La dipendenza. Antonello Maruotti

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1 La dipendenza Antonello Maruotti

2 Outline 1 Distribuzioni doppie 2 Medie e varianze condizionate 3 Indici di associazione

3 Distribuzione doppia Definizione Una distribuzione doppia si ha quando su di uno stesso collettivo rileviamo due caratteri contemporaneamente. Distribuzione doppia unitaria. Tabella doppia di frequenze.

4 Distribuzione doppia unitaria Unità Sesso Occupato 1 M Sì 2 F Sì 3 M No 4 F No 5 M Sì 6 M Sì 7 M Sì 8 F No 9 M Sì 10 F No

5 Tabella doppia di frequenze Occupato Sì No Totale Sesso M F Totale

6 Distribuzioni marginali (colonna) Occupato Sì No Totale Sesso M F Totale

7 Distribuzioni marginali (riga) Occupato Sì No Totale Sesso M F Totale

8 Distribuzioni condizionate (colonna) Occupato Sì No Totale Sesso M F Totale

9 Distribuzioni condizionate (riga) Occupato Sì No Totale Sesso M F Totale

10 Tabella doppia di frequenze: schema X Y y 1 y j y J x 1 n 11 n 1j n 1J n 1. x i n i1 n ij n ij n i. x I n I1 n Ij n IJ n I. n.1 n.j n.j n..

11 Tabella doppia di frequenze: Riepilogo n i. = n.j = I n.. = J n ij, j=1 I n ij, i=1 i = 1,..., I j = 1,..., J J J I n ij = n.j = n i. i=1 j=1 j=1 i=1

12 Medie e varianze condizionate Quando uno dei due carattere (ad esempio Y ) è quantitativo, è possibile calcolare la media aritmetica e la varianza condizionata. Per l i-esima modalità di X (x i ), la media condizionata di Y è data da µ Y X=xi = 1 J y j n ij n i. j=1 E possibile ricavare anche la varianza condizionata, che esprime la variabilità intorno alla propria media delle unità della distribuzione condizionata σ 2 Y X=x i = 1 n i. J (y j µ y X=xi ) 2 n ij j=1

13 Medie e varianze condizionate: proprietà La media aritmetica delle medie condizionate di Y dato X è uguale alla media della distribuzione marginale di Y µ Y = 1 I J y j n ij = 1 I µ n.. n Y X=xi n i... i=1 j=1 La variabilità di un carattere Y rispetto ad un carattere X può essere scomposta i=1 σ 2 Y = σ 2 Y,W + σ 2 Y,B σ 2 Y,W = 1 n.. σ 2 Y,B = 1 n.. I σy 2 X=x i n i. i=1 I (µ Y X=xi µ y ) 2 n i. i=1

14 Definizione Indipendenza Due caratteri sono detti indipendenti se le distribuzioni di uno condizionate alle modalità dell altro hanno le stesse frequenze relative o percentuali Osservazioni: in tutti gli altri casi i due caratteri saranno detti dipendenti. Due caratteri sono indipendenti se e solo se la generica frequenza assoluta corrispondente alla i-esima modalità di X e alla j-esima di Y è uguale a n ij = n i. n.j n.. Le frequenze di indipendenza saranno indicate con ˆn ij

15 Massima dipendenza Definizione Due caratteri sono massimamente dipendenti quando le distribuzioni di uno condizionate alle modalità dell altro sono massimamente diverse. In altre parole, Y dipende perfettamente da X se conoscendo le modalità di X posso predire con certezza le modalità di Y Osservazioni: la dipendenza perfetta implica che in una tabella doppia per ogni i c è un solo j per il quale n ij 0. Tra due caratteri sussite interdipendenza perfetta se ad ogni modalità di uno dei deu caratteri corrisponde una ed una sola modalità dell altro carattere e viceversa.

16 Misure di dipendenza Chi-quadrato I J χ 2 (n ij ˆn ij ) 2 = i=1 j=1 Contingenza quadratica media ˆn ij V di Cramer Φ 2 = χ2 n Φ 2 min[(i 1), (J 1)]