Il volume: A. Cerioli M.A. Milioli M. Riani Esercizi di statistica parte I, Uni.nova, Parma, 2006

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1 Il volume: A. Cerioli M.A. Milioli M. Riani Esercizi di statistica parte I, Uni.nova, Parma, 2006 contiene una raccolta di temi d esame di statistica descrittiva, adeguati per la preparazione dell esame di Statistica Analisi dei dati. Di seguito si riportano alcuni ulteriori esercizi per autovalutazione. Esercizio 1 Si conosce la seguente matrice dei dati riferita a 10 impiegati ed ai fenomeni X=sesso ed Y=stipendio mensile (in euro): Impiegati X Y A M 1350 B M 1420 C F 1230 D M 1510 E F 1360 F F 1400 G F 1210 H F 1330 I M 1400 L F 1350 i) Si calcoli la media dello stipendio e la si commenti. ii) Si calcoli la moda dello stipendio e la si commenti. iii) iv) Si calcoli la mediana dello stipendio e la si commenti. Si costruisca la corrispondente tabella a doppia entrata, considerando le seguenti classi per il reddito: , , Esercizio 2 Un associazione di consumatori, per valutare la puntualità dei voli in partenza da un importante aeroporto internazionale, ha rilevato il ritardo (in minuti) con cui sono decollati i voli di linea in una determinata settimana. La tabella seguente riporta la corrispondente distribuzione di frequenze. Ritardo (in minuti) dei voli in partenza Frequenze Sino a Oltre 120 (in media 185) 3 i) Si calcoli la media aritmetica e la si commenti. ii) Si calcoli la mediana e la si commenti. iii) Si calcoli il novantacinquesimo percentile e lo si commenti. iv) Motivando adeguatamente la risposta, si dica se i valori degli indici calcolati al punto i) sono uguali a quelli che sarebbero stati ottenuti partendo dalla matrice dei dati originaria (cioè contenente le informazioni sui ritardi dei singoli voli in partenza), anziché dalla distribuzione di frequenze.

2 Esercizio 3 La seguente distribuzione di frequenze riporta l ammontare (in Euro) della spesa effettuata in un determinato mese da un insieme di consumatori. Classi di spesa Frequenza Sino a > i) Si calcolino la moda ed il quarto decile. ii) Si illustri l interpretazione di tali indici. iii) Si dica, quali sono le ipotesi sottostanti al calcolo del quarto decile ricavato al punto 1) iv) Si dica senza effettuare i calcoli, quali valori approssimativamente assumerà l ottavo decile. Esercizio 4 Si sono classificati gli appartamenti in affitto di un quartiere in base alla superficie (X, in mq.) e all ammontare del canone d affitto (Y, in euro): X \ Y i) Si calcolino le medie parziali di Y e si illustri il significato di una di esse. ii) Si rappresentino in un grafico le medie parziali ottenute al punto precedente e lo si commenti. iii) Si calcoli il terzo decile della superficie per il totale delle abitazioni e lo si commenti. Esercizio 5 In un supermercato sono accettate due differenti carte di credito (A e B). La seguente distribuzione di frequenze, riferita ad una settimana, riporta l ammontare (in euro) della spesa per gli acquisti pagata dai clienti con i due differenti tipi di carta. Classi di spesa ( ) Frequenza degli acquisti con la Carta A Frequenza degli acquisti con la Carta B Sino a i) Si calcolino la mediana e l ottavo decile della distribuzione della spesa per il totale degli acquisti effettuati con una carta di credito (indipendentemente dal tipo). ii) Si illustri l interpretazione degli indici calcolati al punto precedente. iii) Si confronti la variabilità della spesa per acquisti dei clienti che utilizzano la Carta A con quella dei clienti che utilizzano la Carta B. Esercizio 6 La seguente matrice dei dati riporta, per alcuni gelati, le seguenti variabili: X = contenuto di carboidrati (in grammi); Y = contenuto di proteine (in grammi)

