ESERCITAZIONE N. 4 corso di statistica

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1 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 1/15 ESERCITAZIONE N. 4 corso di statistica Marco Picone Università Roma Tre

2 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 2/15 Introduzione Calcolo elementare delle probabilità Probabilità condizionata e teorema di Bayes

3 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 3/15 Calcolo elementare delle probabilità Un esperimento statistico è una prova il cui risultato è incerto. Gli esperimenti statistici elementari sono quelli associati ad un insieme Ω = {ω 1,ω 2,...ω n } di un numero finito di risultati possibili ω. Un qualunque sottoinsieme A di Ω si chiama evento. Un evento A Ω si verifica se il risultato ω dell esperimento è un elemento di A. Ω è un evento certo e è un evento impossibile. 2 Ω è l insieme potenza di Ω, cioè l insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω, inclusi Ω e. Se Ω contiene n risultati possibili, 2 Ω contiene 2 n eventi. Due eventi A e B si dicono incompatibili se A B =, mentre si dicono necessari se A B = Ω. Gli elementi di Ω sono dunque eventi necessari e incompatibili.

4 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 4/15 Calcolo elementare delle probabilità Dato un esperimento statistico elementare con insieme dei risultati possibili Ω, ad ogni evento A 2 Ω si associa una sua misura P(A). La misura P è una funzione definita su 2 Ω che ad ogni A 2 Ω associa un numero positivo. La misura P è una probabilità se soddisfa le due seguenti regole (assiomi del calcolo elementare delle probabilità): 1. P(Ω) = 1 2. se A B =, allora P(A B) = P(A)+P(B).

5 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 5/15 Proprietà della funzione P P(A B) = P(A) P(A B) da cui P(A c ) = P(Ā) = 1 P(A) da cui P( ) = 0 da cui, per ogni evento A, P(A) 1 teorema delle probabilità totali P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) teorema delle probabilità totali generalizzato P(A B C) =P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) P(A B C D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) P(A B) P(A C) P(A D) P(B C) P(B D) P(C D) +P(A B C)+P(A B D)+P(B C D) +P(A C D) P(A B C D)

6 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 6/15 Proprietà della funzione P Nel caso particolare in cui i risultati possibili di un esperimento statistico sono equiprobabili, P(ω) = 1 n, la probabilità di ogni evento A Ω è pari al rapporto tra il numero A degli elementi di A ed n: P(A) = A n.

7 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 7/15 Probabilità condizionata Dati due eventi A e B, con P(B) > 0, si chiama probabilità condizionata di A dato B il rapporto P(A B) = P(A B). P(B) Due eventi si dicono indipendenti se P(A B) = P(A)P(B). Se due eventi sono indipendenti, si ha che P(A B) =P(A) P(B A) =P(B)

8 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 8/15 Teorema di Bayes Supponiamo di aver a che fare con un evento A e con un insieme di eventi incompatibili B 1,B 2...B K, B h B k =. Un applicazione molto importante della definizione della probabilità condizionata è il seguente risultato: la probabilità condizionata di ogni evento B k dato A può essere calcolata conoscendo le probabilità condizionate e marginali degli eventi B k : P(B k A) = P(A B k )P(B k ) K h=1 P(A B h)p(b h ) (Teorema di Bayes)

9 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 9/15 Esercizio Un urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4. La pallina numero 4 è rossa mentre le altre sono blu. Si estrae a caso una pallina dall urna. Calcolare la probabilità 1. che sia blu 2. che sia numerata con 2 o 3 3. che si verifichino entrambi gli eventi ai punti a e b 4. che non si verifichi nessuno degli eventi ai punti a e b 5. che si verifichi solo uno degli eventi ai punti a e b

10 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 10/15 Esercizio Giovanni e Maria devono seguire il corso di statistica. Giovanni decide di frequentare il 40% delle lezioni, mentre Maria decide di mancare al 20% delle lezioni. Decidono inoltre di partecipare insieme al 32% delle lezioni. Si trovi la probabilità che, in una lezione, 1. uno solo dei due sia presente in classe 2. siano entrambi assenti.

11 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 11/15 Esercizio Una lista elettorale si presenta in due regioni A e B, per l elezione del presidente di regione. La probabilità che vinca nella regione A è pari a 0.68, mentre la probabilità che vinca in B è pari a Si calcola che la probabilità che vinca in entrambe le regioni è pari a Si calcoli: 1. la probabilità che vinca in almeno una delle due regioni 2. la probabilità che non vinca in nessuna delle due regioni 3. la probabilità che vinca in una sola regione Soluzione. 1. P(A B) = = P(A B) = P(A B)+P(B A) = = 0.48

12 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 12/15 Esercizio La seguente tabella riporta la distribuzione dei voti ottenuti in un comune dal partito A, classificati secondo l età dell elettore A Ā < dove l evento Ā si riferisce ai voti non ottenuti dal partito allo studio. Supponendo di estrarre casualmente un elettore da tale popolazione, 1. calcolare la probabilità che l elettore abbia meno di 25 anni e voti per un partito diverso da A 2. la probabilità che un elettore con almeno 25 anni non voti per A?

13 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 13/15 Esercizio Nel 2000, la distribuzione di un collettivo di famiglie per classi di spesa bimestrale (in migliaia di euro), per area geografica di residenza e livello di reddito dei genitori (A=alto, B=basso) è stata la seguente: classi di spesa mensile livello reddito area geografica [1-3] (3-4] (4-6] A nord centro sud B nord centro sud Si calcoli la probabilità che, estraendo casualmente una famiglia da tale collettivo, essa spenda più di 3000 euro. 2. E stata estratta una famiglia con un livello di reddito basso: si calcoli la probabilità che essa sia del sud. 3. E stata estratta una famiglia residente al nord: qual è la probabilità che la sua spesa sia inferiore o uguale a 4000 euro?

14 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 14/15 Esercizio Il 10% dei macchinari fabbricati dall azienda A è difettoso, mentre solo il 5% di quelli provenienti dall azienda B è difettoso. Un rivenditore acquista un lotto di macchinari, di cui il 70% dall azienda A e i rimanenti dall azienda B. Qual è la probabilità di acquistare un macchinario difettoso dal rivenditore?

15 ESERCITAZIONE N. 4corso di statistica p. 15/15 Esercizio Da un sondaggio di opinione si sa che il 40% delle elettrici voterà per il candidato A mentre il 60% degli elettori voterà per tale candidato. Durante le elezioni, gli elettori che si recano a votare ad un seggio sono per il 60% uomini. Durante lo spoglio, appare una scheda con il voto a favore del candidato A. Con che probabilità appartiene ad una elettrice?