Statistica. Esercizi: 7. Statistica Descrittiva Bivariata 3 Probabilità 1

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1 Corsi di Laurea: a.a Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Statistica Descrittiva Bivariata 3 Probabilità 1 Esercizi: 7 Docente: Alessandra Durio 0

2 Contenuti degli ESECIZI La regressione lineare Attribuzione di probabilità agli eventi Docente: Alessandra Durio 1

3 Esercizio 7.1 La rilevazione del numero di dipendenti (X) e del fatturato giornaliero (Y), su un collettvo statistico costituito da 70 esercizi pubblici ha dato luogo alla seguente distribuzione di frequenze congiunte: X # Y! 200 a a a a 2000 Si proceda a: calcolare i parametri della retta di regressione Ŷ a a X; 1) Calcolare i parametri della retta di regressione 2) Misurare la bontà di adattamento del modello. Y ˆ = a 0 + a 1 X Docente: Alessandra Durio 2

4 Esercizio 7.1: soluzione (i) Iniziamo arricchendo la tabella della distribuzione di frequenze congiunte della v.s. bivariata (X, Y) con le frequenze marginali nonché i centri di classe X # Y! 200 a a a a 2000 n i (y 1 = 300) (y 2 = 600) (y 3 = 900) (y 4 = 1500) n j Docente: Alessandra Durio 3

5 Esercizio 7.1: soluzione (ii) Un diagramma a bolle ci è di aiuto nell evidenziare graficamente l eventuale legame di dipendenza funzionale tra le due componenti la v.s. doppia (X, Y). Fatturato giornaliero (Y) # dipendenti (x) Docente: Alessandra Durio 4

6 Esercizio 7.1: soluzione (iii) Anche in questo caso, pare che il modello di regressione Ŷ = a 0 + a 1 X ben si presti a sintetizzare il legame funzionale esistente tra le v.s. X e Y. Si tratterà ora di determinare i valori dei parametri a 0 e a 1. A tal fine, come abitudine, ricorreremo al metodo dei minimi quadrati misurare la bontà di adattamento del modello all insieme dei dati osservati. Per questo costruiremo il diagramma a bolle dei residui e calcoleremo il coefficiente di determinazione. Docente: Alessandra Durio 5

7 Esercizio 7.1: soluzione (iv) Com è noto, ricorrendo al metodo dei minimi quadrati, il valore dei parametri della retta di regressione corrisponderano a a 1 = Cov[X,Y] V[X] a 0 = E[Y] a 1 E[X] e quindi, sulla base della distribuzione di frequenze congiunte della v.s. doppia (X, Y), calcoliamo la media e la varianza di X, quindi E[X], E[X 2 ] e V[X]. la media e la varianza di Y, quindi E[Y], E[Y 2 ] e V[Y]. Quest ultima grandezza, come si vedrà, verrà utilizzata per il calcolo del coefficiente di determinazione. la media del prodotto X Y, cioè E[X Y], che utilizzeremo per il computo di Cov[X,Y]. Docente: Alessandra Durio 6

8 Esercizio 7.1: soluzione (v) Pertanto E[X] = 1 n E[X 2 ]= 1 n r  i=1 x i n i = 1 ( )= r  xi 2 n i = 1 i= = 7.4 V[X] = E[X 2 ] E[X]=7.4 ( ) 2 = E[Y] = 1 s n  y j n j = 1 ( )= j=1 70 E[Y 2 ]= 1 s n  y 2 j n j = 1 j= = V[Y] = E[Y 2 ] E[Y]= ( ) 2 = E[X Y] = 1 n r s   i=1 j=1 x i y j n ij = 1 ( )= Docente: Alessandra Durio 7

9 Esercizio 7.1: soluzione (vi) Infine, calcolata la covarianza tra le v.s. X e Y Cov[X,Y] = E[X Y] E[X] E[Y]= = = 324, 3673 otteniamo i valori dei coefficienti del modello di regressione in accordo al metodo dei minimi quadrati a 1 = Cov[X,Y] V[X] = 324, = a 0 = E[Y] a 1 E[X]= = In definitiva il modello di regressione proposto diviene Ŷ = X Docente: Alessandra Durio 8

10 Esercizio 7.1: soluzione (vii) Se consideriamo ora la v.s. residui della regressione (Y Ŷ) e costruiamo il diagramma a bolle dei punti di cooordinate (x i ;y j ŷ j ), pare che questi evidenzino una certa tendenza di fondo (nella figura successiva, lato destro, i residui hanno segno per lo più negativo). Ciò fa sorgere il dubbio che il modello di regressione adottato non si adatti bene ai dati. Quale misura della bontà di adattamento, ricorriamo al coefficiente di determinazione R 2 che, nel caso il modello di regressione sia quello di una retta, coincide con il quadrato del coefficiente di correlazione lineare (R 2 = r 2 ). Nel nostro caso otteniamo un valore di R 2 piuttosto basso, infatti R 2 = r 2 = (Cov[X,Y])2 V[X] V[Y]] = 324, = 0, Per inciso è r = Docente: Alessandra Durio 9

