ESERCITAZIONE 5: PROBABILITÀ DISCRETA

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1 ESERCITAZIONE 5: PROBABILITÀ DISCRETA web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Novembre 2012

2 Esercizi 1-2 All esame di Matematica puoi prendere un voto compreso tra 18 e 30 (con lode o senza), oppure essere respinto. a) Qual è lo spazio degli eventi? b) Come rappresenti l evento promosso? c) Qual è l evento complementare all evento voto maggiore di 24? d) Fra gli eventi voto minore di 22, voto maggiore di 22, voto minore di 28, voto maggiore di 28, quali sono incompatibili? Un esperimento aleatorio consiste nel lanciare una moneta non truccata e due dadi a sei facce non truccate. a) Qual è lo spazio degli eventi? b) Cosa cambia se la moneta e il dado sono truccati?

3 Esercizio 3 Possono esistere due eventi A e B di uno spazio degli eventi Ω tali che P (A) = 1/4, P (B) = 2/7 e P (A B) = 9/14? Si ha da cui e sostituendo i valori del testo P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = = = 3 28 si ottiene una probabilità negativa per l intersezione: non possono quindi esistere i due eventi con le probabilità date.

4 Esercizio 3 Possono esistere due eventi A e B di uno spazio degli eventi Ω tali che P (A) = 1/4, P (B) = 2/7 e P (A B) = 9/14? Si ha da cui e sostituendo i valori del testo P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = = = 3 28 si ottiene una probabilità negativa per l intersezione: non possono quindi esistere i due eventi con le probabilità date.

5 Esercizio 4 Siano A e B due eventi con probabilità P (A) = 0.4 e P (B) = 0.1. Determina: a) la probabilità che B non si verifichi; b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo che P (A B) = 0.3; c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi. a) La probabilità che B non si verifichi è la probabilità dell evento B c (complementare di B) quindi P (B c ) = 1 P (B) = = 0.9 b) La probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente è la probabilità dell evento A B quindi, ricordando la formula della probabilità condizionale P (A B) = P (B) P (A B) = = 0.03 c) La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è la probabilità dell evento A B quindi P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 0.47

6 Esercizio 4 Siano A e B due eventi con probabilità P (A) = 0.4 e P (B) = 0.1. Determina: a) la probabilità che B non si verifichi; b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo che P (A B) = 0.3; c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi. a) La probabilità che B non si verifichi è la probabilità dell evento B c (complementare di B) quindi P (B c ) = 1 P (B) = = 0.9 b) La probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente è la probabilità dell evento A B quindi, ricordando la formula della probabilità condizionale P (A B) = P (B) P (A B) = = 0.03 c) La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è la probabilità dell evento A B quindi P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 0.47

7 Esercizi Sia Ω lo spazio degli eventi di un esperimento probabilistico. Sia B Ω un sottoinsieme dello spazio degli eventi. Gli insiemi B e B C sono incompatibili? E indipendenti? Dati due eventi A e B incompatibili, possono essere indipendenti? Ed il viceversa? Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} lo spazio degli eventi del lancio di un dado a 6 facce non truccato. Gli eventi A= risultato pari e B= risultato divisibile per 3 sono indipendenti?

8 Esercizio 8 Un codice di accesso è costituito da 5 cifre che possono essere ripetute. Sia A l evento il codice inizia per 3 e B l evento il codice è un numero pari. Determina se i due eventi A e B sono indipendenti. La probabilità dell evento A è P (A) = 1/10, ovvero corrisponde alla probabilità di scegliere la cifra 3 tra le dieci possibili. La probabilità dell evento B è P (B) = 1/2, ovvero corrisponde a scegliere cinque cifre (quelle che rappresentano numeri pari) tra dieci possibili da piazzare nel posto delle unità (ti ricordo che per identificare un numero pari è sufficiente vedere se è pari il numero delle unità). Calcoliamo la probabilità dell evento intersezione di A e B ( il codice inizia per 3 ed è un numero pari) come rapporto tra numero di codici che soddisfano la condizione e numero di codici possibili: P (A B) = = 1 = P (A) P (B) 20 I due eventi sono quindi indipendenti. Si poteva anche ragionare pensando che il fatto che il codice inizi per 3 non influenza l essere pari o dispari, così come l essere pari o dispari non influisce sul fatto di avere il 3 come cifra iniziale: P (A B) = P (A), P (B A) = P (B).

9 Esercizio 8 Un codice di accesso è costituito da 5 cifre che possono essere ripetute. Sia A l evento il codice inizia per 3 e B l evento il codice è un numero pari. Determina se i due eventi A e B sono indipendenti. La probabilità dell evento A è P (A) = 1/10, ovvero corrisponde alla probabilità di scegliere la cifra 3 tra le dieci possibili. La probabilità dell evento B è P (B) = 1/2, ovvero corrisponde a scegliere cinque cifre (quelle che rappresentano numeri pari) tra dieci possibili da piazzare nel posto delle unità (ti ricordo che per identificare un numero pari è sufficiente vedere se è pari il numero delle unità). Calcoliamo la probabilità dell evento intersezione di A e B ( il codice inizia per 3 ed è un numero pari) come rapporto tra numero di codici che soddisfano la condizione e numero di codici possibili: P (A B) = = 1 = P (A) P (B) 20 I due eventi sono quindi indipendenti. Si poteva anche ragionare pensando che il fatto che il codice inizi per 3 non influenza l essere pari o dispari, così come l essere pari o dispari non influisce sul fatto di avere il 3 come cifra iniziale: P (A B) = P (A), P (B A) = P (B).

