Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.

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1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità A. A. /5 prova scritta (//5(docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento dei punti non facoltativi dei seguenti Esercizi. Inoltre, a scelta dallo studente, va svolto almeno uno fra i rimanenti punti facoltativi. (tempo a disposizione: ore Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. Esercizio. In un torneo di scacchi, Alfredo deve giocare sei partite. L insieme dei partecipanti è costituito da giocatori di tre livelli: principianti, senior ed esperti. Supponiamo che la probabilità che Alfredo vinca ciascuna singola partita contro un principiante sia uguale al %, mentre le analoghe probabilità di vittoria contro giocatori senior ed esperti siano uguali al 5% e al %, rispettivamente. Supponiamo ora che gli avversari di Alfredo siano estratti a caso nell insieme dei partecipanti e che tale insieme sia costituito da un 6% di principianti, da un 5% di senior, e da un % di esperti. a Calcolare la probabilità che Alfredo vinca la prima partita. b Come debbono essere valutate le probabilità che il primo avversario sia rispettivamente un principiante, un senior, e un esperto, sapendo che Alfredo ha vinto la prima partita? cfacoltativo Tenendo presente che le estrazioni per determinare gli avversari nelle sei partite avvengono con reinserimento, calcolare la probabilità che nelle 6 partite Alfredo incontri esattamente due principianti ed esattamente due esperti. Esercizio. All interno del torneo di scacchi dell Esercizio, Alfredo deve giocare altre partite tutte contro Benedetto, che è un giocatore esperto. Si supponga inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra ciascuna partita. a Calcolare la probabilità che Alfredo vinca Benedetto esattamente volte nelle prime sei partite. b Calcolare la probabilità che Alfredo vinca Benedetto almeno volte nelle prime sei partite. c Calcolare approssimativamente la probabilità che Alfredo vinca Benedetto in almeno un terzo delle prime 8 partite.

2 Esercizio. Da un urna che contiene palline di cui rosse e le rimanenti verdi, si estraggono senza reinserimento palline. Sia R il numero delle palline rosse estratte. a Individuare il tipo di distribuzione di R e mostrare che il valore atteso E(R vale 6 5. Si supponga ora che le palline rosse siano carminio e una porpora, e siano R c ed R p le variabili aleatorie che contano il numero di palline rosso carminio e rosso porpora rispettivamente. Accade che la distribuzione congiunta di R ed R c sia data dalla seguente tabella: R\R c 8 9 b Mostrare che P (R =, R c = = = c Le variabili aleatorie R ed R c sono indipendenti? d Trovare la distribuzione congiunta di R c e di R p, utilizzando la tabella della distribuzione congiunta di R ed R c ed il fatto che R p = R R c. efacoltativo Dimostrare il fatto che la distribuzione congiunta di R ed R c è individuata dalla tabella precedente. Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di densità data da { k cos x x π f(x = altrove a Calcolare il valore della costante k b Calcolare P (X > π cfacoltativo Calcolare il valore atteso di X (suggerimento: utilizzare la formula di integrazione per parti dfacoltativo Calcolare la densità di Y = X + π

3 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità prova scritta di lunedì lulgio 5 - FOGLIO RISPOSTE NOME E COGNOME... docente G. Nappo F. Spizzichino Esercizio. a Probabilità che Alfredo vinca la prima partita... b Sapendo che Alfredo ha vinto la prima partita, la probabilità che il primo avversario sia un principiante=...; che sia un senior=...; che sia un esperto=... cfacoltativo Probabilità che nelle 6 partite Alfredo incontri esattamente due principianti ed esattamente due esperti=... Esercizio. a Probabilità che Alfredo vinca esattamente delle prime sei partite=... b Probabilità che Alfredo vinca almeno delle prime sei partite =... c Probabilità che Alfredo vinca almeno un terzo delle prime 8 partite... Esercizio. a La distribuzione di R è... E(R = 6 5 mostrato non mostrato b P (R =, R c = = = mostrato non mostrato c Le variabili aleatorie R ed R c sono indipendenti NON sono indipendenti d Distribuzione congiunta di R c e di R p, R p \R c efacoltativo Distribuzione congiunta di R ed R c mostrato non mostrato Esercizio. a k=... b P (X > π =... cfacoltativo Valore atteso di X=... dfacoltativo... Densità di Y = X + π f Y (y =......

