ESERCIZI CORRELAZIONE

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1 ESERCIZI CORRELAZIONE Marco Riani Es: 6 famiglie, ammontare della spesa annua (in euro) per l acquisto di due generi di largo consumo: latte fresco e biscotti. Famiglia Spesa annua per l acquisto di latte fresco ( ) A B C D E F Spesa annua per l acquisto di biscotti ( ) M(x)= M(y)= (i) r xy? (ii) commento (iii) diagramma di dispersione (iv) concordanza tra r xy e diagramma di dispersione (v) Perché r xy invece della retta di regressione? 1

2 Soluzione r xy n i1 ( x n n 2 ( xi M x) i1 i1 i M )( y M x i ( y M i y ) 1/ 2 2 y ) Fami glia A B C D E F Tot. (x i M x ) (y i M y ) (x i -M x ) (y i -M y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r xy (x i -M x ) 2 (y i -M y ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) / Diagramma di dispersione 2

3 Diagramma di dispersione in termini di scostamenti dalla media Analisi del diagramma di dispersione Il punto C è un valore anomalo bivariato Se cancelliamo il punto C ci attendiamo che il valore di r xy aumenti r xy senza il punto C è uguale a

4 CORRELAZIONE FRA DUE S.S. Esempio: X = numero di extracomunitari iscritti al collocamento, Y = numero di discount Calcolare e commentare r XY tra le variabili originarie, i NI a base fissa, le variazioni percentuali a base fissa, i NI a base mobile, le variazioni percentuali a base mobile Anni X Y CORRELAZIONE FRA DUE S.S. Esempio: X = numero di extracomunitari iscritti al collocamento, Y = numero di discount Calcolare e r XY tra le variabili originarie, i NI a base fissa, le variazioni percentuali a base fissa, i NI a base mobile, le variazioni percentuali a base mobile r xy Anni X Y COV ( X, Y) ,36 0,933 (27.300,88705,42) x Correlazione spuria relazione tra i livelli y 4

5 NI base mobile X (numero di extracomunitari) e Y (numero di discount Anni n. i. base mobile n. i. base mobile Var % X Var % Y Scost media X Scost media Y ,38 216,67 18,38 116,67-0,34 68, ,97 148,46 11,97 48,46-6,75-0, ,22 120,62 42,22 20,62 23,50-27, ,31 108,38 2,31 8,38-16,41-40,16 Media 118,72 148,53 18,72 48,53 0,00 0,00 Var 0,0217 0,1758 0,0217 0,1758 Cov(Nix,NIy)=- 0, r xy (tra n. i. a base mobile) =-0,000496/(0,0217*0,1758) ½ = -0,008 Osservazioni finali Non esiste relazione lineare tra le variazioni annue di X e Y Si ottiene r xy = -0,008 anche effettuando il calcolo sulle variazioni % rispetto all anno precedente (proprietà di invarianza per trasformazioni lineari crescenti) 5

6 X = PREZZI (in euro) Y = QUANTITA VENDUTE (in n. di pezzi) Calcolare rxy sui dati originali, sui NI a base fissa e sulle variazioni percentuali. Commentare i risultati Anni X Y v(x) % v(y)% , , , , , ,1 +6, , ,8 +0, , ,0 +8, , ,0 +8,7 Esempio di regressione spuria X = PREZZI (in euro) Y = QUANTITA VENDUTE (in n. di pezzi) Anni X Y v(x) % v(y)% , , , , , ,1 +6, , ,8 +0, , ,0 +8, , ,0 +8,7 6

7 Coefficiente di correlazione Calcolato sui livelli r xy = 0,97 Calcolato sulle variazioni percentuali r v(x)v(y) = -0,998 Es. X= tasso di indebitamento delle famiglie, in percentuale, (X) e del fabbisogno di energia elettrica, in migliaia di megawatt, (Y) in Italia nel periodo anni X Y , , , , ,

8 r xy COV ( X, Y ) VAR( X ) VAR( Y ) r xy 26,82 5,73140,8 0,944 Correlazione sui NI a base mobile X Y n. i. base mobile n. i. base mobile 27,8 279, ,1 286,0 111,9 102,5 32,6 299,0 104,8 104,5 32,6 305,0 100,0 102,0 35,1 311,0 107,7 102,0 r xy 0,094 0,02 4,321,05 8

9 ESERCIZI REGRESSIONE LINEARE Es. 7 famiglie Spesa per manifestazio ni culturali (Z) A 200 1,9 B 420 4,0 C 250 2,5 D 70 1,6 E 180 2,2 F 300 2,8 G 100 1,5 Reddito mensile del capofamiglia (x 1000 Euro) (Y) Calcolare e commentare r YZ Sulla base dei risultati ottenuti si dica se è ragionevole adattare una retta di regressione; in questo caso quale sarebbe la dipendente e quale sarebbe l esplicativa? Costruire il diagramma di dispersione con sovraimposta la retta di regressione Commentare i parametri ottenuti 9

