Esercitazione Marzo 2019

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1 Esercitazione 13 Marzo 019 Esercizio 1 Su un collettivo di 100 appartamenti ubicati nella stessa zona della città vengono rilevati i seguenti caratteri: X 1 affitto mensile pagato dal locatario (in Euro) X superficie dell appartamento (in metri quadrati) X 3 spese condominiali mensili (in Euro) X 4 età dello stabile (in anni) Elaborando i dati si sono ottenuti la seguente matrice di varianze/covarianze σ ij e il vettore delle medie: cov(x i, X j ) X 1 X X 3 X 4 X ,05 X 878, X , , ,771 X 4-999, ,34-76,408 18,7441 Medie 556,00 156,14 37,84,17 a) Si determinino i parametri del piano ai minimi quadrati che spiega X 1 in funzione di X e X 3. Si fornisca l interpretazione dei parametri. Svolto in Esercitazione 1. Abbiamo ottenuto il piano cioè ˆX 1 0, 3 +, 350X + 0, 5695X 3 â 0 0, 3 â 1.3, 350 â 13. 0, 5695 b) Si valuti e si commenti la bontà di adattamento del piano ricavato al punto b. Dalla scorsa volta I 1.3 0,

2 c) Si calcoli il coefficiente di regressione grezzo della retta ai minimi quadrati che spiega X 1 in funzione di X 3 e lo si compari con quello parziale riferito al piano determinato al punto a). Il coefficiente di regressione grezzo è il coefficiente angolare della retta che spiega X 1 in funzione della sola X 3, cioè è dato da (non ci è chiesto di determinare la retta ma solo il coefficiente) â 13 σ , , 51 σ , 771 Quello parziale invece è â 13., ovvero il coefficiente del piano ai minimi quadrati del punto a). Lo abbiamo già determinato ed era uguale a â 13. 0, Confronto ed interpretazione Il coefficiente di regressione grezzo â 13 indica che aumentando di 1 euro le spese condominiali e lasciando la superficie dell appartamento libera di variare l affitto mensile aumenterebbe di 1,51 euro. Il coefficiente di regressione parziale indica invece che aumentando di 1 euro le spese condominiali e tenendo fissa la superficie dell appartamento, l affitto aumenterebbe di 0,5696 euro. d) Si supponga di aver determinato l iperpiano ˆX 1 53, , 80X + 0, 519X 3 0, 9743X 4. Si valuti il miglioramento di adattamento che si ottiene rispetto al piano di cui al punto a), in termini di varianza spiegata (totale). Si commenti adeguatamente. OSS: i coefficienti del piano sono leggermente cambiati rispetto al testo che ho dato in classe. Da come vi erano stati dati non torna l equivalenza dei due metodi per calcolare MV R. Calcoliamo l indice MV S in modo analogo a come avevamo fatto per confrontare retta con piano. Dobbiamo calcolare l indice di determinazione dell iperpiano e sottrargli quello del piano che abbiamo già determinato la scorsa volta, ovvero dobbiamo determinare MV S I 1.34 I 1.3 Quindi I 1.34 â1.34σ 1 + â 13.4 σ 13 + â 14.3 σ 14 σ 11, , , , , 9743 ( 999, 3854) 40180, 05 MV S I 1.34 I 1.3 0, 761 0, , , 761 Interpretazione In termini di varianza speigata, l iperpiano ai minimi quadrati spiega lo 0, 36% in più del piano ai minimi quadrati (pochissimo in più). Il miglioramento è talmente basso che l inserimento della variabile età dello stabile (X 4 ) non è consigliato. e) Si valuti il miglioramento che si ottiene in termini di varianza residua, nel passaggio dal piano descritto al punto a) all iperpiano ottenuto aggiungendo la variabile esplicativa X 4 sapendo che r , 0558 e r 4.3 0, 100. Si commenti il risultato ottenuto.

3 Dobbiamo calcolare l indice MV R che è dato da MV R I 1.34 I I 1.3 0, 761 0, , Nel passaggio dal piano all iperpiano la varianza residua si riduce dell 1, 48%. Il miglioramento in temrini di varainza residua è molto basso, per cui non sembra conveniente l inserimento di X 4. Ricordiamo che c è un modo alternativo di calcolare MV R : dove MV R r 14.3 r 14.3 r 1.3 r 4.3 r r r 4.3 Tra le quantità coinvolte r 14.3 e r 4.3 sono date dal testo. Dobbiamo calcolare r 1.3 r 1 r 13 r 3 1 r 13 1 r 3 e a loro volta dobbiamo calcolare r 1, r 13 e r 3 (ricordate la relazione con le covarianze). Fatelo come esercizio. Esercizio In 8 grandi comuni vengono rilevati i seguenti caratteri X 1 numero di connessioni ad internet per ogni 1000 abitanti X numero di personal computer per ogni 1000 abitanti X 3 costo medio delle telefonate da rete fissa (in centesimi di Euro) I dati osservati, insieme con alcune prime elaborazioni, sono contenute nella seguente tabella, mentre nell ultima riga sono riportati i totali di colonna: X 1 X X 3 X1 X X3 X 1 X X X 3 X 1 X Totali a) Si determinino i parametri del piano a minimi quadrati X 1 a 0 + a 1.3 X + a 13. X 3 e se fornisca la relativa interpretazione. Fatelo voi come esercizio. I risultati sono â 0 68, 103, â 1.3 0, 693, â 13. 1, b) Si fornisca la rappresentazione grafica dei residui del modello ottenuto al punto a), individuando eventuali osservazioni anomale. Calcoliamo i residui: 3

