Metodi quantitativi per i mercati finanziari

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1 Metodi quantitativi per i mercati finanziari Esercizi di probabilità Spazi di probabilità Ex. 1 Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Siano A e B sottoinsiemi di Ω tali che A = {numeri pari}, B = {multipli di 3}. 1. Descrivere gli insiemi A B e A B. 2. Descrivere gli insiemi A, B, A\B, B\A. 3. Verificare le leggi di De Morgan. Ex. 2 Si risponda alle stesse domande dell esercizio precedente, con Ω = R, A = {x R : 0 x 3}, B = {x R : 1 < x < 1 oppure x 2}. Ex. 3 Si consideri il lancio di un dado. 1. Si descriva lo spazio Ω degli eventi elementari. 2. Si costruisca l algebra generata dall evento { il risultato del lancio è un numero dispari}. 3. Si costruisca l algebra generata dagli eventi { il risultato del lancio è un numero dispari}, {il risultato è 6}. Ex. 4 Si consideri lo spazio Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }. 1. Si costruisca la più piccola algebra contenente l evento {ω 1, ω 4 }. 2. Si costruisca la più piccola algebra contenente gli eventi {ω 1, ω 4 } e {ω 2 }. 1

2 Ex. 5 Si consideri l esperimento che consiste nel lanciare per 3 volte una moneta. 1. Si descriva lo spazio Ω di tutti i possibili risultati. 2. Si descriva l evento A = { nei primi due lanci è uscito testa } 3. Si descriva l evento B = { sono uscite più teste che croci } 4. L insieme di eventi A = {, Ω, A, B} è un algebra? in caso di risposta negativa, lo si completi con gli eventi mancanti. Ex. 6 Un azienda esercita attività di grossista di una determinata merce. Il prezzo di acquisto della merce per l azienda, a seconda delle condizioni di mercato, potrà essere a fine mese 100, 110, 150. In ogni stato del mondo, l azienda rivenderà la merce a Costruire lo spazio Ω degli stati del mondo (o eventi elementari) relativi al costo della merce per l azienda. 2. Si costruisca l algebra generata dall evento {il profitto per l azienda è positivo}. Ex. 7 Si lanciano due dadi. 1. Si descriva lo spazio di probabilità associato a questo esperimento aleatorio, prendendo come algebra l insieme di tutte le parti di Ω. 2. Si calcoli la probabilità che almeno uno dei due dadi dia come risultato un Si calcoli la probabilità che al più uno dei due dadi dia come risultato un Si calcoli la probabilità che esattamente uno dei due dadi dia come risultato un 6. Ex. 8 Un azienda deve scegliere un nuovo collaboratore (uno ed uno solo) tra 10 possibili candidati. Ogni candidato ha la stessa probabilità p di essere selezionato. 1. Calcolare p. 2. Calcolare la probabilità che venga selezionato uno dei primi tre candidati. 3. Calcolare la probabilità che non venga selezionato nessuno dei primi tre candidati. Ex. 9 Per un abitante di una data regione italiana, la probabilità di possedere un telefono cellulare è di 0.7, mentre quella di possedere un personal computer è 0.8. La probabilità di possedere entrambi gli oggetti è di Qual è la probabilità che un abitante possegga almeno uno dei due oggetti? 2

3 2. Calcolare la probabilità che un abitante non possieda nessuno dei due oggetti. 3. Calcolare la probabilità che un abitante possieda il computer ma non il telefono cellulare. 4. Calcolare la probabilità che un abitante possieda uno solo dei due oggetti. 3