10 Spesa per manifestazioni cul Spesa per manifestazioni cultur (Z) 21/03/2013 Diagramma di dispersione ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Reditto mensile del capofamiglia (x 1000 Euro) (Y) r xy =0,97; il grafico mostra la forte relazione lineare diretta tra le 2 variabili. Il reddito mensile è utile per prevedere la spesa per manifestazioni culturali Diagramma di dispersione con retta di regressione Z = 134,65Y - 100, ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Reditto mensile del capofamiglia (x 1000 Euro) (Y) 10

11 Esercizio: giocatori titolari d una squadra di pallavolo: la seguente tabella riporta il numero di punti segnati in attacco ed il numero di punti segnati a muro in una partita. Giocatore Punti segnati in attacco Punti segnati a muro A 14 4 B 10 3 C 4 1 D 15 1 E 18 2 F 9 5 Calcolare r xy e commentarlo Diagramma di dispersione. Si confrontino le informazioni traibili dal diagr. di dispersione con il valore prima calcolato di r xy. C è accordo tra le due analisi? A quale causa possono essere imputate le differenze riscontrate? Soluzione r xy 0, Punti segnati a muro Punti segnati in attacco 11

12 Soluzione r xy 0, Punti segnati a muro y = x R 2 = Punti segnati in attacco Ci sono outliers? 12

13 Soluzione: confronto r xy diagramma di dispersione Il giocatore C si discosta molto dai rimanenti. Se lo si esclude relazione inversa: r xy = Il giocatore C è l alzatore per lui la relazione non vale Retta di regressione senza il punto (giocatore) C 0,683 r xy 6 5 Punti segnati a muro y = -0,292x + 6,854 R 2 = 0, Punti segnati in attacco 13

14 L INTERPOLAZIONE DI UNA SERIE STORICA p. 241 Esempio (Es eserciziario) Y = concentrazione di anidride carbonica nell'aria, in parti per milione, al Polo Sud dal 1981 al 1995: anni Y Grafico della serie storica. Calcolo dei parametri della funzione interpolante lineare e potenza Bontà di adattamento Valore previsto della concentrazione di anidride carbonica nel

15 concentrazione C02 (Y) 21/03/2013 Scelta della scala anni biennale annuale Y Grafico della serie storica (in scala naturale) anni 15

16 Grafico della serie storica (in scala doppio-logaritmica) Scala biennale Scala annuale Calcolo dei parametri della funzione interpolante lineare anni Scala dei tempi biennale t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 yˆ t 321,786 2, 631t Scala dei tempi annuale t = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 yˆ t 323,1011, 3155t Interpretazione 16

17 anni Relazione tra le due intercette Scala biennale 321,786 = valore teorico al 1979 yˆ t 321,786 2, 631t Scala annuale 323,101 = valore teorico al tempo t = 1980 yˆ t 323,1011, 3155t Relazione tra le due intercette 321,786= valore teorico 1979 = valore teorico variazione teorica da un anno al successivo variazione teorica da un anno al successivo = coeff. angolare della regressione su scala annuale 321,786=323,101-1,

18 Bontà di adattamento In entrambi i casi: = 0,996 Adattamento quasi perfetto anni Previsione al 2005 biennale annuale ˆ y t ˆ y t Scala biennale (t = 13) yˆ t 321,786 2, 631t 321,786 2, Scala annuale (t = 25) yˆ t 323,1011, 3155t 323,1011, Significato e limiti della previsione 18

19 Parametri della funzione interpolante potenza Parametri della funzione interpolante potenza 19

20 Esercizio: 8 alimenti (cereali e derivati) si conosce la seguente matrice di covarianza riferita alle tre variabili: X = acqua, in gr. per 100 grammi di prodotto Y = proteine, in gr. per 100 gr. di prodotto Z = energia, in Kcal per 100 gr. di prodotto X Y Z X 165,59-15,18-822,82 Y 5,20 87,26 Z 4.418,69 Esercizio Si determini quale variabile risulta più utile ai fini della previsione del contenuto energetico degli 8 alimenti (Z). Si determini la retta di regressione (in termini di scostamenti dalla media) di cui al punto precedente e se ne commenti il significato e la validità. 20

21 Soluzione Variabile dipendente: Contenuto energetico (Z) Variabile esplicativa: la migliore tra X e Y Scelta della variabile esplicativa matrice di correlazione X Y Z X 165,59-15,18-822,82 Y 5,20 87,26 Z 4.418,69 X Y Z X 1-0,517-0,962 Y 1 0,576 Z 1 zˆ a bx i 1,..., 8 i i Retta di regressione in termini di scostamenti: calcolo di e b = (-0,962) 2 = 0,925 Interpretazione X Y Z X 165,59-15,18-822,82 Y 5,20 87,26 b ( zˆ i M z) b( xi M x) r xz z 4.418,69 0,962 4,97 165,59 x Z 4.418,69 21