ESERCIZI DI PROBABILITA

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1 ESERCIZI DI PROBABILITA Sezione 1. Spazi di Probabilità e Indipendenza. Per convenienza dello studente si danno le risposte di alcuni esercizi. 1) Si consideri lo spazio di probabilità corrispondente alla somma dei risultati di due dadi, e si determini qual è l evento che ha probabilità massima. 2) Un ottaedro regolare, con le facce numerate da 1 a 8, è lanciato a caso in modo che può cadere indifferentemente su ciascuna delle facce. Costruire lo spazio di probabilità, e calcolare la probabilità che l ottaedro caschi su una faccia con indice divisibile per 3. 3) Da un urna che contiene 40 sfere rosse e 30 bianche vengono estratte due sfere, senza restituzione. Calcolare le probabilità degli eventi A = {sono entrambe bianche}, B = { sono dello stesso colore}, C = {sono di colore diverso}. 4) Si lancia quattro volte una moneta, e siano ω = (ω 1,..., ω 4 ) Ω = {T, C} 5 il generico evento elementare. Si considerino gli eventi A 1 = {ω 1 = T }, A 4 = {ω 4 = T }, e B = {n T (ω) n C (ω)}, dove n T, n C sono rispettivamente, i numeri di T e C usciti nei quattro lanci. Si calcolino le probabilità di A 1, A 4, B, nonché di A 1 A 4, A 1 B, A 4 B, A 1 A 2 B c. 5) Si lancia tre volte un dado, e sia ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ) il generico evento elementare. Si calcolino le probabilità degli eventi A 1 = {ω 1 = 3}, A 3 = {ω 3 = 1}, B = {ω 1 + ω 2 + ω 3 = dispari}, nonchè degli eventi A 1 A 3, A 1 B, A 1 B, A 1 A 2 B, e A 3 B c. 6) Si lancia sei volte una moneta. Si calcoli la probabilità che esca almeno tre volte di seguito T. (Suggerimento: si decomponga A in eventi disgiunti: A = A 1 A 2 A 3 A 4, a seconda che la successione di T inizi al primo, al secondo al terzo o al quarto lancio.) 7) Da un urna con 7 sfere nere e 3 bianche si effettuano quattro estrazioni con restituzione. Calcolare la probabilità che si estraggano almeno tre nere di seguito. Qual è il valore più probabile per il numero delle sfere bianche estratte? Ris. i) 0, 4459; ii) 1. 8) Si lancia tre volte una moneta. Con notazione simile all esercizio 4, si considerino gli eventi A 1 = {ω 1 = T }, A 2 = {ω 3 = T } e A 3 = {non compare CT }. Si verifichi che si ha P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ). I tre eventi sono indipendenti? 9) Da un mazzo di carte napoletane ben mescolato vengono estratte quattro carte (senza restituzione). Calcolare la probabilità degli eventi A = {c è almeno un asso}, B = {ci sono esattamente due assi}. 10) Da un mazzo di carte napoletane (40 carte) se ne estrae una a caso. Si considerino gli eventi A = {è un asso}, B = {è denari}, C = {è 5}. Vi sono coppie di eventi indipendenti tra le tre coppie possibili A e B, B e C, A e C? 11) Le urne a e b contengono dieci sfere nere e cinque bianche, mentre l urna c contiene dieci sfere bianche e cinque nere. Si sceglie un urna a caso (probabilità 1/3 ciascuna) e si estraggono due sfere, senza restituzione. Se sono entrambe bianche, qual è la probabilità che si sia scelta l urna c? Ris. 9/13 1

