Statistica a.a Autovalutazione 3

Transcript

1 Statistica a.a Autovalutazione 3 CORSI: Diritto per le Imprese e le Istituzioni Scienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione 1. Un esperimento consiste nell estrarre una carta da un mazzo incompleto così composto: CARTE NUMERICHE CARTE FIGURE J Q K Q K J. K ª J Q. determinare le seguenti probabilità L insieme dei possibili esiti dell esperimento è formato da 29 eventi elementari (le carte che compongono questo mazzo incompleto), ipotizzando uno spazio equiprobabile le probabilità richieste sono: P(carta estratta rossa) = 15/29 = P(carta estratta numerica) = 20/29 = P(carta estratta dispari) = 10/29 = P(carta estratta numerica o rossa) = 25/29 = Definiti gli eventi: Determinate le probabilità: A = carta estratta rossa B = carta estratta numerica C = carta estratta dispari P(BÇC) = P(C) = 10/29 = dispari descrivere a parole l evento : la carta estratta è P(AÈBÈC) = P(AÈB)= P(A)+P(B)-P(AÇB)= 15/29+20/29-10/29= descrivere a parole l evento : la carta estratta è rossa o nera numerica

2 P(A B) P(A B) = = 10/29 descrivere a parole l evento : la carta estratta è rossa P(B) 20/29 = 0.5 sapendo che ne è stata estratta una numerica P(B C) = descrivere a parole l evento : la carta estratta è numerica sapendo che ne è stata estratta una dispari, in questo caso l evento è certo. Stabilire se P(B C) P(C) = P(C) P(C) =1 A e B sono indipendenti? NO perché? P(A B)=0.5 è diversa da P(A)= Come lo si interpreta? Essere a conoscenza dell informazione aggiuntiva circa l esito dell esperimento, cioè sapere che l evento B si è verificato, muta la probabilità dell evento A. B e C sono indipendenti? NO perché? P(B C) =1 è diversa da P(B) = Come lo si interpreta? Vedi sopra 2. Si immagini che fra i clienti di un ristorante il 60% sia di sesso femminile e che l 85% delle femmine ordini abitualmente un contorno di verdure miste. Si supponga, altresì, che tra i clienti di sesso maschile solo il 35% ordini contorni di verdure miste. Calcolare: -- (a) la probabilità che una ordinazione abbia come contorno verdure miste: (b) la probabilità che scelta a caso un ordinazione di verdure miste questa sia stata fatta da un maschio: Quale formule si sono utilizzate per valutare tali probabilità? Definiti gli eventi: A1= l ordinazione proviene da una femmina A2= l ordinazione proviene da un maschio B= l ordinazione ha verdure miste come contorno Il problema fornisce i seguenti dati: P(A1)= 0,60 da cui si ricava P(A2)= 1-P(A1)=0.40 P(B A1)=0.85 e P(B A2)=0.35 (a) il teorema delle probabilità totali: P(B) = P(B A1) P(A1) + P(B A2) P(A2) = = 0.65 (b) il teorema di Bayes P(B A2) P(A2) P(B A2) P(A2) P(A2 B) = = P(B) P(B A1) P(A1)+ P(B A2) P(A2) = =

3 Quali sono, in generale, le ipotesi di applicabilità di tali formule? Gil eventi A1, A2,..An devono essere una partizione dell insieme dei possibili esiti Ω e l evento B deve essere a probabilità non nulla. Perché sono necessarie tali ipotesi? Solo se gli A1, An sono mutualmente disgiunti e se la loro unione coincide con Ω si può esprimere l evento B come unione delle intersezioni che esso ha con tutti gli eventi A1,,An e tale unione risulta di eventi mutualmente disgiunti. In tale situazione la probabilità dell evento B può essere espressa come delle probabilità delle sue intersezioni con gli A1,.,An. Si giunge poi alle formule di cui sopra semplicemente ricordando il legame tra probabilità condiziona e probabilità dell intersezione. (esempio: P(B A1) = P(B A1) P(A1) che si ricava direttamente dalla definizione di probabilità condizionata). E nello specifico problema sapreste schematizzare la situazione? 3. Un concorso a premi prevede l estrazione casuale di un nominativo tra i 200 iscritti ad un club ricreativo. Sapendo che 100 soci hanno 30 anni, 63 hanno 40 anni e 37 hanno 50 anni, indicando con X la v.c. età del socio vincitore si individui: la funzione di probabilità di X: " p(x) = x % " i # = # 30 p(x i )' i=1,..., % 0.185' la funzione di ripartizione di X F X 0 se x < 30 0,5 se 30 x < 40 ( x) = % 0,815 se 40 x < 50 ' 1 se x 50 Valore medio: Formula : 3 E[X] = x i p(x i ) = = i=1 Varianza: Formula: definizione di varianza V[X] = E[(X E[X]) 2 ] proprietà usata per il calcolo V[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 dove il momento secondo è definito 3 E[X 2 ] = x 2 i p(x i ) = i=1

