Matematica e Statistica per STB A.A. 2017/2018. Foglio 1

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1 Matematica e Statistica per STB A.A. 2017/2018 Foglio 1 1. Siano A e B due insiemi tali che A = 50, A B = 10, A B = 70. Quanto vale B? 2. Un esperimento consiste nel lanciare un dado a 6 facce e successivamente estrarre una pallina da un urna contenente 4 palline rosse e 6 palline verdi. Vengono osservati la faccia del dado e il colore della pallina. a) Descrivere lo spazio dei campioni associato all esperimento. b) Descrivere l evento E 1 = {numero dispari} c) Descrivere l evento E 2 = {esce una pallina verde} d) Descrivere l evento E 3 = {esce un numero minore di 4} e) Gli eventi E 1 ed E 2 sono incompatibili? f) Gli eventi E 1 ed E 3 sono esaustivi? 3. Si hanno due monete di cui la prima ha una testa ed una croce, mentre la seconda ha una testa su entrambi i lati. Si sceglie a caso una moneta (ad esempio mettendo le due monete in un urna ed estraendone una) e si lancia, ottenendo testa come risultato. Qual è la probabilità che si sia scelta la seconda moneta? Suggerimento: Formalizzate il problema considerando preliminarmente i seguenti eventi E 1 = {si è scelta la prima moneta}, E 2 = {si è scelta la seconda moneta}, A = {dopo il lancio si è ottenuta una testa}. 4. Il 20% dei farmaci prodotti da una casa farmaceutica è stato classificato come dannoso. Se consideriamo i farmaci dannosi, la probabilità che essi contengano una certa sostanza S è pari a 0.7, mentre per i farmaci non dannosi tale probabilità risulta pari al Calcolare la probabilità che un farmaco che contiene la sostanza S sia un farmaco dannoso. 5. Supponiamo che il 90% degli studenti sia stato promosso in matematica, il 75% sia stato promosso in chimica e il 70% sia stato promosso sia in matematica che in chimica. Viene scelto uno studente a caso. Se lo studente è stato promosso in chimica, qual è la probabilità che sia stato promosso in matematica? Se lo studente è stato promosso in matematica, qual è la probabilità che sia stato promosso in chimica? Qual è la probabilità che sia stato promosso sia in matematica che in chimica? 6. Siano A e B due eventi tali che P (A) = 0.5, P (A B) = 0.7. Si determini P (B) nei seguenti casi : 1

2 A e B sono incompatibili A e B sono indipendenti P (A B)= Nella mensa di una scuola vengono preparati 4 primi diversi, 3 secondi diversi e 2 contorni diversi. Quanti pasti diversi possono mangiare i bambini? 8. Tre coppie vanno a teatro insieme. In quanti modi diversi possono sedersi se le coppie siedono accanto? 9. Avete un sacchetto di palline (tutte distinguibili). Ci sono 4 palline blu, 5 verdi e 2 rosse. Estraete dal sacchetto 3 palline a caso. In quanti modi possono uscire: a) Esattamente 1 blu o esattamente 2 verdi? b) Almeno 1 rossa? c) Tutte verdi? d) Esattamente 2 verdi o almeno 1 blu? e) Esattamente 2 verdi o tutte blu? 10. Avete a disposizione 3 libri con la copertina verde tutti differenti e 3 libri con la copertina viola tutti differenti. In quanti modi li potete mettere su uno scaffale di modo che i colori si alternino? 11. Il 60% degli studenti di una scuola non indossano nè anello nè collana. Il 20% porta un anello e il 30% una collana. Se scegliamo uno studente a caso, qual è la probabilità che indossi a) un anello o una collana? b) un anello e una collana? 12. Il 28% degli statunitensi fuma sigarette, il 7% sigari e il 5% sia sigarette che sigari. Se scelgo uno statunitense a caso qual è la probabilità che a) non fumi? b) fumi sigari, ma non sigarette? 13. Un urna contiene 3 palline rosse e 7 nere. Due giocatori A e B estraggono uno alla volta una pallina dall urna, finchè non viene estratta la prima pallina rossa. Qual è la probabilità che A (che è il primo a cominciare) estragga per primo una pallina rossa? 14. Una squadra di basket formata da 3 giocatori (guardia, ala e centro). Se scegliamo un giocatore a caso da 3 squadre, qual è la probabilità che a) venga selezionata una nuova squadra con tutti e tre i ruoli? b) giochino tutti e tre nello stesso ruolo? 2