2 12) Da un urna con 7 sfere nere e 4 bianche viene rimossa una sfera a caso. Successivamente si effettua un estrazione. Qual è la probabilità che la sfera estratta sia nera? Se la sfera estratta è nera, qual è la probabilità che la sfera rimossa sia anche nera? Ris. i) 7/11; ii) 0, 6. 13) Una macchina controlla 1000 banconote di cui 10 false. La macchina scarta una banconota falsa con probabilità p 1 = 0, 9, e scarta una buona con probabilità p 2 = 0, 05. i) Presa una banconota a caso nel mazzo, qual è la probabilità che venga scartata? ii) Se una banconota è stata scartata, è più probabile che sia buona o che sia falsa? Ris. i) 0, ) Nell esercizio precedente si effettuano 10 estrazioni dal mazzo di banconote (con restituzione) e ogni volta si passa la banconta alla macchina. i) Qual è la probabilità che venga scartata almeno una banconota? ii) Qual è la probabilità che venga scartata almeno una banconota buona? Ris. Si tratta di 10 prove, e lo spazio di ciascuna prova ha quattro elementi: V 0 = {buona e non passa}, V 1 = {buona e passa}, F 0 = {falsa e non passa}, F 1 = {falsa e passa}. Pertanto: i) 1 (0, 9415) 10 ; ii) 1 (0, 9505) ) Da un urna con due sfere bianche e otto nere due giocatori effettuano a turno estrazioni con restituzione. Vince il giocatore che estrae per primo una sfera bianca. i) Qual è la probabilità che vinca il giocatore che inizia il gioco? ii) Se la prima estratta è nera, qual è la probabilità (condizionata) che vinca il giocatore che inizia il gioco? Ris.: i) 4/7; ii) 3/7. 16) Sono date due urne, A e B: l urna A contiene tre sfere bianche e sette nere, l urna B quattro nere e sei bianche. Si lancia un dado: se il risultato è > 4 si sceglie l urna A, altrimenti si sceglie l urna B. Dall urna scelta si estrae una sfera. i) Qual è la probabilità che la sfera sia bianca? ii) Se la sfera estratta è bianca, qual è la probabilità che sia stata scelta l urna A? 17) Nello schema di Bernoulli con Ω = {0, 1} e p(1) = 1/3, si calcoli la probabilità che nelle prime cinque prove su abbiano due 1, ma non consecutivi. Ris. 6(1/3) 2 (2/3) 3 = 16/81. 18) Nello schema di Bernoulli dell esercizio precedente si consideri la variabile casuale τ, tempo di prima comparsa della successione 01: τ = min{k : ω k = 0, ω k+1 = 1}. i) Qual è la probabilità degli eventi A = {τ 3}, B = {τ = 3}. ii) A e B sono indipendenti dall evento ω 1 = 0? Ris. i) P(A) = 50/81, P(B) = 14/81. 19) Si consideri la probabilità continua uniforme sull intervallo I = [0, 2]. Calcolare la probabilità degli eventi A = [0, 1] e B = [0, 1 2 ] [3 2, 2] e stabilire se sono indipendenti. 20) Si consideri la probabilità continua nell intervallo I = [0, 1] con densità p(x) = 2x. Calcolare la probabilità degli eventi A = [0, 1 2 ] e B = [0, 1 4 ] [3 4, 1] e stabilire se sono indipendenti. 2

3 Sezione 2. Variabili casuali. 1) Distribuzione ipergeometrica. Un urna contiene M sfere bianche ed N nere. Si estraggono contemporaneamente k sfere. Se N b designa il numero delle sfere bianche tra le k estratte, la distribuzione di N b è data dalla formula P(N b = h) = ( N M ) h)( k h ), (1) ( M+N k e prende il nome di distribuzione ipergeometrica. Dimostrare la formula (1) usando la formula binomiale, e controllare che si tratti di una probabilità, cioè che k h=0 P(N b = h) = 1. Suggerimento: usare la nota relazione ( ) M+N k ( k = N M h=0 h)( k h). 2) Si lanciano tre monete, e siano N T e N C il numero di teste (T) e croci (C). Si trovino la distribuzioni delle variabili casuali ξ = N T N C e di η = N T ) Si lanciano due dadi, e siano ω i {1, 2,..., 6} i risultati. Si trovi la distribuzione delle variabile casuali ξ = ω 1 ω 2 e η = ω 1 ω 2. 4) Nel caso del lancio di due dadi dell esercizio precedente, si trovi: i) la probabilità dell evento {ω 2 > ω 1 }; ii) la distribuzione della variabile casuale ξ = max{ω 1, ω 2 }. Ris. i) 5/12. 5) Si consideri la probabilità continua uniforme sull intervallo I = [ 1, 1], e sia data la variabile casuale ξ(ω) = ω 2, ω I. i) Si calcoli la probabilità P(ξ > 1 2 ); ii) si trovi la funzione di distribuzione di ξ. Ris. i) 1 1/ 2. 6) Si lancia un dado: se il risultato è maggiore di 4 si sceglie un urna a contenente tre sfere bianche e sei nere, altrimenti si sceglie l urna b, con tre sfere nere e sei bianche. Dall urna scelta si estrae una sfera, e l estrazione si ripete tre volte, con restituzione. i) Qual è la distribuzione del numero N b delle sfere bianche nelle tre estrazioni? ii)trovare il valor medio e la varianza di N b. Ris. ii) M(N b ) = 5/3. 7) La variabile casuale ξ è uniformemente distribuita sull intervallo [ π, π]. i) Trovare il valor medio e la varianza della nuova variabile casuale η = cos ξ. ii) Si trovi il valor medio condizionato di η sotto la condizione B = {ξ [0, π/2]}. Ris. i) M(η) = 0; ii) M(η B) = 1/2π. 8) Un negozio vende frigoriferi che per 2/3 provengono da una fabbrica a e per 1/3 da una fabbrica b, ed hanno tempi di funzionamento esponenziali con media, rispettivamente, τ a = 3 anni, e τ b = 5 anni. Un cliente acquista un frigorifero a caso. i) Qual è la probabilità che il frigorifero acquistato funzioni per almeno 6 anni? ii) Qual è il tempo medio di funzionamento del frigorifero acquistato? Ris. ii) 11/3 (in anni). 9) Nello spazio di probabilità costituito dall intervallo [ 1, 1] con probabilità continua con densità p(x) = x si considerino le variabili casuali ξ(x) = 1/ x e η(x) = x. Calcolarne i valori medi e le varianze. 3