3 Gelato X Y A B C D E F i) Si calcolino le medie delle due variabili e si fornisca l interpretazione di almeno una di esse nel problema in esame. ii) Si calcolino gli scostamenti quadratici medi delle due variabili e si fornisca l interpretazione di almeno uno di essi nel problema in esame. iii) Si determini la corrispondente matrice degli scostamenti standardizzati. iv) Si illustri il significato dello scostamento standardizzato ottenuto per il gelato F. v) Si dica, senza effettuare calcoli ulteriori, qual è l obiettivo di calcolo degli scostamenti standardizzati ed in quali metodologie statistiche essi trovano impiego. Esercizio 7 Nella seguente tabella sono riportati per 4 ipermercati dell area di Milano il fronte espositivo (in metri) relativi ai detergenti per la casa (X) e il numero di referenze (Y). Ipermercato X Y Auchan Carrefour Ipercoop Esselunga i) Si determini il fronte espositivo per referenza di ciascun ipermercato. ii) Si scriva l espressione della media aritmetica del fronte espositivo per referenza e la si calcoli. iii) Si scriva l espressione scostamento quadratico medio del fronte espositivo per referenza e lo si calcoli. iv) Si illustri il significato degli indici calcolati ai punti ii) e iii). Esercizio 8 Con riferimento a 5 quartieri di Parma, si sono rilevati il numero di residenti (X) e la superficie (in kmq) al , (Y): quartieri X Y Parma centro ,5 Oltretorrente ,1 Molinetto ,5 Cittadella ,7 San Lazzaro ,4 i) Si determini la densità della popolazione di ciascun quartiere. ii) Si scrivano le espressioni della media aritmetica e dello scostamento quadratico medio della densità media della popolazione per i quartieri considerati. iii) Si calcoli il valore degli indici definiti al punto precedente e se ne illustri il significato. Esercizio 9 La seguente distribuzione di frequenze riporta l ammontare (in euro) della spesa effettuata in una settimana dai titolari della carta fedeltà di un ipermercato.

4 Classi di spesa ( ) Frequenza Sino a Oltre i) Si calcolino i quartili della distribuzione della spesa e se ne illustri l interpretazione. ii) Si disegni il box plot della distribuzione della spesa. iii) Si illustrino tutte le informazioni traibili dal box plot disegnato al punto precedente. Esercizio 10 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione dei dipendenti di una grande azienda in base alla retribuzione lorda mensile: retribuzioni Numero di dipendenti i) Si rappresenti graficamente la suddetta distribuzione e si dica quali informazioni si possono ricavare. (4 punti) ii) Si calcoli la retribuzione media dei dipendenti e si commenti il significato del risultato ottenuto. (4 punti) iii) Si calcoli lo scostamento quadratico medio delle retribuzioni e si commenti il significato del risultato ottenuto. (4 punti) iv) Si dica, motivando la risposta, quale trasformazione subirebbero la media e lo scostamento quadratico medio delle retribuzioni, calcolate ai punti precedenti, se: a) tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, b) tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% (4 punti). Esercizio 11 Gli studenti immatricolati in una Facoltà di Economia nell anno accademico sono stati classificati in base al voto alla maturità (X) e al numero di esami sostenuti al primo anno: X \ Y totale totale i) Si calcolino le medie parziali di Y e si commenti il significato di una di esse. ii) Si riportino le medie ottenute al punto precedente in un grafico opportuno. iii) Applicando un opportuna proprietà della media aritmetica, si determini il numero medio di esami sostenuti da tutti gli studenti.

5 Esercizio 12 Le variazioni percentuali rispetto all anno precedente del prezzo di una marca di caffè sono risultate le seguenti: Anno Variazioni % ,5% ,8% ,7% ,9% i) Si determini la serie storica dei numeri indici a base fissa del prezzo della marca di caffè, con base 2000 = 100. ii) Si illustri l interpretazione del numero indice calcolato nel iii) Si calcoli il tasso medio annuo di variazione del prezzo della marca di caffè nell intero periodo considerato ( ). iv) Si commenti il significato dell indice calcolato al punto iii). Esercizio 13 Una famiglia effettua abitualmente i propri acquisti in due supermercati differenti. La seguente tabella riporta le variazioni percentuali rispetto all anno precedente del livello medio dei prezzi nei due supermercati: Anno Variazioni % prezzi supermercato A Variazioni % prezzi supermercato B ,3% +5,5% ,6% +3,7% ,9% +2,2% ,2% +3,4% i) Si calcolino le serie storiche dei numeri indici a base fissa dei prezzi nei due supermercati, con base 2001 = 100, e si illustri l interpretazione dei numeri indici calcolati nel ii) Assegnando al supermercato A un peso triplo rispetto a quello del supermercato B, si determini la corrispondente serie storica dei numeri indici composti dei prezzi, con base 2001 = 100, e si illustri l interpretazione del numero indice composto calcolato nel iii) Si dica qual è l obiettivo del calcolo dei numeri indici composti nel problema in esame e che cosa rappresentano i pesi utilizzati al punto ii) in questo esempio. Esercizio 14 La seguente tabella riporta la serie storica del fatturato, in migliaia di euro, di una panetteria e la serie storica dei numeri indici dei prezzi al consumo riferiti al pane, con base 2000 = 100 (Fonte: ISTAT). Anno Fatturato (migliaia di ) N.i. dei prezzi al consumo per il pane (base 2000) , , ,2 i) Si determini la corrispondente serie storica del fatturato deflazionato della panetteria (ai prezzi del 2000).

