Esercizi di riepilogo Lezioni

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1 Esercizi di riepilogo Lezioni

2 Es1: Statistiche del secondo ordine [Pap, 9-2] Si ha un processo X con Determinare media, varianza, e covarianza delle v.a. Z=X(5) e W=X(8) Il processo X è stazionario? Il processo X è ergodico? 2

3 Es2: Processo stazionario [Pap, Es. 9-13] Stabilire condizioni necessarie e sufficienti per la stazionarietà in senso lato del processo X dove 3

4 Es3: Processo Gaussiano [Pap, 9-10] Si ha un processo X Gaussiano con Trovare Trovare 4

5 Es4: Quadrato di un processo Gaussiano [Bel, Es. 3.5] Se X è un processo Gaussiano stazionario a valore medio nullo, si calcoli l autocorrelazione di Y, dove Suggerimento: si usi il teorema di Isserlis 5

6 Es5: Derivata di un processo staz. [Bel, Es. 3.6] Sia la derivata rispetto al tempo di, e sia X un processo stazionario. Si mostri che 6

7 Es6: Statistiche del secondo ordine [Bel, Es. 3.9] X e Y sono due processi Gaussiani indipendenti con valor medio nullo e potenza Si calcolino valor medio e potenza di Z, dove 7

8 Es7: Processo Gaussiano [Bel, Es. 3.10] Sia X un processo Gaussiano con valor medio nullo. Si calcoli e si mostri che è indipendente dalla potenza del processo. 8

9 Es8: Romeo e Giulietta Giulietta arriva tardi agli appuntamenti con Romeo con un tempo casuale X, uniformemente distribuito in. Il parametro non è noto ed è modellizzato come il valore assunto da una v.a. uniformemente distribuita da 0 a 1 ora a) Assumendo che Giulietta sia arrivata in ritardo di una quantità x al primo appuntamento, Romeo come dovrebbe usare questa informazione per aggiornare la distribuzione di? b) Se Romeo osserva dei ritardi nei primi n appuntamenti, come dovrebbe aggiornare la ddp di? Qui si assuma che Giulietta sia in ritardo di tempi casuali dove, dato, tutti i ritardi sono iid uniformi tra 0 e 9

10 Es8: Romeo e Giulietta c) Trovare la stima MAP di basata sull osservazione di X=x d) Trovare la stima LMS di basata sull osservazione di X=x e) Si calcolino gli errori quadratici medi condizionati per le stime MAP e LMS. Si confrontino i risultati. f) Si derivi lo stimatore LMS di basato su X g) Si calcoli l errore quadratico medio condizionato dello stimatore LMS lineare. Si confronti il risultato con quello del punto e). 10

11 Es9: Inferenza della media di Gaussiane Si osserva un insieme di dati che hanno una media uguale a e che si vuole stimare. Si assuma che, dato il valore della media, le v.a. siano Gaussiane e indipendenti con varianze note La distribuzione a priori della media è Determinare la distribuzione a posteriori di, la stima MAP e la stima LMS Determinare la stima LMS lineare 11

12 Es10: Scatole Ci sono 2 scatole, ognuna contenenti 3 palline: una nera e due bianche nella scatola 1, due nere e una bianca nella scatola 2 Si sceglie una scatola a caso, dove la prob. di scegliere la scatola 1 è p, dopodiché si estrae una pallina a caso dalla scatola. a) La descriva la stima MAP per la decisione dell identità della scatola basata sul fatto che la pallina estratta sia nera o bianca b) Assumendo che p=0.5, si trovi la prob. di non riconoscere la scatola giusta, e confrontarla con la prob. di non riconoscere la scatola prima di aver effettuato l estrazione della pallina. 12

13 Es11: Autovelox Un autovelox sovrastima sempre la velocità delle auto di una quantità che è uniformemente distribuita tra 0 e 5 km/h. Si assuma che le auto viaggino ad una velocità uniformemente distribuita tra 55 e 75 km/h. Qual è la stima LMS della velocità di un auto basata sulla misura dell autovelox? 13