Associazione tra caratteri quantitativi: gli indici di correlazione

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1 Associazione tra caratteri quantitativi: gli indici di correlazione Per correlazione si intende una relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima variabile corrisponda con una certa regolarità un valore della seconda. Non si tratta necessariamente di un rapporto di causa ed effetto ma semplicemente della tendenza di una variabile a variare in funzione di un'altra. La correlazione si dice diretta o positiva quando variando una variabile in un senso anche l'altra varia nello stesso senso (es: alle stature alte dei padri corrispondono stature alte dei figli); si dice indiretta o inversa quando variando una variabile in un senso l'altra varia in senso inverso (es: a una maggiore produzione di grano corrisponde un prezzo minore). Un analisi visiva della correlazione esistente tra due variabili è data dal GRAFICO A DISPERSIONE (Scatter plot). Il grado di correlazione fra due variabili viene espresso mediante i cosiddetti indici di correlazione. Studieremo 2 indici di correlazione: a) un indice assoluto (covarianza/ codevianza), b) un indice relativo (il coefficiente di correlazione lineare di Bravait Pearson) Iezzi Lez. 1 1

2 Grafico a dispersione (scatter-plot) Quando due caratteri sono quantitativi possiamo rappresentare la distribuzione doppia attraverso il grafico a dispersione. Nel grafico a dispersione le coppie di modalità di due caratteri quantitativi, osservate per ogni unità del collettivo, vengono rappresentate come punti di un piano cartesiano i cui assi ortogonali fanno riferimento ai due caratteri. In questo modo ogni coppia di modalità rappresenta un punto nel piano cartesiano. Iezzi Lez. 1 2

3 Il grafico a dispersione Un grafico a dispersione (XY) mostra le relazioni tra i valori numerici di varie serie di dati. Esempio: Esiste una correlazione tra il peso e l altezza del seguente collettivo di studenti? Studenti altezza peso 90 Giorgio Francesco Fabrizio Maria Angela Sonia Angela Maria Barbara peso Sonia Barbara Giorgio Fabrizio Francesco altezza Iezzi Lez. 1 3

4 La covarianza La covarianza tra due caratteri è definita come la media dei prodotti degli scostamenti delle due variabili X e Y dalle rispettive medie Cov( x, y) = σ xy n ( xi x)( yi y) Il numeratore della covarianza è detto codevianza. La covarianza è un indice assoluto e varia tra I due caratteri presentano concordanza se la maggior parte degli scostamenti dei valori dalla media sono concordi. Al contrario, sussiste discordanza se la maggior parte degli scostamenti sono discordi. = 1 n σ i= 1 x σ y σ xy σ x σ y Iezzi Lez. 1 4

5 Grafico a dispersione degli scostamenti dalla media Iezzi Lez. 1 5

6 Il Coefficiente di correlazione lineare ρ (rho) di Bravais- Pearson Indicatore simmetrico della relazione lineare tra X e Y. ρ xy = n i=1 n ( x i x )( y i y ) i=1 n i=1 ( x i x ) 2 y i y ( ) 2 = σ xy σ x σ y L indice ρ (rho) ha il segno algebrico della codevianza Iezzi Lez. 1 6

7 Come interpretare il coefficiente di correlazione? ρ = +1: perfetta correlazione lineare positiva tra X e Y punti empirici tutti allineati su una sola retta ascendente ρ = -1: perfetta correlazione lineare negativa; punti empirici tutti allineati su una sola retta discendente ρ = 0: assenza di correlazione lineare; rette di regressione ortogonali tra loro, con coefficienti angolari entrambi uguali a 0: caratteri linearmente indipendenti. Iezzi Lez. 1 7

8 0 < ρ < +1: tendenziale correlazione positiva tra X e Y, rette di regressione entrambe ascendenti, coefficienti di regressione positivi (quanto più essi si riducono, tanto più le rette si aprono a forbice, espressione dell'attenuarsi della relazione lineare tra le variabili); -1 < ρ < 0: tendenziale correlazione negativa tra X e Y; rette di regressione entrambe discendenti: coefficienti di regressione negativi (l'angolo racchiuso dalle due rette è tanto minore quanto più si accentua la correlazione negativa). Iezzi Lez. 1 8

9 ESEMPIO Schema di calcolo x = =171,4 y = = 67 ρ xy = σ xy σ x σ y = ,83 12,49 = 0,99 ρ xy = Ottengo lo stesso risultato usando le codevianze e le devianze , = 0,99 Iezzi Lez. 1 9

10 Esiste una correlazione tra il numero di viaggi in un anno e l età del seguente collettivo? n. viaggi 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 Media età= 39 anni Media n. viaggi in un anno = età Iezzi Lez. 1 10

11 Schema di calcolo x = = 39 y = = 2 ρ xy = σ xy σ x σ y = 6,1 15,84 1,41 = 0,27 ρ xy = Ottengo lo stesso risultato usando le codevianze e le devianze = 0,27 Iezzi Lez. 1 11

12 Utilizzo della correlazione Previsione: previsione del valore di una variabile target in base al valore di una variabile predittore Validazione: confronto fra i risultati di un test nuovo e i test già noti Affidabilità: replicabilità degli esperimenti/test Verifica di previsioni teoriche: verifica di un rapporto previsto fra due variabili Iezzi Lez. 1 12