1 Esercizio di Riepilogo

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1 1 Esercizio di Riepilogo 1. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 400 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 100 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Calcolare il TAN e TAEG dell operazione finanziaria. Calcolo del TAN: da cui si ottiene v 45000v 2 = v v = 0 le cui soluzione sono v 1 = ; v 2 = Consideriamo solo la soluzione finanziariamente valida, ossia v 1 poichè è tra 0 e 1. Possiamo quindi determinare il TAN: Calcolo del TAEG: TAN = 1 v 1 = 1 1 = = 6.50% ( ) ( )v ( )v 2 = v v = 0 le cui soluzioni sono: v 1 = ; v 2 = Considerando quella positiva abbiamo: TAEG = 1 1 = = 7.20% Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due finanziamenti: 1

2 F 1 : Ottenere la somma di euro al tempo t = 0 e restituire in cambio le somme di euro al tempo t = 1, al tempo t = 2, al tempo t = 3. F 2 Ottenere la somma di euro al tempo t = 0 e restituire in cambio le somme di euro al tempo t = 1, al tempo t = 2, al tempo t = 3. Dire per quali tassi di valutazione è più conveniente il finanziamento F 1 secondo il criterio del REA. REA F1 = v 60000v v 3 REA F2 = v 40000v v 3 Possiamo affermare che: F 1 F 2 REA F1 > REA F2 ossia F 1 è preferibile a F 2 se il REA `di F 1 è maggiore di F 2. Quindi: v 60000v v 3 > v 40000v v 3 ossia: v v v < 0 v(8v 2 +v 7) < 0 v ]0,0.875[ (come al solito a noi interessa cosa succede nell intervallo[0, 1].) Quindi: v < i < i > Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 = 2R 1 al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 140 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 50 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 2

3 30 euro per spese di chiusura pratica. Sapendo che il TAEG è del 15%, calcolare R 1 ed R 2 e il TAN dell operazione finanziaria. Calcoliamo R 1 sapendo che il TAEG è del 15%: ( ) (R 1 +50)(1.15) 1 (2R 1 +80)(1.15) 2 = 0 da cui si ottiene: Calcolo del TAN: e quindi: R 1 = R 1 = v v 2 = v v = 0 v 1 = TAN = 1 1 = Determinare il tasso di valutazione j che rende il REA della seguente operazione finanziaria pari a euro: R 0 = al tempo t = 0, R 1 = al tempo t = 1 e R 2 = al tempo t = 2 (tempo espresso in anni). L operazione finanziaria è: ossia: R = { 10000,+7000,+7000}; t = {0,1,2} v+7000v 2 = v 2 +7v 13 = 0 v 1 = j = 1 1 =

4 5. Un individuo dispone di due opportunitá per la quali deve investire la somma di e al tempo t = 0 e che conferiscono le seguenti entrate annue: (a) A 1 = e al tempo t = 1, A 2 = e al tempo t = 2 e A 3 = 25000e al tempo t = 4; (b) B 1 = e al tempo t = 1, B 2 = e al tempo t = 2 e B 3 al tempo t = 4. Determinare per quali valori B 3 l opportunitá 1 sia preferibile alla 2 in base al criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso annuo j = 15%. Calcoliamo i REA delle due operazioni: REA 1 = (1.15) (1.15) (1.15) 4 = REA 2 = (1.15) (1.15) 2 +B 3 (1.15) 4 = B 3 Quinid: 1 2 REA 1 > REA > B 3 e quindi B 3 < Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2; (b) pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2. Dire: quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR); 4