10 Esercizio 9 Per procedere all acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una password composta da 4 simboli che possono essere cifre (da 1 a 9, lo 0 è escluso) o lettere (di un alfabeto di 21 lettere). a) Quanti sono i possibili codici? b) Qual è la probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere? E che tutti i simboli siano cifre? c) Qual è la probabilità che un codice preso a caso contenga esattamente due cifre e due lettere? Abbiamo a disposizione 9 cifre e 21 lettere per un totale di 30 simboli. a) I possibili codici, essendo un codice formato da 4 simboli (non necessariamente distinti) sono b) La probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere vale ( ) 21 4 ( ) 30 = ( ) La probabilità che tutti i simboli siano cifre vale ( ) = c) Una sequenza con due lettere e due cifre ha probabilità ( 4 questo tipo ne possiamo costruire 2 ( ) 21 2 ( ) Di sequenze di ) = 6 quindi la probabilità cercata è ( ) 21 2 ( )

11 Esercizio 9 Per procedere all acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una password composta da 4 simboli che possono essere cifre (da 1 a 9, lo 0 è escluso) o lettere (di un alfabeto di 21 lettere). a) Quanti sono i possibili codici? b) Qual è la probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere? E che tutti i simboli siano cifre? c) Qual è la probabilità che un codice preso a caso contenga esattamente due cifre e due lettere? Abbiamo a disposizione 9 cifre e 21 lettere per un totale di 30 simboli. a) I possibili codici, essendo un codice formato da 4 simboli (non necessariamente distinti) sono b) La probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere vale ( ) 21 4 ( ) 30 = ( ) La probabilità che tutti i simboli siano cifre vale ( ) = ( ) 21 2 ( ) Di sequenze di c) Una sequenza con due lettere e due cifre ha probabilità ( 4 questo tipo ne possiamo costruire 2 ) = 6 quindi la probabilità cercata è ( ) 21 2 ( )

12 Esercizio 10 Un sacchetto contiene 15 palline, etichettate con i numeri da 1 a 15. Ne scegli 4 a caso. Calcola la probabilità che: a) le palline scelte siano la 2,3,5,8; b) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8; c) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8, sapendo che la pallina col numero 2 è stata scelta. a) Dato che le palline sono scelte a caso, tutte le possibili selezioni di 4 palline hanno la stessa probabilità di verificarsi. Quindi la probabilità cercata sarà 1/C, dove C è il numero delle possibili selezioni di 4 palline e vale ( ) 15 C = C 15,4 = = b) Il numero di possibili selezioni di 4 palline tra le prime 8 vale ( ) 8 C 8,4 = = 70 4 quindi la probabilità cercata è 70/1365 c) Si deve calcolare una probabilità condizionata. Indicando con A l evento la selezione contiene la pallina etichettata col numero 2 e con B l evento la selezione contiene solo palline con etichette minori o uguali a 8, dobbiamo calcolare P (B A) = P (B A)/P (A). Poiché stiamo usando una distribuzione di probabilità uniforme, la probabilità P (E) di un qualsiasi evento E è data da P (E) = #E/1365, dove #E indica il numero di elementi di E. Quindi P (B A) = #(B A)/#A = C 7,3 /C 14,3 = 35/364.

13 Esercizio 10 Un sacchetto contiene 15 palline, etichettate con i numeri da 1 a 15. Ne scegli 4 a caso. Calcola la probabilità che: a) le palline scelte siano la 2,3,5,8; b) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8; c) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8, sapendo che la pallina col numero 2 è stata scelta. a) Dato che le palline sono scelte a caso, tutte le possibili selezioni di 4 palline hanno la stessa probabilità di verificarsi. Quindi la probabilità cercata sarà 1/C, dove C è il numero delle possibili selezioni di 4 palline e vale ( ) 15 C = C 15,4 = = b) Il numero di possibili selezioni di 4 palline tra le prime 8 vale ( ) 8 C 8,4 = = 70 4 quindi la probabilità cercata è 70/1365 c) Si deve calcolare una probabilità condizionata. Indicando con A l evento la selezione contiene la pallina etichettata col numero 2 e con B l evento la selezione contiene solo palline con etichette minori o uguali a 8, dobbiamo calcolare P (B A) = P (B A)/P (A). Poiché stiamo usando una distribuzione di probabilità uniforme, la probabilità P (E) di un qualsiasi evento E è data da P (E) = #E/1365, dove #E indica il numero di elementi di E. Quindi P (B A) = #(B A)/#A = C 7,3 /C 14,3 = 35/364.