4 Answer (ex. 1) Cominciamo con l osservare che: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12}. 1. A B contiene i numeri che sono pari oppure multipli di 3, quindi A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}. A B contiene i numeri che sono sia pari che multipli di 3, quindi A B = {6, 12}. 2. L insieme complementare di A contiene i numeri non pari, ossia quelli dispari: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. L insieme complementare di B contiene i numeri che non sono multipli di 3: B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}. L insieme A\B contiene i numeri pari che non sono multipli di 3: A\B = {2, 4, 8, 10}. L insieme B\A contiene i numeri multipli di 3 che non sono pari: B\A = {3, 9}. Osserviamo che A\B = A B e B\A = B A. 3. L insieme complementare di A B è A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11} e coincide con A B. L insieme complementare di A B è dato dall insieme dei numeri che non sono né pari né multipli di 3: e coincide con A B. A B = {1, 5, 7, 11} Answer (ex. 2) È utile rappresentare gli insiemi A e B tramite intervalli: A = [0, 3] B = ( 1, 1) [2, + ) 4

5 1. A B contiene i numeri che sono o nel primo o nel secondo intervallo quindi A B = ( 1, + ). A B contiene i numeri che sono sia in A che in B: A B = [0, 1) [2, 3]. Osserviamo che vale la proprietà distributiva di intersezione rispetto a unione: [0, 3] (( 1, 1) [2, + )) = ([0, 3] ( 1, 1)) ([0, 3] [2, + )) 2. L insieme complementare di A contiene i numeri non compresi tra 0 e 3, quindi: A = (, 0) (3, + ). L insieme complementare di B è: B = (, 1] [1, 2). L insieme A\B è dato dagli elementi di A che non sono in B: A\B = [1, 2) Analogamente l insieme B\A contiene gli elementi di B non in A: B\A = ( 1, 0) (3, + ) Osserviamo come nel precedente esercizio che A\B = A B e B\A = B A. 3. Dalla domanda 1., otteniamo subito che: A B = (, 1] che è chiaramente uguale a A B. Inoltre che è uguale a A B. A B = (, 0) [1, 2) (3, + ) Answer (ex. 3) 1. Lo spazio degli esiti elementari è l insieme di tutti i possibili risultati, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. L evento A = { risultato dispari } è il sottoinsieme {1, 3, 5}, quindi la più piccola algebra contenente A è data da A 1 = {, A, A, Ω } = {, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}. 5

6 3. La più piccola algebra contenente i due eventi A = {1, 3, 5} e B = {6} è A 2 = {, A, B, A, B, A B, A B, Ω } = {, {1, 3, 5}, {6}, {2, 4, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 3, 5, 6}, {2, 4}, Ω}. Answer (ex. 4) 1. Sia E = {ω 1, ω 4 }. La più piccola algebra contenente E è A = {, E, E, Ω}. 2. Sia F = {ω 2 }. La più piccola algebra contenente E e F è A = {, E, F, E, F, E F, E F, Ω}, cioè: A = {, {ω 1, ω 4 }, {ω 2 }, {ω 2, ω 3 }, {ω 1, ω 3, ω 4 }, {ω 1, ω 2, ω 4 }, {ω 3 }, Ω} Answer (ex. 5) 1. I possibili risultati dell esperimento in questione sono i seguenti: ω 1 = (T, T, T ) ω 2 = (T, T, C) ω 3 = (T, C, T ) ω 4 = (C, T, T ) ω 5 = (T, C, C) ω 6 = (C, T, C) ω 7 = (C, C, T ) ω 8 = (C, C, C) Quindi lo spazio di tutti gli esiti è 2. L evento A è costituito come segue: L evento B è costituito come segue: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 }. A = {ω 1, ω 2 }. B = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }. 3. L insieme A non è un algebra: ad esempio non contiene l evento A = {ω 3, ω 4, ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 } Per completarlo dobbiamo aggiungere, oltre ad A, i seguenti eventi: B = {ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 }, C = A B = {ω 1, ω 2, ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 }, C = {ω 3, ω 4 } Answer (ex. 6) 1. Lo spazio Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } ha 3 elementi corrispondenti ai 3 possibili prezzi di acquisto della merce: ω 1 corrisponde al prezzo 100, ω 2 corrisponde al prezzo 110 e ω 3 corrisponde al prezzo 150 6