3 15. Il 98% dei neonati sopravvive al parto. Tuttavia il 15% dei parti sono cesarei e quando si realizza un parto cesareo il neonato sopravvive nel 96% dei casi. Qual è la probabilità condizionata che il neonato di una donna scelta a caso tra quelle che non fanno parto cesareo sopravviva al parto? 16. Uno studente ha intenzione di dare un esame universitario sostenendo tre prove intermedie. Se una di queste non viene superata lo studente non può effettuare la prova successiva. La probabilità che lo studente superi la prima prova è 0.9. Se supera la prima prova, la probabilità condizionata che superi la seconda è 0.8 e se supera la prima e la seconda la probabilità condizionata che superi la terza è 0.7. a) Qual è la probabilità che lo studente superi tutte le prove intermedie? b) Sapendo che lo studente non ha passato una delle prove, qual è la probabilità condizionata che abbia fallito la seconda? 17. Si consideri una popolazione Ω. Sia A il sottoinsieme di Ω degli individui con patologia a. L incidenza della patologia è dell 1%. Sia B l insieme degli individui che risultano positivi ad un test di ricerca per a. La sensibilità del test del 95% e la sua specificità è del 99%. Qual è la probabilità che se il test risulta positivo il soggetto sia affetto dalla patologia a? 18. Una compagnia che produce chip usa due fabbriche. A produce il 60% dei chip; questi chip hanno lo di probabilità di essere difettosi, mentre quelli provenienti da B hanno una corrispondente probabilità uguale a Qual è la probabilità che un dato chip difettoso provenga da A? 19. In quanti modi diversi si possono allineare 7 oggetti a 1...a 7 in modo che nè a 1 nè a 2 siano nei primi due posti? 20. Calcolare il numero dei triangoli aventi come vertici quelli di un quadrato assegnato. 21. Una soluzione omogenea è costituita da 70% di A e 30% di B. Si isola un campione di 10 molecole. Calcolare la probabilità di avere a) 5 A e 5 B? b) 7 A e 3 B? c) almeno 7 A? 22. Un sondaggio rivela che il 32% degli studenti di un università crede nell esistenza di forme di vita extra-terrestri. Qual è la probabilità che, in un gruppo selezionato a caso di 12 studenti, i) esattamente 3 di loro credano nell esistenza di forma di vita extraterrestri? ii) meno di 10 credano nell esistenza di forme di vita extra-terrestri? iii) tra 3 e 5 di loro credano nell esistenza di forme di vita extra-terrestri? 3

4 23. A 1000 ospiti di una struttura alberghiera viene chiesto di esprimere un giudizio sui servizi offerti, usando una scala da 0 a 4. Le risposte ottenute sono riportate nela tabella seguente Giudizio Frequenza Trovarne la media, la moda, la mediana e la varianza dei giudizi espressi. 24. Luca e Paolo hanno raccolto e misurato ciascuno cinque aghi di Larix decidua. I dati sono raccolti in tabella. numero ago lunghezza (cm) aghi di Luca lunghezza (cm) aghi di Paolo 1 1, 3 1, 5 2 1, 4 1, 4 3 1, 5 1, 4 4 1, 3 1, 5 5 1, 3 1, 5 Calcolare: mediana, moda, intervallo di varianza, media, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione e media pesata (dando peso 1 ai dati di Luca e 2 ai dati di Paolo) per i dati solo di Luca, solo di Paolo e di Luca e Paolo messi assieme. 25. Attorno all edificio di biologia ci sono cinque gatti. Le loro caratteristiche sono riportate in tabella. nome del gatto colore del pelo lunghezza del pelo Leo rosso lungo Neve nero corto Poldo rosso corto Luna nero lungo Birba rosso, bianco e nero corto Quali sono le mediane e le mode dei nomi, del colore del pelo e della lunghezza del pelo? 26. a) Fare un esempio di cinque numeri x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 tali che la loro mediana non sia uno degli x i con i {1, 2, 3, 4, 5}. b) Quali sono gli insiemi di quattro numeri x 1 x 2 x 3 x 4 tali che la loro mediana è uno degli x i? 27. In generale c è differenza fra media e mediana? E fra media e mediana di due numeri? 28. Nel corso degli anni sono stati prodotti alcuni modelli di smartphone. Alcune specifiche sono riportate in tabella. 4

5 anno peso (g) superficie frontale (cm 2 ) a) Qual è la media e la varianza del peso? Qual è l intervallo di variabilità degli anni? b) Calcolare le rette di regressione per le coppie anno-peso e annosuperficie frontale e dire se le interpolazioni sono buone. 29. Qual è il coefficiente di correlazione (o di Pearson) per una retta di regressione calcolata per soli due punti generici (x, y) e (x, y ) con x x? 30. Sia P il coefficiente di correlazione (o di Pearson) di un retta di regressione. In generale esistono rette di regressione con i seguenti coefficienti di correlazione (o di Pearson)? a) 1 P b) 1 P 5