14 Esercizio 11 In un sacchetto ci sono 3 palline rosse, 4 nere e 2 gialle. Si eseguono cinque estrazioni con rimessa. Calcola: a) la probabilità di estrarre esattamente tre gialle; b) la probabilità di estrarre almeno una gialla. P (R) = 3 9 P (N) = 4 9 P (G) = 2 9 a) La probabilità di estrarre esattamente 3 gialle è data da ( 5 P (3 G) = 3 ) ( ) 2 3 ( ) 7 2 = b) P (almeno 1 G) = P (G) + P (2G) + P (3G) + P (4G) + P (5G) ( ) 7 5 P (almeno 1 G) = 1 p(5 G) = 1 9

15 Esercizio 11 In un sacchetto ci sono 3 palline rosse, 4 nere e 2 gialle. Si eseguono cinque estrazioni con rimessa. Calcola: a) la probabilità di estrarre esattamente tre gialle; b) la probabilità di estrarre almeno una gialla. P (R) = 3 9 P (N) = 4 9 P (G) = 2 9 a) La probabilità di estrarre esattamente 3 gialle è data da ( 5 P (3 G) = 3 ) ( ) 2 3 ( ) 7 2 = b) P (almeno 1 G) = P (G) + P (2G) + P (3G) + P (4G) + P (5G) ( ) 7 5 P (almeno 1 G) = 1 p(5 G) = 1 9

16 Esercizio 12 Nel sacchetto A ci sono 6 palline Rosse e 3 Blu, mentre nel sacchetto B ce ne sono 4 Rosse e 5 Blu. Si estrae una pallina dal sacchetto A con probabilità 2/3 e dal sacchetto B con probabilità 1/3. a) Se si estrae una pallina Rossa calcola la probabilità di aver scelto il sacchetto A. b) Si sceglie un sacchetto e da questo si fanno due estrazioni con rimessa. Calcola la probabilità di ottenere 2 palline Blu. c) Si sceglie un sacchetto e da questo si fanno due estrazioni con rimessa ottenendo 2 palline Blu. Calcola la probabilità di aver scelto il sacchetto B.

17 Esercizio 12 Siano P (A) la probabilità di scegliere il sacchetto A, P (B) la probabilità di scegliere il sacchetto B, P (Ro) la probabilità di pescare una pallina Rossa e P (Bl) la probabilità di pescare una pallina Blu: P (A) = 2 3 P (B) = 1 3 P (Ro A) = 6 9 P (Bl A) = 3 9 P (Ro B) = 4 9 P (Bl B) = 5 9 a) Stiamo cercando P (A Ro), ma per poter applicare la formula di Bayes (o della probabilità condizionale) dobbiamo per prima cosa calcolare la probabilità di estrarre una pallina Rossa: P (Ro) = P (A) P (Ro A) + P (B) P (Ro B) = = Adesso possiamo calcolare P (A Ro): P (A) P (Ro A) P (A Ro) = P (Ro) = = 3 4

18 Esercizio 12 b) Si estrae con rimessa, quindi la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore non cambia da un estrazione all altra: P (2Bl) = P (A) P (2Bl A) + P (B) P (2Bl B) ma P (2Bl A) = P (Bl A) 2 quindi P (2Bl) = P (A) P (Bl A) 2 + P (B) P (Bl B) 2 ( ) ( ) 5 2 = 43 = c) In questo caso si utilizza la formula di Bayes sfruttando la probabilità calcolata precedentemente: P (B) P (2Bl B) P (B 2Bl) = P (2Bl) = = 25 43

19 Esercizio 13 Una casa automobilistica rileva che per un suo modello di macchina in produzione si possono presentare due difetti, uno nella carburazione (difetto C) e l altro nell impianto elettrico (difetto E). Il 3% delle macchine presenta il difetto C, e il 7% il difetto E. Dallo studio della procedura di produzione, si riscontra che la presenza di un difetto è indipendente dalla presenza dell altro. a) Qual è la probabilità che una macchina presenti entrambi i difetti? b) Qual è la probabilità che una macchina abbia un difetto? c) Qual è la probabilità che una macchina difettosa presenti il difetto C? d) Qual è la probabilità che una macchina difettosa presenti uno solo dei due difetti? e) Qual è la probabilità che una macchina presenti il difetto E sapendo che ha il difetto C? f) Un analisi più accurata rivela che il difetto E è legato alla presenza nella macchina dell optional O. Per l esattezza, la probabili`ta che una macchina accessoriata con O presenti il difetto E è del 21%, e la probabilità che una macchina con il difetto E sia fornita dell optional O è del 30%. Quale percentuale delle macchine prodotte dalla casa automobilistica sono fornite dell optional O?

20 Esercizi vari 14) Una moneta truccata realizza Croce con probabilità 1/4. Calcola la probabilità di fare almeno 3 Croci in 5 lanci. 15) In un sacchetto ci sono 3 palline Blu e 3 Rosse. Si fanno quattro estrazioni senza rimessa. Calcola la probabilità di ottenere almeno 2 palline Blu. 16) Indichiamo con P (A) la probabilità di un evento A, con P (B) la probabilità di un evento B, infine con P (A B) la probabilità della loro unione. Se P (A) = 2/15, P (B) = 1/5, P (A B) = 4/15, A e B sono incompatibili?