ESERCIZI. Gli esercizi di maggiore difficoltà sono contrassegnati con un asterisco. 1. SPAZI DI PROBABILITA.

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1 ESERCIZI Gli esercizi di maggiore difficoltà sono contrassegnati con un asterisco.. SPAZI DI PROBABILITA.. Si consideri lo spazio di probabilità finito corrispondente alla somma dei risultati di due dadi costruito nell esempio del., e si determini qual è l evento elementare che ha probabilità massima.. Un ottaedro regolare, con le facce numerate da a 8, è lanciato a caso in modo che può cadere indifferentemente su ciascuna delle facce. Costruire lo spazio di probabilità, e calcolare la probabilità che l ottaedro caschi su una faccia con indice divisibile per.. Da un urna che contiene 40 sfere rosse e 0 bianche vengono estratte in successione due sfere a caso, con restituzione dopo la prima estrazione. Calcolare le probabilità degli eventi A = {sono entrambe bianche}, B = { sono dello stesso colore}. 4. Da un mazzo di carte napoletane ben mescolato vengono estratte quattro carte (senza restituzione). Calcolare la probabilità degli eventi A = {almeno una delle quattro è un asso }, B = {due e non più sono assi }. 5. Ancora da un mazzo di carte napoletane ben mescolato vengono estratte due carte in successione, con restituzione. Calcolare la probabilità degli eventi A = { almeno una delle due è un asso }, B = {una sola delle due è un asso }. 6. Da un urna con a sfere bianche e b sfere nere ne vengono estratte in successione due, senza restituzione. Qual è la probabilità che la seconda estratta sia bianca? 7*. Da un urna che contiene n sfere bianche e n sfere nere si estraggono due sfere senza restituzione. Per quali valori di n,n la probabilità che siano di colore diverso supera la probabilità che siano dello stesso colore? 8. Si estraggono due numeri a caso tra i primi 0: {,,...,0}, senza restituzione. Detti n,n gli estratti, nell ordine, trovare la probabilità dell evento {n n > }. 9. Da cento carte ciascuna delle quali riporta due cifre j j, con j,j =0,,...,9se ne estrae una a caso. Posto ξ = j +j e ξ = j j, trovare la probabilità P (ξ = ξ = 0). ( Suggerimento: i simboli possono ordinarsi come 00, 0,...,98, 99. ) 0. Da un urna con 0 sfere bianche e 40 nere si effettuano 4 estrazioni, con restituzione. Calcolare la probabilità degli eventi: A = {le sfere estratte sono tutte nere}, B = {la prima sfera bianca estratta è la quarta}.. Da un mazzo di carte napoletane se ne estrae una a caso. Si considerino gli eventi A = {è un asso}, B = {è denari}, C = {è 5}. Vi sono coppie di eventi indipendenti tra le tre coppie possibili A e B, B e C, A e C?. A e B giocano un terno a lotto sulla ruota di Napoli: A gioca 5, 40, 8 e B gioca 4, 7, 5. Se A vince, qual è la probabilità (condizionale) che B abbia anche vinto? (Nota. Il gioco del lotto consiste nell estrazione di 5 numeri da 90. Si richiede la probabilità di vincita di B conoscendo la vincita di A.)

