Laboratorio di Statistica e Analisi dei Dati

Transcript

1 Laboratorio di Statistica e Analisi dei Dati Nicolò Campolongo Università degli Studi di Milano [email protected] December 14, 2018 Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

2 Lezione 4 1 Definizioni 2 Probabilità condizionata 3 Probabilità condizionata 4 Indipendenza 5 Esercizi Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

3 Sample space Un esperimento è qualsiasi processo che produce una realizzazione (o osservazione). L insieme di tutte le possibili realizzazioni di un esperimento viene detto sample space ed indicato con S. lancio di 2 monete gara di 3 cavalli (a, b, c) S = {(T, T ), (T, C), (C, T ), (C, C)} S = {tutti i possibili ordinamenti di(a, b, c)} = {(a, b, c), (a, c, b),..., (c, b, a)} Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

4 Eventi lancio di 2 monete S = {(T, T ), (T, C), (C, T ), (C, C)} A = 2 monete uguali A = {(T, T ), (C, C)} B = 2 monete diverse B = A c = {(T, C), (C, T )} gara di 3 cavalli A = cavallo a vincente A = {(a, b, c), (a, c, b)} Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

5 Probabilità - 1 Consideriamo un esperimento con sample space S. Supponiamo che ad ogni evento A sia associato un numero chiamato probabilità di A ed indicato con P(A), che soddisfa le seguenti proprietà: 1 Per ogni evento A, la probabilità di A è un numero tra 0 e 1: 0 P(A) 1 2 La probabilità del sample space S è 1: P(S) = 1 3 La probabilità dell unione di eventi disgiunti è uguale alla somma delle probabilità di tali eventi: P(A B) = P(A) + P(B) Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

6 Probabilità - 2 In generale 2 eventi potrebbero non essere disgiunti. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Esempio: un certo negozio accetta pagamenti o con carte di credito VISA o Mastercard. 1 22% dei clienti ha Mastercard 2 58% dei clienti ha VISA 3 14% dei clienti ha entrambe Qual è la probabilità che un cliente ha almeno una delle 2 carte? P(A) = 0.22, P(B) = 0.58 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0.66 Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

7 Probabilità condizionata - 1 Se alcune informazioni riguardo l esito di un esperimento sono disponibili, parliamo di probabilità condizionata. Esempio: lancio di 2 dadi S = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Probabilità che la somma sia 10 (evento B) sapendo che il primo dado mostra 4 (evento A)? (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) P(B A) = 1/6 Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

8 Probabilità condizionata - 2 In generale, P(B A) = Supponiamo l esito sia in A P(A B) P(A) Per essere anche in B, deve essere in entrambi A e B, cioè in A B Sapendo che A è già accaduto, il nostro nuovo sample space diventa A la probabilità di A B viene calcolata rispetto ad A Nel caso dei dadi: P(B A) = P({(4, 6)}) P({(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}) = 1/36 1/6 = 1 6 Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

9 Indipendenza In generale, sapere che A è accaduto modifica le chance che B accada. Nel caso ciò non avvenga, cioè se P(B A) = P(B), allora i 2 eventi si dicono indipendenti. In questo caso, sapere che A è accaduto non aggiunge alcuna informazione. Siccome P(A B) = P(B A)P(A) Abbiamo che B è indipendente da A se P(A B) = P(B)P(A) Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

10 Esercizi Si consideri il seguente esperimento casuale: si lancia tre volte una moneta. Qual è lo spazio degli esiti di questo esperimento casuale? Si scriva esplicitamente l evento si ottengono più teste che croci 2 Si consideri il seguente esperimento casuale: Si tirano due dadi. Si considerino gli eventi E = la somma dei punteggi è dispari, F = il primo dado realizza un 1 e G = la somma dei punteggi è 5. Si descrivano gli eventi E F, E F, F G, E F c e E F G Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

11 Esercizi Si consideri il seguente esperimento casuale: Un sistema è composto da 4 componenti, ciascuno dei quali o funziona oppure è guasto. Si osserva lo stato dei componenti ottenendo un vettore (x 1, x 2, x 3, x 4 ), dove x i è 1 oppure 0 a seconda che il componente i-esimo funzioni oppure no. 1 Da quanti elementi è formato lo spazio degli esiti? 2 Il sistema nel suo insieme funziona fintantoché entrambi i componenti 1 e 2 oppure entrambi i componenti 3 e 4 funzionano. Specifica tutti gli esiti dell evento il sistema funziona. 3 Sia E l evento i componenti 1 e 3 sono guasti. Quanti esiti contiene? Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

12 Esercizi Si dimostri che in uno spazio degli esiti Ω dotato di una probabilità P, per ogni evento E, F Ω vale la disuguaglianza seguente: P(E F ) P(E) + P(F ) 1 5 Un gruppo di 5 bambini e 10 bambine è in fila in ordine casuale, nel senso che tutte le 15! possibili permutazioni si suppongono equiprobabili. 1 Qual è la probabilità che il quarto della fila sia un bambino? 2 E il dodicesimo? 3 Qual è la probabilità che un determinato bambino occupi la terza posizione? Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

13 Esercizi In un comune vi sono 5 alberghi. Se 3 persone devono scegliere un albergo in cui pernottare, qual è la probabilità che finiscano tutte in alberghi differenti? Che cosa stiamo assumendo senza dirlo esplicitamente? 7 La media del salario annuale di un gruppo di 100 lavoratori impiegati nell amministrazione di una grande azienda è di dollari con una deviazione standard di dollari. Se si prende una persona a caso da questo gruppo cosa possiamo dire sulla probabilità che il suo salario sia 1 tra i e i dollari. 2 superiore a dollari? Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

14 Esercizi In una certa regione vi sono due ditte che producono forni a microonde. Quelli della fabbrica A sono difettosi con probabilità 0.05, mentre quelli della fabbrica B, con probabilità Supponi di aver acquistato due apparecchi prodotti dalla stessa ditta, che può essere la A o la B con probabilità del 50%. Se il primo microonde è difettoso, qual è la probabilità condizionata che sia difettoso anche il secondo? 9 Hai chiesto ad un vicino di innaffiare una piantina delicata mentre sei in vacanza. Pensi che senza acqua la piantina muoia con probabilità 0.8, mentre se innaffiata questa probabilità si ridurrebbe a La tua fiducia che il vicino si ricordi di innaffiarla è del 90%. 1 Qual è la probabilità che la pianta sia ancora viva al tuo ritorno? 2 Se fosse morta, quale sarebbe la probabilità che il vicino si sia dimenticato di innaffiarla? Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15

15 Esercizi Una compagnia di assicurazioni classifica i suoi clienti in tre fasce: basso rischio, medio rischio, alto rischio. Le sue statistiche indicano che le probabilità che un cliente delle tre fasce abbia un incidente entro un periodo di un anno sono rispettivamente 0.05, 0.15, e Se il 20% dei clienti sono a basso rischio, il 50% a medio rischio e il 30% ad alto rischio, che percentuale dei clienti avrà mediamente incidenti in un lasso di un anno? Se un cliente non ha avuto incidenti nel 1987, qual è la probabilità che appartenga a ciascuna delle tre fasce? 11 Se un votante scelto a caso è favorevole ad una certa riforma con probabilità di 0.7, qual è la probabilità che su 10 votanti, esattamente 7 siano favorevoli? Nicolò Campolongo (UniMi) Lezione 4 December 14, / 15