4 La variabile X è riconducibile ad una v.c. notevole? NO Se sì a quale? Rispondere agli stessi quesiti di sopra immaginando che l estrazione avvenga in modo truccato così che ai soci più vecchi (quelli di 50 anni) si possa attribuire il doppio della probabilità di estrazione rispetto a tutti gli altri. Imponendo l assioma della norma in modo che i 163 iscritti di 30 e 40 anni abbiano probabilità p e i 37 di 50 anni abbiano probabilità 2p si ha 163 p + 37 p 2 =1 da cui p = pertanto la funzione di probabilità della variabile casuale risulta essere: " p(x) = x % " i # = # 30 p(x i )' i=1,..., % 0.321' Il valore medio E[X]=38.9 Varianza V[X]= Fra i dipendenti di un agenzia bancaria, la percentuale di coloro che desiderano chiedere le ferie nel mese di agosto si stima essere del 56% Scelti casualmente (con rimessa) 4 dipendenti, ed introdotta la v.c. X= numero di soggetti che vorrebbero andare in vacanza ad agosto, fra quelli scelti Siano gli eventi: A={ X 2} B={ X = 1} Calcolare: P(A) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= " = 4 % # 0 '(1 0.56) 4 + " 4 % # 1 ' (1 0.56) 3 + " 4 % # 2 ' (1 0.56) 2 = " 4% P(B) =P(X=1)= ' (1 0.56) 3 = # 1 P(AÈB) =P(A) perché B è contenuto in A E[X] = n θ = = 2.24 V[X] = n θ (1 θ) = (1 0.56) = La variabile X è riconducibile ad una v.c. notevole? SI Se sì a quale? Una variabile casuale Binomiale

5 Quale è la sua funzione di distribuzione di probabilità? " x i % ' p(x i ) = " n % ' θ x i # x i (1 θ)n x i ' # i=1,...,n +1 " r % = " n % ' ' θ r (1 θ) n r ## r ' Da quali parametri è caratterizzata? i parametri sono n=4 e θ = 0.56 Come si può descrivere l esperimento casuale che dà luogo ad una tale variabile? L esperimento consiste in n=4 prove ripetute e indipendenti di un esperimento di tipo bernoulliano con due possibili esiti Successo= dipendente estratto intende chiedere le ferie ad agosto e Insuccesso= dipendente estratto non intende chiedere le ferie ad agosto. Definita la probabilità del successo θ = 0.56 la variabile casuale X conta il numero di successi nelle n prove. r=0,...,n 5. Supposto che l altezza X dei bambini di una scuola materna si distribuisca secondo una v.c. normale di parametri µ = 1 m e s = 0.03 m., estratto a caso un bambino e definiti gli eventi: --- A= il bambino ha altezza tra 0.94m e 1.09m --- B= il bambino è più alto di 1.1m Determinare: P(A)=P(0.94<X<1.09)=P(-2<Z<3)= P(B)=P(X>1.1)=1-P(X<1.1)=1-P(Z<3.33)= P(AÇB)=P(Æ)=0 P(AÈB)=P(A)+P(B)= P(A B) P(A/B)= = P( ), P(B) P(B) = 0

6 # Il 3% dei bambini più alto di: P(X>x*)=0.03 à P Z > x * 1 % ( = ' # à P Z < x * 1 x * % ( = = 0.97 cercando sulle tavole 0.97 si ha = =1.885 da 0.03 ' cui x* = Descrive in dettaglio come è stata calcolata la probabilità di A e perché lo si è fatto in tale modo.