 30. Si risponda, con opportune motivazioni, alle seguenti domande:

9 1 MEDIA ARITMETICA 9 a) è possibile che M 1 (X) = 2.5? b) Se Y è un altro carattere quantitativo legato ad X dalla relazione Y = X quale tra le seguenti medie aritmetiche: 10, 100, 152, si ritiene che sia possibile per Y? punto a) Per la proprietà di internalità della media artimentica abbiamo che x (1) M 1 x (n). Nel nostro caso si dovrebbe avere che 3 M X 1 30 (1) e di conseguenza M 1 non può assumere il valore 2.5. punto b) In forza della proprietà di linearità della media aritmetica abbiamo che M Y 1 = M X 1 e di conseguenza Riscrivendo la (1) sostituendo a M X 1 M1 X = M 1 Y l espressione appena ricavata abbiamo: 3 M Y Isolando M1 Y nell espressione appena riportata, otteniamo che la media del carattere Y deve soddifare le seguenti disuguaglianze: (3 5) M Y 1 (30 5) M Y Grazie alle disuguaglianze sopra riportate concludiamo che tra i valori 10, 100, 152, l unico possibile per M Y 1 è 100.