4 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità A. A. /5 Soluzioni della prova scritta del luglio 5 (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Esercizio. In un torneo di scacchi, Alfredo deve giocare sei partite. L insieme dei partecipanti è costituito da giocatori di tre livelli: principianti, senior ed esperti. Supponiamo che la probabilità che Alfredo vinca ciascuna singola partita contro un principiante sia uguale al %, mentre le analoghe probabilità di vittoria contro giocatori senior ed esperti siano uguali al 5% e al %, rispettivamente. Supponiamo ora che gli avversari di Alfredo siano estratti a caso nell insieme dei partecipanti e che tale insieme sia costituito da un 6% di principianti, da un 5% di senior, e da un % di esperti. a Calcolare la probabilità che Alfredo vinca la prima partita. Soluzione: Infatti, posto A = {Alfredo vince la prima partita}, H i = {il primo avversario di Alfredo è di livello i}, per i = p, s, e (p =principiante, s =senior, e = esperto, dai dati del problema si evince che e quindi si ha P (A H p = = P (H p = 6 P (A H s = 5 = 5 P (H s = 5 P (A H e = = P (H e = P (A = P (A H p P (H p + P (A H s P (H s + P (A H e P (H e = = = 5 = 59 b Come debbono essere valutate le probabilità che il primo avversario sia rispettivamente un principiante, un senior, e un esperto, sapendo che Alfredo ha vinto la prima partita? Soluzione: Le probabilità cercate valgono rispettivamente 5, 5, 5 5 Infatti si tratta di valutare P (H i A, per i = p, s, e: P (A H p P (H p P (H p A = P (A H p P (H p + P (A H s P (H s + P (A H e P (H e = = = 5 = P (A H s P (H s P (H s A = P (A H p P (H p + P (A H s P (H s + P (A H e P (H e = = =

5 Per P (H e A basta osservare che, essendo E P (E A una probabilità, ed essendo H e = (H p H s deve essere P (H e A = P (H p A P (H s A = 5 5 = 5 5. Come verifica si può ripetere il conto P (A H e P (H e P (H e A = P (A H p P (H p + P (A H s P (H s + P (A H e P (H e = = = cfacoltativo Tenendo presente che le estrazioni per determinare gli avversari nelle sei partite avvengono con reinserimento, calcolare la probabilità che nelle 6 partite Alfredo incontri esattamente due principianti ed esattamente due esperti. ( 6! Soluzione: La probabilità cercata vale 6 ( 5 (!!! Infatti, posto H (l i = {l avversario numero l di Alfredo è di livello i}, per i = p, s, e (così H i =, la situazione corrisponde alla situazione di 6 prove ripetute (l =,,..., 6 con esiti possibili H ( i (p, s e. Di conseguenza si usa il modello multinomiale, con X p, X s ed X e che corrispondono rispettivamente al numero di avversari principianti, senior ed esperti incontrati da Alfredo nelle 6 partite: essendo X p + X s + X e = 6, P (X p =, X e = = P (X p =, X s =, X e = = 6! ( 6 ( 5 (!!! Esercizio. All interno del torneo di scacchi dell Esercizio, Alfredo deve giocare altre partite tutte contro Benedetto, che è un giocatore esperto. Si supponga inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra ciascuna partita. a Calcolare la probabilità che Alfredo vinca Benedetto esattamente volte nelle prime sei partite. Soluzione: La probabilità cercata vale =. 5 6 Infatti basta osservare che si tratta di 6 prove ripetute (ovvero di uno schema di Bernoulli con 6 ( probabilità di successo θ =, in quanto Benedetto è un giocatore esperto, e, posto S n il numero di successi(=vittorie di Alfredo su n prove(=partite, la probabilità cercata coincide con P (S n = k = ( n k θ k ( θ n k = ( 6 ( = ( = b Calcolare la probabilità che Alfredo vinca Benedetto almeno volte nelle prime sei partite. Soluzione: La probabilità cercata vale ( 6 ( 6 5. Infatti, con la stessa notazione del punto precedente, si cerca P (S n k = ( n h h k θ h ( θ n h = P (S n < k = h<k ( n θ h ( θ n h, h 5