2 . Una scatola contiene 0 semi, di cui 7 di provenienza a e germinabilità (=probabilità di germinare) p a =0, 9 e di provenienza b e germinabilità p b =0, 6. Si prende un seme a caso e lo si semina. i) Qual è la probabilità che germini? ii) Se non germina, qual è la probabilità (a posteriori) che sia di provenienza a? 4. Sono date due urne: l urna A contiene tre sfere bianche e sette nere, l urna B quattro nere e sei bianche. Si lancia un dado: se il risultato è > 4 si sceglie l urna A, altrimenti si sceglie l urna B. Dall urna scelta si estrae una sfera. i) Qual è la probabilità che la sfera sia bianca? ii) Se la sfera estratta è bianca, qual è la probabilità che sia stata scelta l urna A? 5. Sono date due urne: l urna A contiene otto sfere nere e quattro bianche, e l urna B otto sfere bianche e quattro nere. Si lancia una moneta: se viene testa si sceglie A, e se viene croce si sceglie B. Dall urna scelta si effettuano due estrazioni, con restituzione. i) Qual è la probabilità che una sola sfera estratta sia bianca? ii) Se una sola sfera estratta è bianca, qual è la probabilità che venga dall urna B? 6. Si lancia tre volte una moneta. Qual è la probabilità di avere almeno due volte testa di seguito? 7*. (Distribuzione ipergeometrica.) Un urna contiene N sfere bianche e M sfere nere. Si estraggono k sfere, senza restituzione. Dimostrare che la probabilità che tra di loro ce ne siano h bianche è ( )( )( ) N M M + N P (X = h) =. h k h k Si mostri anche che se N,M crescono, N, M, in modo che esista il limite p (0, ), la probabilità tende alla probabilità binomiale. N M+N 8. Si calcoli la probabilità che, lanciando una moneta sei volte, esca almeno tre volte di seguito testa. (Suggerimento: si decomponga A in eventi disgiunti, a seconda che la successione di almeno tre T inizi al primo, al secondo al terzo o al quarto lancio.) 9. Nello schema di Bernoulli dell esempio al.7 si calcoli la probabilità che nelle prime quattro prove su abbiano due, ma non consecutivi. 0. Si consideri la probabilità uniforme sull intervallo I =[0, ]. Calcolare la probabilità degli eventi A =[0, ] e B =[0, ] [, ] e stabilire se sono indipendenti.. Si consideri la probabilità continua sull intervallo I =[0, ] con densità p(x) = x. Calcolare la probabilità degli eventi A =[0, ]eb =[0, 4 ] [ 4, ] e stabilire se sono indipendenti.. Si consideri nel piano cartesiano la probabilità uniforme nel triangolo rettangolo T con vertici nell origine O e nei punti P =(, 0),P =(0, ). Calcolare la probabilità degli eventi A = {(x, y) T :0 x } e B = {(x, y) T : x y}.. Per quale valore del parametro a la funzione p(x) =a(x ) è una densità di probabilità continua sull intervallo I =[0, ]? Per il valore trovato di a si calcoli la probabilità dell evento A =[0, ].

3 . VARIABILI CASUALI E LORO PROPRIETA.. Si lanciano di due dadi, sia (ω,ω ) il generico evento elementare. Si trovi la distribuzione della variabile casuale ξ = ω ω.. Nello stesso caso dell esercizio precedente si trovi la distribuzione della variabile casuale η = ω ω.. Si consideri la probabilità continua uniforme nell intervallo I =[, ], e la variabile casuale ξ(x) =x, x I. Trovare la probabilità P ({ξ > }) e la probabilità condizionata P ({ξ > } B), con B =[0, ]. 4. Un giocatore scommette un euro su un evento di probabilità p =, che, in caso di vincita rende due volte la posta. Se perde gioca di nuovo raddoppiando la posta fino alla prima vincita. Calcolare il valor medio del numero delle giocate e della vincita. 5*. Nel caso dell esercizio precedente, si assuma che il banco ammetta una puntata massima di k euro, k =,, per cui il gioco si arresta alla k + -esima giocata se non si vince prima. Calcolare la vincita (o perdita) media del giocatore. 6. Si lancia tre volte un dado e siano N,N, rispettivamente il numero dei risultati pari e il numero dei risultati multipli di tre. Si consideri la variabile casuale ξ = N + N e se ne calcoli la distribuzione e il valor medio. 7. Silancia tre volte una moneta (equilibrata), e si consideri la variabile casuale ξ = N T N C, dove N T,N C sono rispettivamente il numero di teste e croci che risultano dai lanci. Si calcolino il valor medio e la dispersione di ξ. 8. Si calcolino valor medio e varianza della variabile casuale ξ(x) = x definita nell intervallo I =[0, ] con densità p(x) = x. 9. La variabile casuale ξ sia uniformemente distribuita sull intervallo [ π, π]. Si calcoli il valor medio e la dispersione della nuova variabile casuale η = cos ξ sotto la condizione B = {ξ >0}. 0. Nell intervallo I =[, ] con probabilità continua uniforme, si considerino le variabili casuali ξ(x) =x e η(x) = x. Calcolare i valori medi e le variaze, e i valori medi condizionati M(η ξ <0), M(η ξ > ).. Si trovino valori medi e varianze delle variabili casuali ξ,η nell intervallo I = [, ] dell esercizio precedente, ma per la probabilità continua di densità p(x) = x.. Si lanciano tre monete, e siano N T e N C il numero di teste e croci. Si trovi la distribuzione congiunta delle variabili casuali ξ = N T N C e η = N T +.. Le variabili casuali η j, sono indipendenti, con valori η j = {0, }, perj =,,, ed hanno la stessa distribuzione: P (η j =)=. Si considerino le nuove variabili casuali date dai prodotti ξ = η η, ξ = η η. Trovare la distribuzione congiunta di ξ e ξ. 4. Due variabili casuali ξ,ξ, sono indipendenti ed hanno la stessa distribuzione poissoniana con valor medio ρ. Trovare un espressione per la probabilità dell evento E = {ξ = ξ }. 5. Trovare la covarianza e il coefficiente di correlazione delle variabli ξ ed η introdotte negli esercizi 0 e.