4 X 1 ˆX1 â 0 + â 1.3 X + â 13. X 3 Z X 1 ˆX , , , , , ,744-6, ,08 14, ,617-6, ,3 9, ,33-9, ,4681 1, ,6611 8, Rappresentare i residui significa disegnare i punti ( ˆX 1i, Z i ) Calcoliamo anche l indice dell ordine di grandezza dei residui A 1, per cercare di individuare le osservazione anomale. Uno dei modi per determinare l anomalia di un dato è confrontare il suo scarto x 1i ˆx 1i con A 1 (o A, oppure fare un confronto relativo) e vedere quanto si discosta. Se si discosta molto, il dato è anomalo. Si possono notare anomalie già dal grafico: infatti anomalo è quel dato che nel grafico è rappresentato da un punto con uno scarto x 1i ˆx 1i molto elevato. A Z i 16, 3364 i1 c) Si commenti il significato dei parametri del modello di Cobb Douglas, stimato mediante il metodo della linearizzazione X 1 0, 009X 1,6451 X 0, I parametri del modello sono già stati calcolati. Dobbiamo solo interpretarli. Come abbiamo accennato in classe, riporto qui i calcoli da fare nel caso in cui sia chiesto di determinarli. Ovvero per stimare i parametri del modello X 1 bx a Xa 3 3 4

5 si passa al logaritmo e con le sue proprietà otteniamo che ln X 1 ln b + a ln X + a 3 ln X 3 Chiamiamo Y 1 ln X 1, Y ln X, Y 3 ln X 3, ln b p 1 (a e a 3 rimangono gli stessi) e riscriviamo il modello come (linearizzazione Y 1 p 1 + a Y + a 3 Y 3 Notiamo che questa è proprio l equazione del piano ai minimi quadrati (i nomi dei coefficienti sono del tutto arbitrari). Quindi possiamo calcolare i coefficienti di regressione del piano p 1, a e a 3 come al solito. Per fare questo è necessario conoscere i dati Y 1, Y, Y 3. Grazie alle trasformazioni tramite logaritmo otteniamo Y 1 ln(x 1) Y ln(x ) Y 3 ln(x 3) Y 1Y Y 1Y 3 Y Y 3 Y1 Y Y3 4,736 5,6454 3,5553 6, ,8386 0,0711, ,8705 1,640 4,1897 5,0814 3,3673 1,895 14, , ,5536 5,806 11,3387 5,0999 5,5175 3,8067 8, ,4138 1,0035 6, ,448 14,4910 3,0445 4,7875, ,5755 8,448 1,9650 9,690,90 7,3338 5,1417 5,6168 3,958 8, , ,5118 6, , ,863 5,4381 5,7930 4, ,509 3,4790 5,0113 9,579 33, ,6408 5,67 5,6095 4,0431 9,511 1,776,6798 7, , ,3467 4,8363 5,3753 3,6109 5, , ,4097 3,3898 8, , , ,464 8, , , ,768 18, , ,691 da cui ricaviamo le medie e le varianze/covarianze ȳ 1 4, 7186, ȳ 5, 483, ȳ 3 3, 5881 σ 11 0, 597, σ 0, 0988, σ 33 0, 11, σ 1 0, 163, σ 13 0, 906, σ 3 0, 1181 A questo punto possiamo calcolare i coefficienti Avevamo che ln ˆb ˆp 1 quindi â σ 1σ 33 σ 13 σ 3 σ σ 33 σ 3 1, 649 â 3 σ 13σ σ 1 σ 3 σ σ 33 σ3 0, 4518 ˆp 1 ȳ 1 â ȳ â 3 ȳ 3 5, 8549 ˆb eˆp 1 e 5,8549 0, 009 OSS: i valori di a e a 3 sono leggermente diversi dal testo per un problema di approssimazione alle cifre decimali. Magari queste imprecisioni ce le portiamo dietro nei prossimi punti. Interpretazione dei parametri â 1, Secondo il metodo della linearizzazione applicato al modello Cobb Douglas, aumentando di un punto percentuale (dell 1%) il numero di personal computer per ogni 1000 abitanti, il numero di connessioni ad Internet per ogni 1000 abitanti aumenterebbe dell 1, 6451%, tenendo costante il costo medio delle telefonate da rete fissa (in centesimi di euro). 5

