Calcolo combinatorio minimo.

Transcript

1 Calcolo combinatorio minimo. Ricordiamo (vedi prima lezione) che il numero delle possibili coppie (a i, b j ) con i A e j B è A B. il numero delle n-uple di elementi di un insieme A è A n. il numero di disposizioni in cui si possono disporre n oggetti è n! := n

2 Calcolo combinatorio minimo. il numero dei campioni ordinati senza restituzione di ampiezza k estraibili da una popolazione di n individui è n(n 1)... (n k + 1) il numero di modi in cui si possono estrarre k oggetti su n è ( ) n n! := k k!(n k)!

3 Esempio. Un urna contiene 5 palle Rosse, 4 palle Nere, 3 palle Bianche. Si estraggono due palline assieme. I casi possibili sono le coppie non ordinate di palline. Immaginiamo di identificare ogni pallina con il proprio numero e il proprio colore, ossia Urna = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, N 1, N 2, N 3, N 4, B 1, B 2, B 3 }. In questo caso Ω = {(E i, E j ) con E i E j, E i, E j Urna}. La cardinalità di Ω si calcola osservando che coincide con il numero di modi in cui si possono estrarre 2 oggetti (le palline) su = 12 (numero totale di palline nell urna), ossia Ω = ( 12 2 ) = 12! = = 11 6 = 66. 2!10! 2

4 L evento che escano due bianche è Quindi A = {(B 1, B 2 ), (B 1, B 3 ), (B 2, B 3 )} P(A) = ( 3 12 ) = 3 66 = Si noti che la cardinalità di A coincide con il numero in cui si possono scegliere 2 oggetti su 3, ossia A = ( ) 3 2 = 3! 2!(3 2)! = = 3.

5 Indipendenza Indipendenza stocastica Due eventi A e B sono indipendenti se P(A B) = P(A)P(B) L idea è che pensiamo che l evento A non influisce sull evento B.

6 Indipendenza Riprendendo l esempio del tiro di due monete. Gli eventi A = esce testa al primo tiro e B = esce testa al secondo tiro sono indipendenti, infatti A B = escono due teste ha probabilità 1/4 e P(A B) = 1 4 = = P(A)P(B)

7 Probabilità condizionale Definizione: la probabilità condizionale di A dato B è P(A B) := P(A B) P(B) (se P(B) > 0). Proprietà: 1 se A e B sono indipendenti 2 se P(A) > 0 e P(B) > 0 P(A B) = P(A); P(B A) = P(A B) P(B) P(A) 3 si ha P(A c B) = 1 P(A B).

8 La (1) è ovvia, infatti P(A B) = P(A B)/P(B) = P(A)P(B)/P(B) = P(A). La (2) segue da P(B A) = P(A B) P(A) = P(A B)P(B) P(B)P(A) = P(A B) P(B) P(A) La (3) segue da P(A c B) = P(Ac B) P(B) = P(B) P(A) P(B) = 1 P(A B)

9 Teorema di Bayes Se P(H) > 0 e P(H c ) > 0 P(A) = P(A H)P(H) + P(A H c )P(H c ), P(H A) = P(A H)P(H) P(A H)P(H) + P(A H c )P(H c ).

10 Esempio. Una fabbrica produce televisori in due stabilimenti. La frazione di televisori difettosi nella produzione del primo stabilimento è 1/200 e, nel secondo, 1/100. Nel primo stabilimento si producono 5000 televisori nel secondo I televisori prodotti vengono raccolti assieme in un unico magazzino. a) Qual è la probabilità di prelevare un televisiore proveniente dal primo stabilimento? b) Qual è la probabilità che un televisore prelevato a caso dal magazzino sia difettoso? c) Nell ipotesi che il televisore scelto sia difettoso, qual è la probabilità che esso provenga dal primo stabilimento?

11 a) La probabilità in questo caso non è altro che n.primostabilimento totale = = 1 4. b) D =difettoso, I =primo stabilimento, II =secondo stabilimento P(D) = P(D I )P(I )+P(D II )P(II ) = P(D I )P(I )+P(D II )(1 P(I )) poiché P(D I ) = 1/200 e P(D II ) = 1/100 si ha P(D) = =

12 c) P(I D) = P(D I )P(I ) P(D) = = 1 7

13 Test diagnostici (esempi ) M un paziente preso a caso è malato; S = M c il paziente è sano; T + il test sul paziente risulta positivo; T = (T + ) c il test risulta negativo. Supponiamo di conoscere: P(T + M) (sensibilità), P(T + S) e P(M). Talvolta P(T S) si dice specificità. Si noti (proprietà prob. cond.) che P(T + S) = 1 P(T S)

14 Test diagnostici (esempi ) Allora (teorema di Bayes) P(M T + ) = P(T + M) P(M) P(T + ) = P(T + M)P(M) P(T + M)P(M) + P(T + S)P(S) Si noti che P(S) = 1 P(M). Quindi per determinare P(M T + ) basta conoscere P(T + M), P(T + S) e P(M).

15 Test diagnostici (esempi ) Ad esempio se P(T + M) = 95/100, P(T S) = 9/10, P(M) = 1/1000 si ha P(M T + P(T + M)P(M) ) = P(T + M)P(M) + P(T + S)P(S) = ossia il test fa schifo!!

16 Paragrafo Esercizi: 10.4, 10.6, 10.7, a casa