Statistica e informatica
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- Federico Franchini
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1 Statistica e informatica Probabilità condizionate Francesco Pauli e Nicola Torelli A.A. 2017/2018
2 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 2 / 19
3 Eventi condizionati: esempio Riprendiamo la roulette Scommessa multipla: C: seconda colonna Q: quartina 17,18,20,21 Abbiamo effettuato due puntate: sulla II colonna: C sulla quartina {17, 18, 20, 21}: Q sappiamo che P(C) = 12/37; supponiamo di sapere che è vincente la scommessa sulla quartina (ma non che numero esattamente è uscito) Cambia la mia valutazione della probabilità che C sia vincente? se è vincente la quartina è uscito uno tra 17, 18, 20, 21 se è uscito 17 o 20 è vincente anche la colonna, se è uscito 20 o 21 no Quindi sapendo che è vero Q, la probabilità di C è 1/2. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 3 / 19
4 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 8 e 13 e 9 e 12 e 10 e 11 e 14 e 15 e 16 B S e 19 e 20 e 18 e 17 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 4 / 19
5 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. Ho un nuovo insieme di eventi elementari che comprende solo quelli che costituiscono B. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 13 e 16 e 9 e 15 e 12 e 10 e 11 B e e 14 8 S e 19 e 20 e 18 e 17 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 4 / 19
6 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. Ho un nuovo insieme di eventi elementari che comprende solo quelli che costituiscono B. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 13 e 16 e 9 e 15 e 12 e 10 e 11 B e e 14 8 S e 19 e 20 e 18 e 17 La probabilità di A condizionato a B è P(A B) = A B p i B p i Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 4 / 19
7 Probabilità condizionate Definizione: probabilità condizionata Dati due eventi A e B, la probabilità di A sapendo che è accaduto B si indica con P(A B) ed è pari a P(A B) = P(A B) P(B) In pratica, B diventa l evento certo, quindi A può verificarsi solo se si verifica A B, si divide per P(B) per rinormalizzare. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 5 / 19
8 Probabilità della congiunzione Dall espressione per la probabilità condizionata si ottiene che Probabilità di A B P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) La probabilità che due eventi si verifichino congiuntamente è il prodotto della probabilità che se ne verifichi uno e della probabilità che si verifichi l altro sapendo che si è verificato il primo. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 6 / 19
9 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 7 / 19
10 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 7 / 19
11 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 7 / 19
12 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? la probabilità è 13 qualunque sia la prima 52 P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē1) = la probabilità dipende dal seme della prima P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē 1 ) = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 7 / 19
13 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? la probabilità è 13 qualunque sia la prima 52 P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē1) = Gli eventi E 1 e E 2 sono indipendenti la probabilità dipende dal seme della prima P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē 1 ) = Gli eventi E 1 e E 2 sono dipendenti Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 7 / 19
14 Indipendenza e dipendenza Con reinserimento Senza reinserimento quindi quindi P( ) = = 1 16 = P( ) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 8 / 19
15 Definizione di indipendenza stocastica Definizione: indipendenza stocastica Dati due eventi A e B essi sono indipendenti se e solo se P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) L esito dell uno non influenza la probabilità attribuita all esito del secondo Si noti che potremmo definire l indipendenza dicendo che Definizione: indipendenza stocastica /2 Dati due eventi A e B essi sono indipendenti se e solo se P(A B) = P(A)P(B) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 9 / 19
16 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 I dati (presi da OpenIntroStat) riguardano 6224 persone esposte al virus del vaiolo a Boston nel Di questi, 244 vennero esposti su base volontaria alla malattia in modo controllato dai medici (una specie di vaccinazione ante litteram). È noto poi chi è sopravvissuto all epidemia e chi no. Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
17 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
18 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr) = #Sopr #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
19 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
