Analisi della disponibilità d acqua. Valutazione dell impianto attraverso il calcolo di un indice economico (criterio)

Transcript

1 Analisi della disponibilità d acqua Valutazione dell impianto attraverso il calcolo di un indice economico (criterio) Approccio diverso a seconda del criterio di valutazione Nel caso di criterio statistico di facile stima (perché l evento a cui si riferisce il criterio si osserva abbastanza frequentemente): semplice simulazione del funzionamento dell impianto nell intero periodo di osservazione Nel caso di criterio statistico di stima più difficile (perché l evento a cui si riferisce il criterio non si osserva abbastanza frequentemente): ricorso al metodo Montecarlo

2

3

4 Processi stocastici Spesso la distribuzione delle grandezze idrologiche non è costante nel tempo. Cause del fenomeno: periodicità stagionale persistenza trend (tendenza) La variazione delle cause fisiche produce: periodicità stagionale trend Il perdurare delle cause o degli effetti produce: persistenza

5

6 x = f(t) (0, T) f 1 (t), f 2 (t),, f i (t), f(t) coincide, a caso, con f 1 (t), f 2 (t),, f i (t), La variabile x prende il nome di processo stocastico. t è il parametro del processo stocastico. f i (t) è una realizzazione del processo stocastico. Usualmente il parametro t coincide con il tempo. La dipendenza dal valore del parametro t rappresenta la periodicità stagionale. La dipendenza dai valori precedenti della x rappresenta la persistenza.

7 Il parametro t (tempo) può essere una variabile continua o una variabile discreta. Nelle applicazioni numeriche si considera solo il caso di variabile discreta e si considerano solo periodi di tempo di lunghezza finita: x 1, x 2,, x N. In linea di principio per individuare un processo stocastico si può assegnare la distribuzione congiunta delle N variabili x 1, x 2,, x N. In pratica basta conoscere la distribuzione della variabile x condizionata al valore del parametro t e ai valori precedenti della x, vale a dire la distribuzione della variabile x all'istante i-esimo (xi) condizionata al tempo (istante i) e ai valori precedenti della x.

8 Un processo che non dipende dal tempo è stazionario. Un processo si dice strettamente stazionario quando, per qualunque scelta degli interi m, i 1, i 2,..., i m e k la distribuzione congiunta delle variabili x i1, x i2,..., x im è identica a quella delle variabili x i1+k, x i2+k,..., x im+k. Un processo può essere stazionario con riferimento a un parametro (per esempio nella media). Per un processo stazionario nella media è µ(x i ) = µ(x)

9 x i i+k

10 Fissati due tempi i e i + k, si considerano - la covarianza γ k (x i ) (che per k uguale a zero coincide con la varianza di x i ) - il coefficiente di correlazione lineare ρ k (x i ) = γ k (x i ) σ(x i )σ(x i+k ) che prendono i nomi di - autocovarianza di ordine k - coefficiente di autocorrelazione di ordine k Quando γ k (x i ) dipende solo da k il processo è stazionario nell'autocovarianza. Caso importante: processo stazionario nella media e nell'autocovarianza (processo debolmente stazionario o stazionario in senso lato)

11 In generale ρ k (x i ) dipende da k (ordine) e da i (tempo). Se il processo è stazionario nell'autocovarianza ρ k (x i ) dipende solo dall'ordine k: ρ k (x i ) = ρ k (x) La funzione f(k) = ρ k (x) si chiama funzione di autocorrelazione. Il grafico della funzione di autocorrelazione prende il nome di autocorrelogramma. In importanti applicazioni idrologiche di processi periodici (quindi non stazionari) l'autocorrelogramma non è univocamente definito.

12 1,0 0,8 0,6 ρ 0,4 0,2 0, k

13 L'autocorrelogramma si può sempre stimare a partire da una serie temporale qualsiasi: quello che si ottiene è l'autocorrelogramma empirico. Se il processo originario non ammette un solo autocorrelogramma, il risultato è una stima dell'autocorrelogramma medio. L'autocorrelogramma empirico fornisce informazioni sulla persistenza e sulla periodicità del processo stocastico.

14 Ergodicità Poichè generalmente è nota una sola realizzazione del processo, è necessario che il processo si possa individuare utilizzando le informazioni contenute nella sola realizzazione nota. La caratteristica per cui un parametro si può stimare a partire da una sola realizzazione prende il nome di ergodicità. Indipendenza Un processo stocastico è indipendente quando la distribuzione della x i (variabile x all'istante i-esimo) non dipende dai valori assunti dalla variabile x nei tempi precedenti. Un processo indipendente è un processo senza persistenza. Un processo strettamente stazionario e indipendente prende il nome di rumore bianco.