6 ii) Si commenti il valore calcolato per l anno iii) Si calcoli il tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti. iv) Si calcoli il tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi costanti. v) Si commentino in termini comparati i risultati ottenuti ai punti iii) e iv). Esercizio 15 La seguente tabella riporta la serie storica del fatturato, in migliaia di euro, di una negozio di ortofrutta e la serie storica dei numeri indici dei prezzi al consumo riferiti ai prodotti ortofrutticoli, con base 2004 = 100. Anno Fatturato N.i. dei prezzi al consumo per i prodotti ortofrutticoli (base 2004=100) , , ,4 i) Si determini la corrispondente serie storica del fatturato deflazionato del negozio di ortofrutta ai prezzi del 2002 e si commenti il valore calcolato per l anno 2003 (punti 10). ii) Si calcolino e si commentino in termini comparati il tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti e quello del fatturato a prezzi costanti (punti 5). Esercizio 16 La seguente tabella riporta la serie storica, dal 2002 al 2006, della retribuzione (in euro) percepita da un lavoratore dipendente, il signor XY. Anno Retribuzione signor XY ( ) i) Si illustri che cosa significa deflazionare la retribuzione del signor XY e si descrivano sinteticamente i passaggi della corrispondente procedura di calcolo. ii) Disponendo delle variazioni percentuali rispetto all anno precedente dell indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e di impiegati (indice FOI) determinate dall ISTAT: Anno Variazioni % rispetto all anno precedente dell indice FOI (fonte: ISTAT) ,5% ,0% ,7% ,0% si determini la retribuzione del signor XY ai prezzi costanti del 2002 e si commentino i risultati ottenuti.

7 Esercizio 17 Nella tabella che segue sono riportate le serie storiche del tasso di indebitamento delle famiglie, in percentuale, (X) e del fabbisogno di energia elettrica, in migliaia di megawatt, (Y) in Italia nel periodo : anni X Y , , , , ,1 311 i) Conoscendo il valore dei seguenti indici: COV(X,Y) = 26,82 VAR(X) = 5,73 VAR(Y) = 140,80 si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie storiche. ii) Si illustri il significato del coefficiente calcolato al punto precedente nel caso in esame. iii) Si dica, motivando la risposta, quali trasformazioni di ciascuna serie storica sarebbe opportuno introdurre. iv) Si calcoli il coefficiente di correlazione sui dati trasformati. v) Si illustri il significato del coefficiente calcolato al punto iv) nel caso in esame. vi) Si confrontino i risultati ottenuti ai punti i) e iv). Esercizio 18 E stato rilevato per 6 famiglie l ammontare della spesa annua (in euro) per l acquisto di due generi di largo consumo: latte fresco e biscotti. Famiglia Spesa annua per l acquisto di latte fresco ( ) Spesa annua per l acquisto di biscotti ( ) A B C D E F i) Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tra la spesa per l acquisto di latte fresco e quella per l acquisto di biscotti. ii) Si commenti il significato dell indice ottenuto a punto precedente nel caso in esame. iii) Si tracci il diagramma di dispersione (in termini di valori originari). iv) Si dica se le informazioni che fornisce il diagramma ottenuto al punto precedente sono in accordo con il valore del coefficiente di correlazione. v) Si dica perché, dal punto di vista logico, nel problema in esame il calcolo del coefficiente di correlazione è preferibile all adattamento di una retta di regressione Esercizio 19 In un insieme di 100 province Italiane sono stati rilevati i tre indicatori seguenti: X1=numero di rapimenti per 1000 abitanti, X2=Numero di rapine per 1000 abitanti e X3=Numero di furti auto per 1000 abitanti. La parte triangolare superiore della matrice di covarianza tra le 3 variabili è risultata la seguente. X1 X2 X3 X1 14,88 16,61 1,44 X2 90,89 1,97 X3 0,19 i) Si completino i dati mancanti presenti nella parte triangolare inferiore. ii) Si dica, motivando la risposta, quale variabile tra X2 e X3 è più utile ai fini della previsione di X1.