7 2. L azienda ha profitto positivo se il prezzo di vendita della merce (cioè 140) è superiore al prezzo d acquisto, e questo avviene negli stati ω 1, ω 2. Quindi l evento {il profitto per l azienda è positivo} coincide con l insieme {ω 1, ω 2 }. L algebra generata da questo evento è l algebra A = {, {ω 1, ω 2 }, {ω 3 }, Ω}. Answer (ex. 7) 1. Lo spazio degli esiti è dato da tutte le coppie di possibili risultati: Ω = {(i, j) : 1 i, j 6}. L algebra è A = P(Ω). Poiché i risultati sono equiprobabili, assegnamo a ogni coppia la stessa probabilità, dunque P (i, j) = 1 (si tratta di uno spazio di 36 probabilità uniforme). 2. Denotiamo con E l evento { il risultato del primo dado è 6 } = {(6, j) : 1 j 6} e con F = {il risultato del secondo dado è 6 } = {(i, 6) : 1 i 6}. L evento A = { almeno uno dei due dadi ha come risultato 6 } coincide con E F, la cui probabilità è data da: P (A) = P (E F ) = P (E)+P (F ) P (E F ). Poiché P (E) = P (F ) = 6 36 = 1 6 e P (E F ) = P (6, 6) = 1 36, otteniamo P (E F ) = = Avere al più un 6 (ovvero nessun 6 o esattamente un 6) equivale a non aver due 6. Quindi l evento B = { al più un 6 } è il complementare di {(6, 6)} = E F e P (B) = P (E F ) = 1 P (E F ) = = Esattamente un 6 equivale a almeno un 6 ma non due 6. Quindi la probabilità richiesta può essere calcolata come P ((E F )\(E F )) = P (E F ) P (E F ) = = = 5 18 dove la prima eguaglianza segue dal fatto che E F E F. Answer (ex. 8) 1. Definiamo i seguenti eventi: E k = {viene selezionato il candidato k} k = 1,..., 10. 7

8 Si tratta di eventi incompatibili la cui unione è lo spazio di tutti i possibili risultati. Si ha quindi: 1 = P (Ω) = P (E 1 E 2... E 10 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + + P (E 10 ) = 10p da cui segue p = Si tratta di calcolare P (E 1 E 2 E 3 ). Poiché si tratta di eventi incompatibili, si ha P (E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + P (E 3 ) = Si tratta di calcolare P (E 1 E 2 E 3 ). Dalle proprietà degli insiemi (leggi di de Morgan) segue che da cui si ricava subito E 1 E 2 E 3 = E 1 E 2 E 3 P (E 1 E 2 E 3 ) = 1 P (E 1 E 2 E 3 ) = = Answer (ex. 9) Definiamo i due eventi A e B come segue: A = {l abitante possiede il telefonino} B = {l abitante possiede il computer} 1. La probabilità che un abitante possieda entrambi gli oggetti è data da P (A B). Si ha P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = Dobbiamo calcolare P (A B). Dal momento che otteniamo subito A B = A B P (A B) = 1 P (A B) = =

9 3. L evento da considerare è A B. La relazione (A B) (A B) = B e il fatto che i due eventi A B e A B siano incompatibili ci permettono di scrivere: P (A B) + P (A B) = P (B) da cui ricaviamo: P (A B) = P (B) P (A B) = = 0.2. (1) Alternativamente, si poteva anche arrivare subito alla formula (1), ricordando che A B = B\A = B\(A B). 4. L abitante possiede uno solo dei due oggetti se possiede il telefono e non il computer oppure se possiede il computer e non il telefono, quindi l evento in considerazione è dato dall unione dei due eventi (incompatibili tra loro) A B e A B. Abbiamo già calcolato la probabilità del secondo evento; calcoliamo quella del primo in maniera analoga: Concludendo P (A B) = P (A) P (A B) = = 0.1. P ( (A B) (A B) ) = P (A B) + P (A B) = = 0.3. La stessa probabilità poteva essere calcolata come P (A B) P (A B). Infatti l abitante possiede uno solo dei due oggetti se ne possiede almeno uno dei due ma non entrambi. 9