20 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato? Risp: La probabilità si ottiene come P(Inoc) = #Inoc #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
21 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato e di sopravvivere? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
22 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato e di sopravvivere? Risp: La probabilità si ottiene come P(Inoc Sopr) = #Inoc e Sopr #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
23 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
24 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr Inoc) = P(Inoc Sopr) P(Inoc) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
25 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr Inoc) = P(Inoc Sopr) P(Inoc) Alt: Si noti che la stessa risposta si ottiene come P(Sopr Inoc) = #Inoc Sopr #Inoc = = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
26 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Eserc: Si calcoli P(Sopr non Inoc) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
27 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Eserc: Si calcoli P(Sopr non Inoc) Risp: (0.859) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 10 / 19
28 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 11 / 19
29 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 11 / 19
30 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) x Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 11 / 19
31 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) x Sì No Le nascite sono indipendenti, quindi P(MMMFFF ) = P(M)P(M)P(M)P(F )P(F )P(F ) = 1/2 6 calcolate le altre. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 11 / 19
32 Esempio Sono dati due eventi E 1 ed E 2 tali che P(E 2 ) = 0.7 e P(E 1 E 2 ) = 0.8. Trovare P(E 1 ) nelle seguenti circostanze: a. i due eventi E 1 ed E 2 sono incompatibili; b. i due eventi E 1 ed E 2 sono tali che P(E 1 E 2 ) = 0.55; c. i due eventi E 1 ed E 2 sono indipendenti. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 12 / 19
33 Esempio Un campione di prodotti manufatturieri viene sottoposto a controllo. Si scopre che il 5% ha un difetto di tipo A, il 20% un difetto di tipo B e che il 3% manifesta difetti di entrambi i tipi. Si valuti la probabilità che un prodotto dell azienda a. sia (in qualche modo) difettoso b. abbia il difetto A oppure B ma non entrambi c. abbia il difetto A ma non B d. non sia difettoso Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 13 / 19
34 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A A N A V B B N B V Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 14 / 19
35 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A P(A N)=4/10 P(A V )=1/10 B P(B N)=2/10 P(B V )=3/10 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 14 / 19
36 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A P(A N)=4/10 P(A V )=1/10 B P(B N)=2/10 P(B V )=3/10 P(V )=4/10 P(V ) = P(A V ) + P(B V ) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 14 / 19
37 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 15 / 19
38 Formula delle probabilità totali Nei due esempi sopra si è impiegata, per ricavare la probabilità di un evento E la regola Probabilità totali /1 P(E) = P(H)P(E H) + P( H)P(E H) Per ottenere la probabilità non condizionata dell evento E si sono calcolate le probabilità di E condizionate a due eventi incompatibili e esaustivi (la cui unione dà l evento certo), si sono combinate le due condizionate pesandole per le probabilità degli eventi condizionanti. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 16 / 19
39 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 17 / 19
40 Teorema di Bayes Teorema di Bayes Dati due eventi C e T si ha P(H E) = P(H)P(E H) P(E) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 18 / 19
41 Esempio, test diagnostici L incidenza di tumore alla mammella nella popolazione è l 1%. La mammografia è un comune test diagnostico per la patologia, come tutti i test non è infallibile: nel 10% dei pazienti affetti da tumore al seno il test non lo rileva (falso negativo); d altra parte, il test rileva la malattia nel 10% dei pazienti che non hanno il cancro (falso positivo). Se una donna, presa a caso, viene sottoposta a mamografia e questa fornisce un risultato positivo, qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 19 / 19
42 Esempio, test diagnostici L incidenza di tumore alla mammella nella popolazione è l 1%. La mammografia è un comune test diagnostico per la patologia, come tutti i test non è infallibile: nel 10% dei pazienti affetti da tumore al seno il test non lo rileva (falso negativo); d altra parte, il test rileva la malattia nel 10% dei pazienti che non hanno il cancro (falso positivo). Se una donna, presa a caso, viene sottoposta a mamografia e questa fornisce un risultato positivo, qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate 19 / 19
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