6 e nel nostro caso = ( 6 6 P (S 6 = k ( 6 ( h ( 6 h h = P (Sn < = P (S 6 = P (S 6 = ( 5 ( = ( 5 [ + 6 ] ( = 5 5 c Calcolare approssimativamente la probabilità che Alfredo vinca Benedetto in almeno un terzo delle prime 8 partite. Soluzione: Infatti si tratta di calcolare P (S n n = P ( S n nθ n nθ = P (S n n nθ dove si è posto posto S n la standardizzata di S n. Per l approssimazione normale, che deriva dal Teorema Centrale del Limite si ha che P (S n n nθ P (Z n nθ = Φ ( n nθ. Nel nostro caso θ = ed n = 8 =, da cui la probabilità cercata si può approssimare con Φ ( n nθ ( = Φ ( = Φ 9 = Φ Φ(, 66.5 =.56 Esercizio. Da un urna che contiene palline di cui rosse e le rimanenti verdi, si estraggono senza reinserimento palline. Sia R il numero delle palline rosse estratte. a Individuare il tipo di distribuzione di R e mostrare che il valore atteso E(R = 6 5. Soluzione: La distribuzione di R è di tipo ipergeometrico, e precisamente ( ( P (R = i = i i (, per i =,,, Ovviamente si poteva anche notare che P (S n n = P (Sn < n = P (Sn n = P (S n In questo modo, per ottenere l approssimazione, si sarebbe arrivati invece al calcolo di ( ( Φ ( = Φ 9 n nθ = Φ ( Φ(,.666 =.6 Il motivo della differenza sta nel fatto che n = 8 è un numero relativamente piccolo, per cui la differenza di = tra i due calcoli è abbastanza grande. Chiaramente al crescere di n la differenza tra n nθ e n nθ, diviene trascurabile. In realtà dal punto di vista numerico sarebbe meglio, nel caso dell approssimazione normale delle variabili aleatorie binomiali, come in questo caso, sarebbe bene osservare che e quindi, nel nostro caso, calcolare Φ in P (S n < k = P (S n k n nθ = 8.5 6

7 per cui e P (R = = P (R = = P (R = = ( ( = 6 5! ( ( = 6 5! ( ( = = = 5 = = 5 = = 9 8 = = 9 = ( P (R = = ( = 9 8 = = Si supponga ora che le palline rosse siano carminio e una porpora, e siano R c ed R p le variabili aleatorie che contano il numero di palline rosso carminio e rosso porpora rispettivamente. Accade che la distribuzione congiunta di R ed R c sia data dalla seguente tabella: R\R c 8 9 b Mostrare che P (R =, R c = = = Soluzione: Basta notare che se sono uscite tutte e tre le palline rosse, allora ovviamente sono uscite anche tutte e due le palline carminio e quindi P (R =, R c = = P (R = = ( ( c Le variabili aleatorie R ed R c sono indipendenti? Soluzione: R ed R c NON sono indipendenti. Infatti, ad esempio = 9 8 = = = P (R =, R c = P (R = P (R c = (>. d Trovare la distribuzione congiunta di R c e di R p, utilizzando la tabella della distribuzione congiunta di R ed R c ed il fatto che R p = R R c. Soluzione: Infatti, considerando che R\R c (R c, R p = (, (R c, R p = (, R c, R p = (, (R c, R p = (, R c, R p = (, (R c, R p = (,

8 si ottiene che R p \R c 8 9 efacoltativo Dimostrare il fatto che la distribuzione congiunta di R ed R c è individuata dalla tabella precedente. Soluzione: Infatti si tratta in realtà solo di notare che, posto V il numero di palline verdi estratte si ha ( P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = ( = 6 5!! 9 8 = P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = P (R =, R c = = P (R c =, R p = = P (R c =, R p =, V = = ( ( = 6 5! ( ( = 6 5! ( ( = 6! ( ( = 6!! 9 8 =! 9 8 =! 9 8 = 8! 9 8 = 9 ( (! = 9 8 = e che gli eventi rimanenti sono impossibili. Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di densità data da { k cos x x π f(x = altrove a Calcolare il valore della costante k Soluzione: k =. Infatti b Calcolare P (X > π π Soluzione: P (X > π = Infatti P (X > π = π π cos x dx = [sin x] π = sin π sin = cos x dx = [sin x] π π = sin π sin π =, =, 99 cfacoltativo Calcolare il valore atteso di X (suggerimento: utilizzare la formula di integrazione per parti 8

9 Soluzione: E(X = π Infatti, tenendo conto che cos x dx = d sin x e che sin x dx = d cos x E(X = π x cos x dx = π x d sin x = [x sin x] π π sin x dx = π sin π + ( cos π cos = π, 5 dfacoltativo Calcolare la densità di Y = X + π Soluzione: f Y (y = Infatti quindi poiché f Y (y = d dy F Y (y si ha che cos( y π per π y π, e f Y (y = altrimenti. F Y (y = P (X + π y = P (X y π = F X( y π f Y (y = d dy F Y (y = d dy F X( y π = F X( y π d y π dy = f X( y π Di conseguenza f Y (y = { cos( y π y π π π y π altrove 9