4 6. Si piantano sei semi di una varietà A con germinabilità (probabilità di germinare) p A =0, 7 e quattro di una varietà B con germinabilità p B =0, 9, e siano N A,N B il numero di semi germinati della varietà AeB. Assumendo che i semi germinino indipendentemente, calcolare il valor medio e la varianza delle variabili casuali ξ = N A +N B ed η = N A N B, e la covarianza cov (N A,N B ). 7. Cinque frigoriferi hanno un tempo di funzionamento esponenziale con valor medio anno. Assumendo che i tempi di funzionamento siano indipendenti, calcolare la probabilità che nei primi sei mesi non se ne rompa nessuno. 8. Siano ξ,ξ due variabili casuali indipendenti ed egualmente distribuite con distribuzione poissoniana di parametro ρ. Posto η = ξ +ξ si calcoli la probabilità condizionata P (ξ = η = 9) e il valor medio condizionato M(ξ η = 9). 9. Nello spazio di probabilità dell esercizio 9 si consideri oltre alla variabile η anche la variabile casuale ζ = sin ξ. Calcolare il coefficiente di correlazione ρ(ζ,η). 0*. (Distanza di due punti a caso.) Due punti a caso nell intervallo I =[0, ] sono rappresentati da due variabili casuali ξ,η indipendenti che prendono valori in I con distribuzione uniforme. Calcolare la loro distanza media (cioè la media di ζ = ξ η ).. (Errori di misura.) Si pesa un corpo di massa ignota, con procedimento tale che si può assumere che l errore in ciascuna pesata (la differenza tra la pesata e il valore vero p del peso del corpo) sia indipendente dalle altre pesate e abbia distribuzione gaussiana di media nulla e una certa varianza σ. Si effettuano n pesate e siano X,X,...,X n i risultati ottenuti. Per valutare p si effettua la media empirica Y (n) = n n j= X j. Calcolare il valor medio e la dispersione di Y (n).. SCHEMI DI BERNOULLI E CATENE DI MARKOV.. Nello schema di Bernoulli con spazio degli stati Ω ={0,, } e probabilità p() =, detto ω =(ω,ω,...) il generico evento elementare, si considerino le nuove variabili casuali ξ k = ω k ( ω k ), k =,,... Trovare la distribuzione delle variabili ξ k e stabilire se la successione ξ,ξ,... costituisce un nuovo schema di Bernoulli.. Nello schema di Bernoulli con spazio degli stati Ω ={0, } e probabilità p() = p =, consideriamo la variabile casuale τ = min{k : ω k =}. Trovare la distribuzione di τ, il suo valor medio M(τ), e il valor medio condizionato M(τ ω = ).. Nello schema di Bernoulli ( Ω, F, ) con spazio degli stati Ω = {, 0, } e probabilità uniforme p(±) = p(0) =, sia ω =(ω,ω,...) l evento elementare generico e si considerino le nuove variabili casuali ξ j (ω) =ω j ω j, j =,,... i) Le nuove variabili ξ j costituiscono ancora uno schema di Bernoulli? ii) Calcolare la media e la varianza della somma S 4 = 4 j= ξ j. 4. Nello schema di Bernoulli con spazio degli stati Ω ={0, } ed eguali probabilità p() =, detto ω =(ω,ω,...) il generico evento elementare si consideri la variabile 4

5 casuale τ = min{k : ω k = ω k+ = } che dà il primo tempo di comparsa di due successivi. Si calcolino le probabilità P (τ =)ep (τ = ω = 0). 5. Nello stesso schema di Bernoulli dell esercizio si consideri la variabile casuale τ = min{k : ω k = ω k+ =}, il primo tempo di comparsa della successione. i) Si calcoli la probabilità dell evento A = {τ }. ii) L evento {ω =0} è indipendente da A? 6. Data la catena stazionaria con matrice stocastica P = 0 0 determinare, se ve ne sono, gli stati inessenziali, e le classi di stati essenziali tra loro comunicanti. (Suggerimento: si disegni il grafo associato alla catena.) 7. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati Ω ={,, }, probabilità iniziale µ 0 () = 4,µ 0() =,µ 0() = 4 e matrice stocastica P = Data la catena di Markov (ergodica) con matrice stocastica determinare la probabilità invariante π. P = ( 7. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati X = {,,, 4} e matrice di transizione 0 P = 0, 0 e sia ω =(x 0,x,x,...) la successione degli stati. i) Individuare, se ve ne sono, gli stati inessenziali e le classi di stati essenziali comunicanti. ii) Se la probabilità iniziale è µ 0 =(, 0,, 0), calcolare la probabilità P (x = 4). ) 5