15 Esempio di processo stocastico: il modello di Thomas-Fiering, che rappresenta il succedersi dei deflussi mensili Periodicità stagionale: x j deflusso del mese j-esimo (j = 1, 12) z = x j - µ(x j ) σ(x j ) (j = 1, 12) z variabile gaussiana standardizzata [µ(z) = 0; σ 2 (z) = 1] Persistenza: z i = φz i-1 + ε i (i = 1, N) ε variabile gaussiana a media nulla Persistenza variabile da mese a mese (12 relazioni): z ji = φ j z j-1 i-1 + ε ji (j = 1, 12; i = 1, N)

16 Varianza della variabile ε: z ji = φ j z j-1 i-1 + ε ji σ 2 (z j ) = φ j 2 σ 2 (z j-1 ) + σ 2 (ε j ) σ 2 (ε j ) = [1 - φ j 2 ]σ 2 (z j ) = 1 - φ j 2 Introducendo la variabile gaussiana standardizzata u j = ε j 1 - φ 2 j il modello di Thomas-Fiering è rappresentato dalle relazioni (con 36 parametri) z ji = x ji - µ(x j ) σ(x j ) z ji = φ j z j-1 i-1 + u ji 1 - φ 2 j (j = 1, 12; i = 1, N)

17 Il metodo Montecarlo Sia x una variabile casuale, di cui è nota la distribuzione di probabilità, e sia w(x) una nuova variabile casuale, legata a x da una funzione deterministica complicata. In linea di principio si può derivare la distribuzione di probabilità P(w) dalla distribuzione di probabilità P(x) per via analitica. In pratica la derivazione può non essere fattibile (e spesso non lo è). Allora per risolvere il problema si genera a caso un gran numero di valori di x, si calcolano i corrispondenti valori di w e infine si stima la distribuzione di w a partire dal campione (numerosissimo). Così si ottiene un'approssimazione di P(w), che è tanto migliore quanto più numeroso è il campione. La tecnica prende il nome di metodo della generazione dei dati, o metodo Montecarlo. Nello studio della disponibilità delle risorse idriche si genera una serie di deflussi lunga quanto si vuole e si calcolano (simulando l'effetto delle opere e della gestione) i valori della grandezza risultante w di cui si vuole determinare la distribuzione di probabilità.

18 Estrazione a caso dei valori di una variabile casuale (processo stocastico indipendente e stazionario). x variabile casuale P(x) probabilità di non superamento y = P(x) nuova variabile casuale y è funzione crescente di x

19 Poichè y è funzione crescente di x, P(y) = P(x) p(y)dy = p(x)dx p(y) = p(x) dx dy dx dy = 1 dy/dx dy dx = dp(x) dx = p(x) dx dy = 1 p(x) p(y) = 1 La distribuzione di y = P(x) è uniforme.

20 Esempio di applicazione del modello di Thomas-Fiering Ticino alla Miorina Valori dei parametri del modello di Thomas-Fiering stimati a partire dalle osservazioni del periodo Il coefficiente coincide con il coefficiente di correlazione lineare del deflusso del mese considerato con quello del mese precedente (ovviamente il mese che precede gennaio è dicembre). mese (x) [m 3 s -1 ] (x) [m 3 s -1 ] gennaio febbraio marzo aprile maggio giugno luglio agosto settembre ottobre novembre dicembre Costruzione di una serie artificiale di deflussi Si estrae a caso una serie di valori di probabilità di non superamento P dalla distribuzione uniforme limitata tra zero e uno: P Utilizzando l'inversa della funzione di probabilità della distribuzione di Gauss si calcolano i valori della variabile standardizzata z corrispondenti ai valori di P: P z

21 Si assegna il mese a cui si riferisce il primo deflusso artificiale. Qui si assume che sia gennaio. Allora il primo deflusso da costruire è x 11 (dove il primo pedice si riferisce alla posizione del mese nell'anno e il secondo alla posizione nell'intera serie artificiale). Il primo valore della serie deve essere estratto dalla distribuzione del mese a cui si riferisce, non condizionata al valore assunto nel mese precedente, che è incognito. Sarà quindi, indicando con (x 1 ) e (x 1 ) la media e lo scarto quadratico medio del mese di gennaio (al quale si riferisce il pedice) e assegnando a z 11 il primo della serie di valori di z estratti a caso: x 11 = (x 1 ) + z 11 (x 1 ) = ( ) 35.2 = m 3 s -1. Ora si calcola il secondo valore della serie, utilizzando l'espressione che lega tra loro il deflusso normalizzato del mese considerato (febbraio) e quello del mese precedente. Sarà quindi, assegnando a u 22 il secondo della serie di valori di z estratti a caso (perchè anche u è una variabile gaussiana standardizzata): z 22 = 2 z 11 + u = ( ) + ( ) ) = Quindi il deflusso del mese di febbraio è: x 22 = (x 2 ) + z 22 (x 2 ) = ( ) 44.3 = 97.0 m 3 s -1. Ora si calcola il terzo valore della serie, utilizzando l'espressione che lega tra loro il deflusso normalizzato del mese considerato (marzo) e quello del mese precedente. Sarà quindi, assegnando a u 33 il terzo della serie di valori di z estratti a caso: z 33 = 3 z 22 + u = ( ) + ( ) ) = Quindi il deflusso del mese di febbraio è: x 33 = (x 3 ) + z 33 (x 3 ) = ( ) 46.6 = 21.4 m 3 s -1. Si procede quindi così fino a completare la serie di deflussi voluta. Vale la pena di fare due osservazioni. La prima è che il deflusso normalizzato del mese di gennaio del secondo anno sarà indicato con i pedici 1 e13, quello del mese di febbraio con i pedici 2 e 14, e così via (perchè il primo pedice, che indica il mese dell'anno, varia tra 1 e 12, mentre il secondo, che indica il mese della serie, continua a crescere). La seconda osservazione è che si potrebbe anche procedere in modo diverso, costruendo prima l'intera serie dei deflussi normalizzati z e ricavando quindi la serie dei deflussi x.