11 Esercizio 7.1: soluzione (viii) *9,87/5:,.78*(;) #!! %!! '!! (!! "#!! "'!!! " # $ % & <.=,+6,*+,*7.97.==,8/.!"!!!!&!!! &!! "!!! < # =!>&#! " # $ % & )*+,-./+./0,*(2) )*+,-./+./0,*(2) Docente: Alessandra Durio 10

12 Contenuti degli ESECIZI La regressione lineare Attribuzione di probabilità agli eventi Docente: Alessandra Durio 11

13 Esercizio 7.2 Si consideri quale esperimento casuale il lancio simultaneo di due dadi, l uno bianco e l altro nero, a sei facce con l intento di considerare il numero di pun0ni impresso sulle rispe6ve facce rivolte verso l alto. Defini; gli even; A = {la faccia del dado bianco presenta un numero pari di pun;ni} B = {la faccia del dado nero presenta un numero di pun;ni maggiore o uguale a 3} si calcolino P(A) e P(B) nelle due differen; situazioni: 1) i dadi sono entrambi regolari 2) i dadi sono trucca0 in modo che le coppie nelle quali compare un solo numero dispari hanno il doppio della probabilità delle altre coppie. Docente: Alessandra Durio 12

14 Esercizio 7.2: soluzione (i) Come prima cosa schematizziamo con l aiuto di una tabella l insieme dei possibili esiti S dell esperimento casuale: S è formato da 36 elementi, tutte le coppie che si individuano leggendo per ciascun punto della tabella il corrispondente numero di puntini del dado bianco e del dado nero. S = {e1,e2,...,e36}={(1;1), (1; 2),..., (6;5), (6;5)} Docente: Alessandra Durio 13

15 Esercizio 7.2: soluzione (ii) Individuiamo sullo schema di S i due eventi del problema: A = {dado bianco numero pari} B = {dado nero numero maggiore di 3} Docente: Alessandra Durio 14

16 Esercizio 7.2: soluzione (iii) Nel caso della situazione 1) i dadi sono entrambi regolari possiamo a3ribuire a ciascun evento elementare di S la stessa probabilità. Essendo la numerosità di S pari a 36 ciascun evento elementare avrà probabilità pari a 1/36. Poiché A è formato da 18 eventi elementari la sua probabilità sarà:! " = 18 & 1 36 = 0.5 Essendo B formato da 24 eventi elementari la sua probabilità sarà!, = 24 & / 01 = 2 0 = 0.67 A = {dado bianco numero pari} B = {dado nero numero maggiore di 3} Docente: Alessandra Durio 15

17 Esercizio 7.2: soluzione (iv) Nel caso della situazione 2) i dadi sono trucca( le coppie nelle quali compare un numero dispari hanno il doppio della probabilità delle altre coppie Dobbiamo a6ribuire la probabilità a ciascun evento elementare di S imponendo gli assiomi.. Dei 36 eventi elementari 18 avranno probabilità pari al doppio di quella degli altri. Ci saranno 18 eventi elementari con probabilità p e 18 eventi elementari con probabilità 2p Imponiamo l assioma della norma per ricavare p: 1 = P(S) = 18 p+18 2 p = 54 p p= " #$ Facendo riferimento allo schema qui sopra, attribuiamo agli eventi elementari evidenziati in arancione probabilità pari a 2/54 e a quelli in bianco probabilità pari a 1/54 Docente: Alessandra Durio 16

18 Esercizio 7.2: soluzione (v) Per calcolare la probabilità dei due eventi A e B sarà sufficiente determinare quanti eventi elementari con probabilità p e quanti con probabilità 2p li compongono. Poiché A è formato da 9 eventi elementari a probabilità p e 9 a probabilità 2p, si ha:! " = $ % & '( + $ % * '( = +. ' OSSERVAZIONE: In questo particolare esempio e per questi due eventi la situazione di dadi truccati non implica un cambiamento nelle probabilità degli eventi. Suggeriamo di calcolare nelle due situazioni la probabilità dell evento C={i due dadi presentano numero di puntini dispari} Poiché B è formato da 12 eventi elementari a probabilità p e 12 a probabilità 2p, si ha:! - = &* % & '( + &* % * '( = +../ Docente: Alessandra Durio 17