4 Ris. M(ξ) = 2/3, Var (ξ) = 5/9. 10) Le variabili casuali indipendenti ξ ed η hanno la stessa distribuzione geometrica: P(ξ = k) = P(η = k) = pq k 1, k = 1, 2,..., dove p + q = 1. Trovare le probabilità: i)p(ξ = η); ii) P(ξ > η), iii) P(ξ = k ξ = η). p Ris. i) 2 p ; ii) q 2 p. 11) Con le stesse variabili casuali del precedente esercizio, trovare la distribuzione della variabile casuale ξ + η, e le probabiltà: i) P(ξ = k ξ > η); ii) P(ξ = k ξ < η), k = 2, 3,...; iii) P(ξ = k ξ + η = l), l k ) Tornando all esercizio 2, si trovi la distribuzione congiunta delle variabili casuali ξ = N T N C e di η = N T + 1 e se ne calcoli la covarianza. Ris. cov(ξ, η) = 0. 13) Da un urna con quattro sfere bianche e sei nere si effettuano tre estrazioni con restituzione. Sia ξ il numero di sfere bianche estratte nella prima e seconda estrazione, e η il numero di sfere nere nella seconda e terza estrazione. Si calcoli la covarianza di ξ ed η e il coefficiente di correlazione. 14) Da un urna con due sfere bianche e tre nere si sottrae una sfera a caso senza registrare il colore. Dalle rimanenti si effettuano due estrazioni con restituzione, e sia ξ il numero delle sfere bianche estratte (nelle due estrazioni). Calcolare il valor medio e la varianza di ξ. Ris. M(ξ) = 4/5. 15) Distanza di punti a caso. Siano ξ 1 e ξ 2 due punti distribuiti uniformemente sull intervallo I = [0, 1] e si consideri la variabile casuale corrispondente alla loro distanza η = ξ 1 ξ 2. Si calcoli la funzione di distribuzione e il valor medio di η. (Suggerimento: per la F η si usi una costruzione geometrica. Ris. F η (x) = x(2x 1), M(η) = 1/3. 16) Le variabili casuali η j, j = 1, 2, 3 sono indipendenti ed egualmente distribuite con valori in Ω = {0, 1} e distribuzione uniforme P(η j = 1) = 1/3. Si considerino le nuove variabili casuali ξ 1 = η 1 η 2 e ξ 2 = η 2 η 3, e se ne trovi la distribuzione congiunta. 17) Un call center è collegato con due bacini d utenza a e b. In una data ora di servizio il numero di chiamate dai due bacini è descritto rispettivamente dalle variabili poissoniane indipendenti ξ a, ξ b, con medie ρ a = 3 e ρ b = 2. Sia η il numero totale delle chiamate. i) Qual è la probabilità che sia η = 0? ii) Qual è il valor medio di η sotto la condizione che ξ a 2? Ris. i) e 5. 18) Si abbiano due frigoriferi, i cui tempi di funzionamento τ i, i = 1, 2, sono variabili casuali indipendenti e con la stessa distribuzione esponenziale di valor medio M(τ i ) = 1 anno, i = 1, 2. Si consideri la variabile casuale ξ = max{τ i : i = 1, 2} (massimo dei tempi di funzionamento) e se ne trovi la funzione di distribuzione e il valor medio. Ris. F ξ (x) = (1 e x ) 2, M(ξ) = 3/2. 19) Si lancia un dado ripetutamente e sia ω = (ω 1, ω 2,...) il generico evento elementare. Si considerino le variabili casuali τ 1 = min{k : ω k = 3} e τ 2 = min{k > τ 1 : 4

5 ω k = 3} che corrispondono ai tempi (misurati in numero di lanci) della prima e seconda comparsa del risultato 3. i) Si trovi la distribuzione di τ 2 sotto la condizione τ 1 = j, per un generico valore di j = 2, 3,..., nonchè la distribuzione di τ 1 sotto la condizione τ 2 = 4. ii) Si trovino la distribuzione e il valor medio di τ 2. Ris. ii) P(τ 2 = k) = p 2 (k 1)q k 2, k = 2, 3,..., M(τ 2 ) = 2/p, p = 1/6, p + q = 1. 20) Un call center in una certa ora del giorno può ricevere le chiamate da due bacini di utenza, a e b. Per ciascun bacino in un dato giorno il collegamento può essere indipendentemente presente o assente (per tutta l ora) con probabilità 1/2. Se il collegamento è assente non arrivano chiamate dal dato bacino. Il numero delle chiamate provenienti dai due bacini è descritto da variabili poissoniane indipendenti con medie, rispettivamente, ρ a = 1 e ρ b = 2. i) Qual è la probabilità che nella data ora il call center non riceva chiamate? ii) Qual è il valor medio del numero delle chiamate nella data ora? 5