8 iii) Si calcoli e si interpreti il coefficiente della retta di regressione che si ottiene ponendo X1 come variabili dipendente e la variabile scelta al punto 2. come esplicativa Esercizio 20 La seguente tabella riporta per un comune italiano le variabili (dal 2001 al 2005): X = Numero di autovetture immatricolate per 100 abitanti; Y = Spesa media (in euro) per abitante per spettacoli sportivi e culturali. Anno X Y i) Si determini il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie storiche e se ne illustri l interpretazione nel caso in esame. ii) Si calcolino la serie dei numeri indici a base mobile di X e la serie dei numeri indici a base mobile di Y. Si interpretino i valori dei numeri indici ottenuti per il iii) Si determini il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di numeri indici a base mobile e si dica per quali motivi il valore di tale coefficiente differisce rispetto a quello ottenuto al punto i). Esercizio 21 Nella seguente tabella sono riportate le var % rispetto all anno precedente degli stranieri residenti a Parma nel periodo Anni Var % , , , , ,23 i) Sapendo che al 1/1/07 gli stranieri erano pari a 33950, si ricavi la serie storica degli stranieri residenti a Parma. ii) Sapendo che la funzione interpolante della serie storica ricavata al punto precedente è risultata: ŷ t = ,8 t si commenti il significato dei parametri. iii) Si calcoli VAR(E) e si determini il valore massimo che potrebbe raggiungere in questo esempio. iv) Si calcoli l indice δ e se ne commenti il significato. Esercizio 22 La tabella che segue si riferisce al fatturato (X) e all ammontare della spesa in Ricerca & Sviluppo (Y) di 6 aziende, espressi in milioni di euro: aziende X Y A 120 2,6 B 115 2,5 C 130 2,8 D 142 3,0 E 115 2,1 F 110 2,2

9 i) Si calcolino i parametri della retta di regressione avente significato logico. (3 punti) ii) Si commenti il significato dei parametri. (3 punti) iii) Si determini la validità del modello. (3 punti) iv) Si illustri il significato del risultato ottenuto. (2 punti) v) Se l azienda F decidesse di aumentare la spesa in Ricerca & Sviluppo del 10%, quale sarebbe la variazione percentuale prevista per il fatturato? (3 punti) vi) Si commenti l attendibilità della stima effettuata. (2 punti) Esercizio 23 Nella tabella che segue è riportato il numero di utenti FASTWEB (in migliaia) nel periodo : mesi Numero utenti Marzo Giugno 598 Ottobre 644 Dicembre 714 Marzo Giugno 874 Ottobre 957 Dicembre 1062 i) Si calcolino il tasso di variazione medio mensile e il tasso di variazione medio trimestrale, illustrandone il significato. ii) Sapendo che la funzione interpolante lineare (con t = 1, 2, 3, 8) è risultata la seguente: ŷ t = 440,7+73,8 t (δ =0,987) a) si illustri il significato dei parametri, b) si commenti la bontà di adattamento della funzione, spiegando il significato dell indice di determinazione, c) si dica quanti dovrebbero essere gli utenti FASTWEB a dicembre Esercizio 24 La seguente tabella riporta, a cadenza biennale, la serie storica delle quantità estratte di idrocarburi (in milioni di tonnellate) in Italia dal 1984 al 1998: Anno Idrocarburi estratti (milioni di tonnellate) , , , , , , ,1 i) Adottando un opportuna scala dei tempi, si calcolino i parametri della funzione interpolante lineare che esprime la quantità di idrocarburi estratti in funzione del tempo. ii) Si illustri il significato dei parametri calcolati al punto precedente con riferimento alla serie storica degli idrocarburi. iii) Si determini la bontà di adattamento di tale funzione interpolante lineare. iv) Si spieghi il significato dell indice ottenuto al punto precedente nel caso in esame. v) Si calcoli la stima della quantità di idrocarburi estratti nel vi) Si dica, con opportune motivazioni, se tale stima può essere ritenuta attendibile oppure no.

10 Esercizio 25 Con riferimento a 8 aziende inserzioniste di pubblicità su Internet, si è rilevato l ammontare della spesa pubblicitaria, in migliaia di euro (Y), ed il numero di banners utilizzati nella campagna pubblicitaria (X): Azienda X Y A B C D 8 64 E 9 26 F G 8 25 H i) Si calcolino i parametri della retta di regressione che rappresenta la spesa pubblicitaria in funzione del numero di banners e se ne illustri l interpretazione. ii) iii) Si valuti la bontà di adattamento di tale retta di regressione. Si stimi, in base alla retta di regressione, la spesa pubblicitaria per un azienda che utilizza 30 banners e si commenti l attendibilità del risultato. Esercizio 26 La seguente tabella riporta per alcuni supermercati di una catena di distribuzione: l ammontare totale (in migliaia di euro) delle vendite di un mese; l ammontare medio (in euro) degli scontrini emessi nel medesimo periodo. Supermercato Ammontare totale delle vendite (migliaia di ) Ammontare medio degli scontrini ( ) A ,44 B ,67 C ,82 D ,73 E ,06 F ,59 i) Si calcolino i parametri della retta di regressione avente significato aziendale nel problema in questione. ii) Si illustri l interpretazione dei parametri della retta di regressione, prima calcolati, nel caso in esame. iii) Si valuti la bontà di adattamento di tale retta di regressione e si commenti il risultato ottenuto. iv) Si stimi, in base alla retta di regressione, l ammontare delle vendite per un supermercato in cui l ammontare medio degli scontrini è di 60 euro e si commenti l attendibilità del risultato.