6 â 3 0, Secondo il metodo della linearizzazione applicato al modello Cobb Douglas, aumentando di un punto percentuale il costo medio delle telefonate da rete fissa, il numero di connessioni ad Internet per ogni 1000 abitanti aumenterebbe dello 0, 4534%, tenendo costante il numero di personal computer per ogni 1000 abitanti. ˆb 0, 009. Secondo il metodo della linearizzazione applicato al modello Cobb Douglas, il numero di connessioni ad Internet per ogni 1000 abitanti nel caso in cui il numero di personal computer per ogni 1000 abitanti e il costo medio delle telefonate da rete fissa fossero pari a 1 sarebbe di 0,009. d) Si scelga un indice appropriato per confrontare il modello del punto a) con quello del punto c). Calcoliamo l indice di grandezza dei residui per il modello di Cobb Douglas A CD 1 e lo confrontiamo con l indice di grandezza dei residui del modello del piano trovato prima. A CD X 1i X 1i i1 Dobbiamo quindi calcolare i residui X 1i X 1i. X 1 X1 ˆbXâ Xâ3 3 X 1 X , , , , , ,0031 8, ,545 1, ,0675-5, ,449 37, ,758-5, ,6047 8, ,358,764 Otteniamo che A CD 00, , L indice che indica l ordine di grandezza dei residui per il piano è più piccolo rispetto all indice che indica l ordine di grandezza della Cobb Douglas, quindi il modello migliore è il piano al punto a). e) Si consideri anche la variabile X 4. Sapendo che r , 54, si misuri la bontà di adattamento dell iperpiano che contiene anche X 4 come variabile esplicativa. Per misurare la bontà di adattamento dell iperpiano dobbiamo determinare l indice di determinazione I Ricordiamo la relazione già vista in precedenza r 14.3 I 1.34 I I 1.3 Sappiamo che r , 54. Possiamo determinare I 1.3 e poi ricavare I 1.34 I1.3 â1.3σ 1 + â 13. σ 13 0, , , , 15 0, 8976 σ , 344 6

7 Quindi I1.34 0, , , 8976 da cui I1.34 0, 975. L iperpiano spiega il 9, 75% della varianza totale. Esercizio 3 Molte aziende agrarie stanno convertendo progressivamente la produzione agricola in produzione di energia elettrica, mediante l installazione di impianti a pannelli solari. Per analizzare la profittabilità degli investimenti sono state rilevate le seguenti variabili su 5 aziende interessate allo studio: X 1 fatturato annuale dell azienda (in migliaia di Euro) X superficie destinata a pannelli (in decine di ettari) X 3 superficie adibita a coltivazione dell ulivo (in decine di ettari) X 4 superficie adibita a vigneto (in decine di ettari). La seguente tabella riporta alcune informazioni di sintesi dei dati rilevati: cov(x i, X j ) X 1 X X 3 X 4 X 1 800,000 40,00 11,00 84,000 X,667 0,30 5,67 X 3 0,56 0,631 X 4 16,649 Medie 140,00 1,000 4,00 11,133 a) Si determinino i parametri del piano a minimi quadrati X 1 a 0 + a 1.3 X + a 13. X 3 e ne fornisca la relativa interpretazione. (â 0 155, 871, â , 4689, â 13. 9, 4139) b) Si valuti il coefficiente di correlazione multiplo di X 1 rispetto a X e X 3. (R 1.3 0, 996) c) Escludendo per ora dall analisi X 4 e supponendo di voler valutare il vicendevole legame tra X e X 3 al netto di X 1 si determini il coefficiente di correlazione adeguato, si motivi la sua scelta e se ne commenti il valore numerico. Il coefficiente di correlazione che cerchiamo è r 3.1 (ricordate l interpretazione dei pedici), la cui formula è r 3.1 r 3 r 1 r 13 1 r 1 1 r 13 0, , 866 0, 786 0, , , 786 La correlazione tra superficie destinata a pannelli e superficie adibita a coltivazione dell ulivo, tenendo fisso il fatturato annuale dell azienda, è molto alta e negativa. 7

8 d) Volendo invece verificare se le variabili X 3 e X 4 siano più utili a spiegare il fatturato X 1, si ricava il modello ˆX 1 40, , 505X 3 + 3, 738X 4. Si valuti quale dei due piani sia più adeguato e si commenti. Confrontiamo quale modello si adatta meglio ai dati, confrontando gli indici I 1.3 e I Calcoliamoli entrambi I1.3 â1.3σ 1 + â 13. σ 13 11, , , σ I 1.34 â13.4σ 13 + â 14.3 σ 14 σ 11 34, , + 3, , 985 0, 8756 Il piano più adeguato per spiegare la variabile fatturato annuale dell azienda X 1 è il piano che considera le variabili superficie destinata ai pannelli X e superficie adibita a coltivazione dell ulivo X 3 poiché spiega il 98, 5% della variabilità totale, mentre l altro piano considerato, dove il fatturato annuale messo in relazione con la superficie adibita a coltivazione dell ulivo X 3 a vigneto X 4 spiega solo l 87, 56% della variabilità totale. 8