5 quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso di valutazione del 40%. Calcoliamo i due TIR: v 50000v 2 = 0 v a = TIR a = ; v v 2 = 0 v b = TIR b = ; Poichè si tratta di un operazione di finanziamento si sceglie l operazione con il TIR minore e quindi l operazione (b). Calcoliamo i due REA al tasso j = 0.40: REA a = (1.40) (1.40) 2 = REA b = (1.40) (1.40) 2 = Poichè REA b > REA a allora è preferibile l operazione (b). 7. Un operazione di investimento prevede un uscita di 2000 e in t = 0 ed entrate di 1000 e in t = 1 e R in t = 2. Determinare R tale per cui il TIR dell operazione sia del 5%. Occorre impostare che l operazione di investimento abbia un TIR pari al 5%: (1.05) 1 +R(1.05) 2 = 0 R = = Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due investimenti: I 1 Investire la somma di euro al tempo t = 0 e incassare in cambio la somma di euro al tempo t = 3. 5

6 I 2 Investire la somma di euro al tempo t = 0 e incassare in cambio le somme di euro al tempo t = 1, al tempo t = 2, al tempo t = 3. Dire per quali tassi di valutazione le due alternative sono indifferenti secondo il criterio del REA. Calcolo dei due REA: REA I1 = v 3 ; REA I1 = v v v 3 Affinchè i due REA siano indifferenti occorre porre la condizione che REA I1 = REA I2 e quindi: v 3 = v v v 3 da cui si ottiene: v v v = 0 ossia: v(12v 2 5v 4) = 0 da cui le tre soluzione sono: v 1 = 0; v 2 = ;v 3 = Ovviamente v = 0 i = + e questa soluzione la scartiamo. L altra implica che: TIR = 1 1 = Un individuo riceve al tempo t = 0 (tempo espresso in anni) un finanziamento di e da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagare R 1 = e al tempo t = 1 e R 2 = e al tempo t = 2; 6

7 (b) pagare R 1 = e al tempo t = 1 e R 2 = e al tempo t = 2. Dire quale delle due modalità è preferibile sia secondo il criterio del TIR e sia secondo il criterio del REA sapendo che il tasso di interesse annuo i = 5,75%. Soluzione Calcoliamo il TIR delle due operazioni: TIR a v 80000v 2 = 0 8v 2 +10v 15 = 0 v = TIR a = 1 1 = TIR b v v 2 = 0 11v 2 +8v 15 = 0 v = TIR a = 1 1 = Trattandosi di un operazione di finanziamento si sceglie quella con il TIR minore e quindi è preferibile l opportunità (a). Calcoliamo i due REA al tasso i = REA a = (1.0575) (1.0575) 2 = REA b = (1.0575) (1.0575) 2 = Tra le due operazione scegliamo sempre quella con il REA maggiore, e quindi l opportunità (a) è preferibile a (b). 10. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2; (b) pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2. 7

8 Dire: quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR); a quale tasso di valutazione le due modalità di restituzione sono indifferenti secondo il criterio del (REA). Calcoliamo il TIR delle due operazioni: TIR a v 60000v 2 = 0 3v 2 +5v 6 = 0 v = TIR a = 1 1 = TIR b v v 2 = 0 8v 2 +v 6 = 0 v = TIR a = 1 1 = Trattandosi di un operazione di finanziamento si sceglie quella con il TIR minore e quindi è preferibile l opportunità (a). Calcoliamo il REA della due operazioni: REA a = v 60000v 2 REA b = v v 2 Per determinare il tasso che rende indifferenti le due alternative poniamo: REA a = REA b v 60000v 2 = v v 2 che dopo alcuni passaggi otteniamo la soluzione significativa da un punto di vista finanziario: 10v 2 8v = 0 v(10v 8) = 0 v = 0.80 i = 1 1 =

9 11. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 4z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 3z euro per spese di chiusura pratica. Sapendo che il TAEG è pari ai 5 del TAN, calcore z. 4 Calcolo del TAN: v 35000v 2 = 0 35v 2 +20v 50 = 0 v 1 = TAN = 1 1 = Calcolo del TAEG: Calcolo di z: TAEG = 5 TAN = ( z) (20000+z)(1.0753) 1 (35000+z +3z)(1.0753) 2 = 0 da cui si ottiene: z = 0 z =