Probabilità e Vincite (Perdite) medie al Lotto

Transcript

1 Probabilità e Vincite (Perdite medie al Lotto Giuseppe Sanfilippo Lotto Le giocate Ambo, Terna, Quaterna e Cinquina, sono da intendersi secche. Si ha Num. di palline presenti nell urna N = 90 Num. di estrazioni (senza restituzione n = Num. di palline bianche pn = totale numeri giocati, Ambo; 3, Terno; X=Num. di successi h = 4, Quaterna;, Cinquina.. Ambo Supponiamo di giocare i numeri {a, a }, con a a e a, a {,,..., 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l evento E i = l i-esimo numero estratto appartiene a {a, a }, i =,, 3, 4,. Il numero aleatorio X= numero di successi su n = estrazioni senza restituzione, cioè X = E + E + E 3 + E 4 + E, ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n =, p = 90. Cioè con X H(N = 90, n =, p = 90 P (X = h = ( pn ( N pn h n h ( N n, h = 0,, ( Si ottiene un ambo secco se si verifica l evento (X =. La probabilità cercata è quindi data dalla seguente formula ( 88 P (X = = ( 3 = 80 = 400.

2 In altro modo, utilizzando la formula equivalente alla ( si ha ( 8 P (X = = ( P (X = h = = ( ( pn ( N n h pn h ( N pn, h = 0,, = C, = D, = 4 C 90, D 90, = La quota di vincita per un ambo secco corrisposta dall ente che gestisce il gioco del lotto è pari a q a = 0 (non vengono considerate le tasse sottratte successivamente alla vincita. Se indichiamo con r la somma giocata e con V la vincita aleatoria, si ha { qa r, se (X = V = q a r X = = 0, se (X Il valore atteso di V è E(V = q a r P (X = = r 0 = Il guadagno aleatorio G è la differenza tra la vincita aleatoria V e l importo giocato r, cioè G = V r = r[q a X = ], ovvero Il valore atteso di G è G = { qa r r, se (X = r, se (X E(G = r[q a P (X = ] Un gioco si dice EQUO quando il valore atteso del guadagno aleatorio è nullo. Osserviamo che nel caso in questione il gioco non è equo. Infatti E(G r. Vale a dire che giocando euro su un ambo secco (r = si perdono mediamente 37.6 centesimi di euro. (Il banco guadagna mediamente 37.6 centesimi per ogni euro giocato Esercizio. Cosa succede relativamente nel caso in cui si verifica ambo giocando tre numeri?

3 . Terno Supponiamo di giocare tre numeri {a, a, a 3 } diversi fra loro, con a, a, a 3 {,,..., 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l evento E i = l iesimo numero estratto appartiene a {a, a, a 3 }, i =,, 3, 4,. Il numero aleatorio X= numero di successi su n = estrazioni senza restituzione, cioè X = E + E + E 3 + E 4 + E, ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n =, p = Cioè X H(N = 90, n =, p = 3 90 Pertanto, la probabilità di fare un terno giocando tre numeri è ( 3 87 ( 87 P (X = 3 = 3( = = 748 La quota di vincita è q t = 400. Pertanto, giocando un importo r > 0 il valore atteso di G è E(G = r[q t P (X = 3 ] = r r 0.67r. un Terno secco (r = si perdono mediamente 6.7 centesimi di euro..3 Quaterna Supponiamo di giocare quattro numeri {a, a, a 3, a 4 } diversi fra loro, con a, a, a 3, a 4 {,,..., 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l evento E i = l iesimo numero estratto appartiene a {a, a, a 3, a 4 }, i =,, 3, 4,. Il numero aleatorio X= numero di successi su n = estrazioni senza restituzione, cioè X = E + E + E 3 + E 4 + E, ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n =, p = Cioè X H(N = 90, n =, p = 4 90 Pertanto, la probabilità di fare quaterna giocando quattro numeri è ( 4 86 P (X = 4 = 4( 038 La quota di vincita è q q = Pertanto, giocando un importo r > 0 il valore atteso di G è E(G = r[q q P (X = 3 ] = r[ 0000 ] 0.76r. 038 una Quaterna secca (r = si perdono mediamente 76. centesimi di euro. 3

4 .4 Cinquina Supponiamo di giocare cinque numeri {a, a, a 3, a 4, a } diversi fra loro, con a, a, a 3, a 4, a {,,..., 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l evento E i = l i-esimo numero estratto appartiene a {a, a, a 3, a 4, a }, i =,, 3, 4,. Il numero aleatorio X= numero di successi su n = estrazioni senza restituzione, cioè X = E + E + E 3 + E 4 + E, ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n =, p = 90. Cioè X H(N = 90, n =, p = 90 Pertanto, la probabilità di fare Cinquina giocando Cinque numeri è ( 8 P (X = = ( 0 = = La quota di vincita è q c = Pertanto, giocando un importo r > 0 il valore atteso di G è E(G = r[q q P (X = 3 ] = r[ ] 0.863r una Cinquina secca (r = si perdono mediamente 86.3 centesimi di euro. Riepilogo La Tabella seguente mostra una sintesi dei calcoli precedenti per una giocata di importo pari a euro. Prob di vincita Quota Perdita media (in centesimi Ambo / Terno / Quaterna / Cinquina / milioni 86.3 Table : Perdite medie nel gioco del lotto per importi unitari. Quote a partire dall anno 00 N.B. I calcoli sono da ricontrollare. Dal 00 le regole del Gioco del Lotto hanno subito le seguenti variazioni: Aumento dei moltiplicatori di vincita: 4

5 TERNO, da 4.0 a 4.00 volte la posta QUATERNA, da a volte la posta CINQUINA, da a volte la posta. Esercizio. Calcolare le perdite medie con le quote relative al periodo precedente l anno 00.